Встраивание

В математике , вложение (или вложение ^[1] ) один экземпляр некоторой математической структуры , содержащейся в другом случае, например , как группа , которая является подгруппой .

Когда какой - то объект Х называются быть встроены в другом объекте Y , вложение задаются некоторым инъективным и структурой сохраняющего отображения F  : X → Y . Точное значение слова «сохранение структуры» зависит от вида математической структуры , экземплярами которой являются X и Y. В терминологии теории категорий отображение, сохраняющее структуру, называется морфизмом .

Тот факт, что отображение f  : X → Y является вложением, часто указывается с помощью «стрелки с крючком» ( U + 21AA ↪ СТРЕЛКА ВПРАВО С КРЮЧКОМ ); ^[2] таким образом: (С другой стороны, это обозначение иногда зарезервировано для карт включения .)${\ displaystyle f: X \ hookrightarrow Y.}$

Учитывая X и Y , несколько различного вложения X в Y может быть возможно. Во многих интересных случаях существует стандартное (или «каноническое») вложение, например, натуральных чисел в целые числа , целых чисел в рациональные числа , рациональных чисел в действительные числа и действительных чисел в комплексных числах. . В таких случаях обычно отождествляют область X с ее образом f ( X ), содержащимся в Y , так что f ( X ) ⊆Y .

Топология и геометрия [ править ]

Общая топология [ править ]

В общей топологии вложение - это гомеоморфизм на свой образ. ^[3] Более точно, инъективное непрерывное отображение между топологическими пространствами и является топологическим вложением, если дает гомеоморфизм между и (где переносит топологию подпространства, унаследованную от ). Наглядно то, вложение позволяет нам рассматривать как подпространство в . Каждое вложение инъективно и непрерывно . Каждая карта, которая является инъективной, непрерывной и либо открытой, либо${\ displaystyle f: от X \ до Y}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f (X)}$${\ displaystyle f (X)}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$закрыто - это вложение; однако есть также вложения, которые не являются ни открытыми, ни закрытыми. Последнее происходит , если изображение не является ни открытым множеством , ни замкнутое множество в .${\ displaystyle f (X)}$${\ displaystyle Y}$

Для данного пространства , существование вложения является топологическим инвариантом о . Это позволяет различать два пространства, если одно может быть встроено в пространство, а другое - нет.${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle от X \ до Y}$${\ displaystyle X}$

Дифференциальная топология [ править ]

В дифференциальной топологии : Пусть и - гладкие многообразия и - гладкое отображение. Тогда называется погружением, если его производная всюду инъективна. Вложение , или гладкое вложение , определяются как инъективное погружение , которое является вложением в топологическом смысле упомянутого выше (т.е. гомеоморфизма на свой образ). ^[4]${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle f: M \ to N}$${\ displaystyle f}$

Другими словами, область вложения диффеоморфна его образу, и, в частности, образ вложения должен быть подмногообразием . Погружение - это локальное вложение (т.е. для любой точки существует такая окрестность , которая является вложением).${\ displaystyle x \ in M}$${\ Displaystyle х \ в U \ подмножество M}$${\ displaystyle f: U \ to N}$

Когда многообразие области компактно, понятие гладкого вложения эквивалентно понятию инъективного погружения.

Важный случай есть . Интерес здесь в том , как велико должно быть для вложения, с точки зрения размерности в . Теорема вложения Уитни ^[5] утверждает, что этого достаточно, и это наилучшая возможная линейная оценка. Например, реальное проективное пространство RP ^m размерности , где - степень двойки, требуется для вложения. Однако это не относится к погружениям; например, RP ² может быть погружен, как это явно показано на поверхности Боя, которая имеет самопересечения. Римская поверхность не может быть погружение , поскольку она содержит${\ Displaystyle N = \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle n = 2m}$ ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n = 2m}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$кросс-кепки .

