Открытые и закрытые карты

В математике , точнее в топологии , открытая карта - это функция между двумя топологическими пространствами, которая отображает открытые множества в открытые множества. ^[1]^[2]^[3] То есть, функция работает , если для любого открытого множества в на изображении открыто в Аналогичным образом, замкнутое отображение является функцией , которая отображает замкнутые множества в замкнутых множеств. ^[3]^[4] Карта может быть открытой, закрытой, обеими или ни одной; ^[5], в частности, открытая карта не должна быть закрытой, и наоборот. ^[6] ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$ ${\ displaystyle U}$ $X,$ $f(U)$ $Y.$

Открытые ^[7] и закрытые ^[8] отображения не обязательно непрерывны . ^[4] Кроме того, непрерывность не зависит от открытости и замкнутости в общем случае, и непрерывная функция может иметь одно, оба или ни одно свойство; ^[3] этот факт остается верным, даже если ограничиться метрическими пространствами. ^[9] Хотя их определения кажутся более естественными, открытые и закрытые отображения гораздо менее важны, чем непрерывные отображения. Напомним, что по определению функция является непрерывной, если прообраз каждого открытого множества из открыт в ^[2] (эквивалентно, если прообраз каждого замкнутого множества из замкнут в ). $f:X\to Y$ $Y$ $X.$ $Y$ $X$

Первыми исследователями открытых карт были Симион Стойлов и Гордон Томас Уайберн . ^[10]

Определение и характеристики [ править ]

Если является подмножеством топологического пространства, то пусть и (соответственно ) обозначают замыкание (соответственно внутренность ) в этом пространстве. Позвольте быть функцией между топологическими пространствами . Если есть какой-либо набор, то называется изображением под $S$ ${\overline {S}}$ $\operatorname {Cl} S$ $\operatorname {Int} S$ $S$ $f:X\to Y$ $S$ $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ $S$ $f.$

Открытые карты [ править ]

Существует два различных конкурирующих, но тесно связанных определения « открытой карты », которые широко используются, где оба эти определения можно резюмировать как: «это карта, которая отправляет открытые множества в открытые множества». Следующая терминология иногда используется для различения этих двух определений.

Карта называется $f:X\to Y$

« Сильно открытая карта » , если всякий раз , когда это открытое подмножество домена , то есть открытое подмножество «s кообласть $U$ $X$ $f(U)$ $f$ $Y.$
« Относительно открытое отображение » , если всякий раз , когда есть открытое подмножество области , то есть открытое подмножество «S изображения , где , как обычно, это множество , наделенное топологией подпространства , индуцированной на него » ы области значений ^[11] $U$ $X$ $f(U)$ $f$ $\operatorname {Im} f:=f(X),$ $f$ $Y.$

По определению карта является относительно открытой тогда и только тогда, когда сюръекция является сильно открытой картой. Сюръективна карта сильно открыта , если и только если оно относительно открытой. Итак, для этого важного частного случая определения эквивалентны. $f:X\to Y$ $f:X\to \operatorname {Im} f$

Предупреждение : многие авторы определяют «открытая карта» как « относительно открытая карта» (например, Энциклопедия математики), в то время как другие определяют «открытая карта» как « сильно открытая карта». В общем, эти определения не эквивалентны, поэтому рекомендуется всегда проверять, какое определение «открытой карты» использует автор.

Каждая сильно открытая карта является относительно открытой картой, и, более того, поскольку всегда открытое подмножество изображения сильно открытой карты обязательно является открытым подмножеством кодобласти. Однако относительно открытая карта является сильно открытой картой тогда и только тогда, когда ее image - открытое подмножество своего кодомена. Из-за этой простой характеристики часто легко применить результаты, включающие одно из этих двух определений «открытой карты», к ситуации, включающей другое определение. $X$ $X,$ $\operatorname {Im} f=f(X)$ $f:X\to Y$ $Y.$ $f:X\to Y$ $\operatorname {Im} f$ $Y.$

Карта называется открытой картой или сильно открытой картой, если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: $f:X\to Y$

Определение: отображает открытые подмножества своей области в открытые подмножества своей области; то есть, для любого открытого подмножества из , является открытым подмножеством $f:X\to Y$ $U$ $X$ $f(U)$ $Y.$
$f:X\to Y$ - это относительно открытая карта, и ее изображение является открытым подмножеством ее кодомена . $\operatorname {Im} f:=f(X)$ $Y$
Для каждого и каждой окрестности из (однако маленький), существует окрестность из таких , что . $x\in X$ $N$ $x$ $V$ $f(x)$ $V\subseteq f(N)$
- Любой случай слова «соседство» в этом утверждении можно заменить словом «открытое соседство», и полученное в результате утверждение все равно будет характеризовать сильно открытые карты.
$f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {Int} _{Y}(f(A))$ для всех подмножеств из которых обозначает топологическую внутренность множества. $A$ $X,$ $\operatorname {Int}$
Всякий раз , когда является замкнутым подмножеством из того множества является замкнутым подмножеством ^[12] $C$ $X$ $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ $Y.$

