В математике , особенно в области теории групп , делимая группа - это абелева группа, в которой каждый элемент в некотором смысле может быть разделен на положительные целые числа, или, точнее, каждый элемент является n- м кратным для каждого положительного целого числа n. . Делимые группы важны для понимания структуры абелевых групп, особенно потому, что они инъективные абелевы группы.
Определение [ править ]
Абелева группа является делимым , если для любого положительного целого числа и каждого , существует такое , что . [1] Эквивалентное условие: для любого положительного целого числа , поскольку существование для каждого и означает, что и в обратном направлении верно для каждой группы. Третье эквивалентное условие состоит в том, что абелева группа делима тогда и только тогда, когда она является инъективным объектом в категории абелевых групп ; по этой причине делимая группа иногда называется инъективной группой .
Абелева группа - делится на простое число, если для каждого существует такое, что . Эквивалентно абелева группа -делимая тогда и только тогда, когда .
Примеры [ править ]
- В рациональных числах образуют делимое группы по сложению.
- В более общем смысле основная аддитивная группа любого векторного пространства над делима.
- Каждый фактор делимой группы делим. Таким образом, делится.
- Р - первичный компонент из , который является изоморфной к р - квазициклическая группа делится.
- Мультипликативная группа комплексных чисел делимая.
- Всякая экзистенциально замкнутая абелева группа (в теоретико-модельном смысле) делима.
Свойства [ править ]
- Если делимая группа является подгруппой абелевой группы, то она является прямым слагаемым этой абелевой группы. [2]
- Всякая абелева группа вкладывается в делимую группу. [3]
- Нетривиальные делимые группы не конечно порождены .
- Кроме того, каждая абелева группа может быть вложена в делимую группу как существенная подгруппа единственным способом. [4]
- Абелева группа делима тогда и только тогда, когда она p -делима для любого простого числа p .
- Пусть будет кольцо . Если это делимая группа, то инъективен в категории из - модулей . [5]
Структурная теорема делимых групп [ править ]
Пусть G - делимая группа. Тогда подгруппа кручения Tor ( G ) группы G делима. Так как делимая группа представляет собой инъективный модуль , Тор ( G ) является прямым слагаемым из G . Так
Как фактор делимой группы G / Tor ( G ) делима. Кроме того, он без кручения . Таким образом, это векторное пространство над Q и, значит, существует такое множество I , что
Структуру подгруппы кручения определить сложнее, но можно показать [6] [7], что для всех простых чисел p существует такое, что
где - p -первичная компонента Tor ( G ).
Таким образом, если P - множество простых чисел,
Мощности множеств I и I р для р ∈ P однозначно определяется группой G .
Инъективный конверт [ править ]
Как указано выше, любая абелева группа A однозначно вкладывается в делимую группу D как существенная подгруппа . Эта группа делится D является инпективной оболочкой из А , и это понятием является инъективной оболочкой в категории абелевых групп.
Сокращенные абелевы группы [ править ]
Абелева группа называется редуцированной, если ее единственная делимая подгруппа равна {0}. Каждая абелева группа является прямой суммой делимой подгруппы и редуцированной подгруппы. Фактически, в любой группе существует единственная наибольшая делимая подгруппа, и эта делимая подгруппа является прямым слагаемым. [8] Это особенность наследственных колец, таких как целые числа Z : прямая сумма инъективных модулей инъективна, потому что кольцо нётерово , а факторы инъективных инъективны, потому что кольцо наследственно, поэтому любой подмодуль, порожденный инъективными модулями инъективно. Обратное является результатом ( Matlis 1958): если каждый модуль имеет единственный максимальный инъективный подмодуль, то кольцо наследственно.
Полную классификацию счетных редуцированных периодических абелевых групп дает теорема Ульма .
Обобщение [ править ]
Несколько различных определений обобщают делимые группы на делимые модули. Для определения делимого модуля M над кольцом R в литературе использовались следующие определения :
- тм = М для всех ненулевых г в R . [9] (Иногда требуется, чтобы r не было делителем нуля, а некоторые авторы [10] [11] требуют, чтобы R было областью .)
- Для каждого главного левого идеала Ra , любой гомоморфизм из Ra в М продолжается до гомоморфизма из R в M . [12] [13] (Этот тип делимого модуля также называется принципиально инъективным модулем .)
- Для каждого конечно порожденного левого идеала L из R , любой гомоморфизм из L в М продолжается до гомоморфизма из R в M . [14]
Последние два условия являются «ограниченными версиями» критерия Бэра для инъективных модулей . Поскольку инъективные левые модули продолжают гомоморфизмы всех левых идеалов на R , инъективные модули, очевидно, делимы в смысле 2 и 3.
Если R дополнительно является областью, то все три определения совпадают. Если R - область главных левых идеалов, то делимые модули совпадают с инъективными модулями. [15] Таким образом, в случае кольца целых чисел Z , которое является областью главных идеалов, Z -модуль (который в точности является абелевой группой) делится тогда и только тогда, когда он инъективен.
Если R - коммутативная область, то инъективные R- модули совпадают с делимыми R- модулями тогда и только тогда, когда R - дедекиндова область . [15]
См. Также [ править ]
- Инъективный объект
- Инъективный модуль
Примечания [ править ]
- ^ Гриффит, стр.6
- ↑ Холл, стр.197.
- ↑ Гриффит, стр.17
- ↑ Гриффит, стр.19
- ^ Ланг, стр. 106
- ^ Капланский 1965 .
- Перейти ↑ Fuchs 1970 .
- ↑ Гриффит, стр.7
- ^ Feigelstock 2006 .
- ^ Картанен и Эйленберг 1999 .
- ^ Ротман 2009 .
- ↑ Лам 1999 .
- ^ Николсон и Юсиф 2003 .
- ^ Дамиано 1979 .
- ^ Б Lam 1999 , p.70-73.
Ссылки [ править ]
- Картан, Анри ; Эйленберг, Самуэль (1999), Гомологическая алгебра , Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, стр. Xvi + 390, ISBN 0-691-04991-2, Руководство по ремонту 1731415С приложением Дэвида А. Бухсбаума; Перепечатка оригинала 1956 г.
- Файгельсток, Шалом (2006), «Делимое инъективно», Soochow J. Math. , 32 (2): 241–243, ISSN 0250-3255 , MR 2238765
- Гриффит, Филипп А. (1970). Теория бесконечных абелевых групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-30870-7.
- Холл, Маршалл-младший (1959). Теория групп . Нью-Йорк: Макмиллан. Глава 13.3.
- Каплански, Ирвинг (1965). Бесконечные абелевы группы . Пресса Мичиганского университета.
- Фукс, Ласло (1970). Бесконечные абелевы группы Том 1 . Академическая пресса.
- Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, Руководство по ремонту 1653294
- Серж Ланг (1984). Алгебра, второе издание . Менло-Парк, Калифорния: Аддисон-Уэсли.
- Матлис, Эбен (1958). «Инъективные модули над нётеровыми кольцами» . Тихоокеанский математический журнал . 8 : 511–528. DOI : 10,2140 / pjm.1958.8.511 . ISSN 0030-8730 . Руководство по ремонту 0099360 .
- Николсон, WK; Юсиф, М.Ф. (2003), Квазифробениусовые кольца , Cambridge Tracts in Mathematics, 158 , Cambridge: Cambridge University Press, стр. Xviii + 307, DOI : 10.1017 / CBO9780511546525 , ISBN 0-521-81593-2, MR 2003785