Вложение считается правильным, если оно хорошо себя ведет по отношению к границам : требуется, чтобы карта была такой, чтобы${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$

• ${\ Displaystyle е (\ частичный Икс) = е (Х) \ колпачок \ частичный Y}$, и
• ${\ displaystyle f (X)}$является поперечным к в любой точке .${\ displaystyle \ partial Y}$${\ Displaystyle е (\ частичный X)}$

Первое условие эквивалентно наличию и . Второе условие, грубо говоря, говорит , что е ( Х ) не является касательной к границе Y .${\ Displaystyle е (\ частичный X) \ substeq \ частичный Y}$${\displaystyle f(X\setminus \partial X)\subseteq Y\setminus \partial Y}$

Риманова и псевдориманова геометрия [ править ]

В римановой геометрии и псевдоримановой геометрии: пусть ( M , g ) и ( N , h ) римановы многообразия или, в более общем смысле, псевдоримановы многообразия . Изометрическое вложение является гладким вложением е  : М → N , который сохраняет (псевдо-) метрики в том смысле , что г равно откате в час с помощью F , т.е. г = ф * ч . Явно для любых двух касательных векторов${\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}$ у нас есть

${\displaystyle g(v,w)=h(df(v),df(w)).}$

Аналогично, изометрическое погружение - это погружение между (псевдо) -римановыми многообразиями, которое сохраняет (псевдо) -римановы метрики.

Эквивалентно, в римановой геометрии изометрическое вложение (погружение) - это гладкое вложение (погружение), которое сохраняет длину кривых (см. Теорему вложения Нэша ). ^[6]

Алгебра [ править ]

В общем случае для алгебраической категории C вложение между двумя C- алгебраическими структурами X и Y является C- морфизмом e  : X → Y, который является инъективным.

Теория поля [ править ]

В теории поля , вложение из поля Е в поле F является кольцевой гомоморфизм σ  : E → F .

Ядро из сг является идеальным из Е , который не может быть все поле Е , в силу условия сг (1) = 1 . Кроме того, хорошо известно свойство полей, что их единственные идеалы - это нулевой идеал и само поле в целом. Следовательно, ядро ​​равно 0, поэтому любое вложение полей является мономорфизмом . Следовательно, Е является изоморфно к подполе сг ( Е ) из F . Это оправдывает название вложения для произвольного гомоморфизма полей.

Универсальная алгебра и теория моделей [ править ]

Если σ - сигнатура и σ- структуры (также называемые σ-алгебрами в универсальной алгебре или моделями в теории моделей ), то отображение является σ-вложением тогда и только тогда, когда выполняются все следующие условия:${\displaystyle A,B}$${\displaystyle h:A\to B}$

• ${\displaystyle h}$ инъективен,
• для каждого -ичного символа функции и у нас есть ,${\displaystyle n}$${\displaystyle f\in \sigma }$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$${\displaystyle h(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n}))}$
• для каждого символа -арного отношения, и мы имеем тогда и только тогда , когда${\displaystyle n}$${\displaystyle R\in \sigma }$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle B\models R(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n})).}$

Вот теоретическое обозначение модели, эквивалентное . В теории моделей также есть более сильное понятие элементарного вложения .${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in R^{A}}$

Теория порядка и теория предметной области [ править ]

В теории порядка вложение частично упорядоченных множеств - это функция F между частично упорядоченными множествами X и Y, такая что

${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\leq x_{2}\iff F(x_{1})\leq F(x_{2}).}$

Инъективность F быстро следует из этого определения. В теории предметной области дополнительное требование состоит в том, чтобы

${\displaystyle \forall y\in Y:\{x\mid F(x)\leq y\}}$будет направлено .

Метрические пространства [ править ]

Отображение из метрических пространств называется вложением (с искажением ) , если ${\displaystyle \phi :X\to Y}$ ${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle Ld_{X}(x,y)\leq d_{Y}(\phi (x),\phi (y))\leq CLd_{X}(x,y)}$

для некоторой константы .${\displaystyle L>0}$

Нормированные пространства [ править ]

Важным частным случаем являются нормированные пространства ; в этом случае естественно рассматривать линейные вложения.

Один из основных вопросов, который можно задать о конечномерном нормированном пространстве, заключается в том, какова максимальная размерность , в которую можно линейно вложить гильбертово пространство с постоянным искажением?${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell _{2}^{k}}$${\displaystyle X}$

Ответ дает теорема Дворецкого .

Теория категорий [ править ]

В теории категорий нет удовлетворительного и общепринятого определения вложений, применимого ко всем категориям. Можно было бы ожидать, что все изоморфизмы и все композиции вложений будут вложениями, а все вложения - мономорфизмами. Другие типичные требования: любой экстремальный мономорфизм является вложением, и вложения устойчивы по отношению к обратным вызовам .

В идеале класс всех вложенных подобъектов данного объекта, с точностью до изоморфизма, также должен быть небольшим и, следовательно, упорядоченным набором . В этом случае говорят, что категория имеет хорошую мощность по отношению к классу вложений. Это позволяет определять новые локальные структуры в категории (например, оператор замыкания ).

В категории бетона , вложение есть морфизм ƒ :   →  B , которая является инъективной функцией от основного множества A к основному набору B , а также является начальным морфизм в следующем смысле: если г является функцией от базовое множество объекта C в базовое множество A , и если его композиция с ƒ является морфизмом ƒg :  C  →  B , то сам g является морфизмом.

Система факторизации категории также порождает понятие вложения. Если ( Е ,  М ) представляет собой система на множители, то морфизмы в М можно рассматривать как вложения, особенно когда категорию хорошо работают по отношению к  М . Конкретные теории часто имеют систему факторизации, в которой M состоит из вложений в предыдущем смысле. Так обстоит дело с большинством примеров, приведенных в этой статье.

Как обычно в теории категорий, существует двойственное понятие, известное как фактор. Все предыдущие свойства можно дуализировать.

Вложение также может относиться к функтору вложения .

См. Также [ править ]

• Закрытое погружение
• Крышка
• Уменьшение размеров
• Погружение
• Лемма Джонсона – Линденштрауса
• Подмногообразие
• Подпространство
• Универсальное пространство

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Епископ Ричард Лоуренс ; Криттенден, Ричард Дж. (1964). Геометрия многообразий . Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 978-0-8218-2923-3.
• Епископ Ричард Лоуренс ; Гольдберг, Сэмюэл Ирвинг (1968). Тензорный анализ на многообразиях (первое издание Dover 1980 г.). Компания Macmillan. ISBN 0-486-64039-6.
• Крампин, Майкл; Пирани, Феликс Арнольд Эдвард (1994). Применимая дифференциальная геометрия . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-23190-9.
• ду Карму, Манфредо Пердигао (1994). Риманова геометрия . ISBN 978-0-8176-3490-2.
• Фландрия, Харлей (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Дувр. ISBN 978-0-486-66169-8.
• Галло, Сильвестр; Хулин, Доминик; Лафонтен, Жак (2004). Риманова геометрия (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-20493-0.
• Хокинг, Джон Гилберт; Янг, Гейл Селлерс (1988) [1961]. Топология . Дувр. ISBN 0-486-65676-4.
• Косинский, Антони Альберт (2007) [1993]. Дифференциальные многообразия . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.
• Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии . Тексты для выпускников по математике. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-98593-0.
• Кобаяси, Шошичи ; Номидзу, Кацуми (1963). Основы дифференциальной геометрии, Том 1 . Нью-Йорк: Wiley-Interscience.
• Ли, Джон Маршалл (1997). Римановы многообразия . Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6.
• Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: Обобщение Картана программы Эрлангена Клейна . Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN 0-387-94732-9..
• Спивак, Майкл (1999) [1970]. Комплексное введение в дифференциальную геометрию (Том 1) . Опубликовать или погибнуть. ISBN 0-914098-70-5.
• Уорнер, Фрэнк Уилсон (1983). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли . Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN 0-387-90894-3..

Внешние ссылки [ править ]

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Стрекер (2006). Абстрактные и конкретные категории (Кошачьи радости) .
• Вложение многообразий в Атлас многообразий