и если это основа для того следующее может быть добавлено в этот список: ${\mathcal {B}}$ $X$

$f$ сопоставляет базовые открытые множества с открытыми множествами в его кодомене (то есть для любого базового открытого множества является открытым подмножеством ). $B\in {\mathcal {B}},$ $f(B)$ $Y$

Закрытые карты [ править ]

Карта называется относительно закрытой карты , если всякий раз , когда это замкнутое подмножество домена , то есть замкнутое подмножество «S изображения , где , как обычно, это множество , наделенное топологией подпространства , индуцированной на него » ы кообласть $f:X\to Y$ $C$ $X$ $f(C)$ $f$ $\operatorname {Im} f:=f(X),$ $f$ $Y.$

Карта называется замкнутой или сильно замкнутой, если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: $f:X\to Y$

Определение: отображает замкнутые подмножества своей области в замкнутые подмножества своей области; то есть, для любого замкнутого подмножества из является замкнутым подмножеством $f:X\to Y$ $C$ $X,$ $f(C)$ $Y.$
$f:X\to Y$ относительно замкнутая карта, а ее изображение - замкнутое подмножество ее кодомена $\operatorname {Im} f:=f(X)$ $Y.$
${\overline {f(A)}}\subseteq f\left({\overline {A}}\right)$ для каждого подмножества $A\subseteq X.$

Сюръективна карта сильно замкнуто тогда и только тогда , когда ему относительно закрытой. Итак, для этого важного особого случая эти два определения эквивалентны. По определению карта является относительно замкнутой тогда и только тогда, когда сюръекция является сильно замкнутой картой. $f:X\to Y$ $f:X\to \operatorname {Im} f$

Примеры [ править ]

Функция, определяемая с помощью, является непрерывной, замкнутой и относительно открытой, но не (сильно) открытой. Это связано с тем, что если есть любой открытый интервал в домене , который не содержит, то где этот открытый интервал является открытым подмножеством обоих, и Однако, если есть какой- либо открытый интервал в домене , который содержит то, который не является открытым подмножеством кодобена пользователя, но это открытое подмножество Поскольку множество всех открытых интервалов является основой для евклидовой топологии на это показывает , что $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f(x)=x^{2}$ $U=(a,b)$ $f$ $\mathbb {R}$ $0$ $f(U)=(\min\{a^{2},b^{2}\},\max\{a^{2},b^{2}\}),$ $\mathbb {R}$ $\operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).$ $U=(a,b)$ $\mathbb {R}$ $0$ $f(U)=[0,\max\{a^{2},b^{2}\}),$ $f$ $\mathbb {R}$ $\operatorname {Im} f=[0,\infty ).$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ,$ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ относительно открытый, но не (сильно) открытый.

Если имеет дискретную топологию (т.е. все подмножества открыты и замкнуты), то каждая функция одновременно открыта и замкнута (но не обязательно непрерывна). Например, функция этажа от до может быть открытой и закрытой, но не непрерывной. Этот пример показывает, что изображение связанного пространства под открытой или закрытой картой не обязательно связывать. $Y$ $f:X\to Y$ R {\displaystyle \mathbb {R} } Z {\displaystyle \mathbb {Z} }

Всякий раз, когда у нас есть произведение топологических пространств, естественные проекции открыты ^[13]^[14] (а также непрерывны). Поскольку проекции расслоений и покрывающие карты являются локально естественными проекциями произведений, они также являются открытыми отображениями. Однако закрывать прогнозы не нужно. Рассмотрим, например, проекцию на первый компонент; то множество замкнуто в, но не замкнуто в. Однако для компактного пространства проекция замкнута. По сути, это лемма о трубке . $X=\prod X_{i},$ $p_{i}:X\to X_{i}$ $p_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ $A=\{\left(x,1/x\right):x\neq 0\}$ $\mathbb {R} ^{2},$ $p_{1}(A)=\mathbb {R} \setminus \{0\}$ $\mathbb {R} .$ $Y,$ $X\times Y\to X$

Каждой точке единичной окружности мы можем сопоставить угол положительной оси с лучом, соединяющим точку с началом координат. Эта функция от единичной окружности до полуоткрытого интервала [0,2π) является биективной, открытой и замкнутой, но не непрерывной. Это показывает, что образ компактного пространства при открытом или закрытом отображении не обязательно должен быть компактным. Также обратите внимание, что если мы рассматриваем это как функцию от единичного круга до действительных чисел, то он не является ни открытым, ни закрытым. Указание кодомена очень важно. $x$

Достаточные условия [ править ]

Каждый гомеоморфизм открыт, замкнут и непрерывен. Фактически, биективное непрерывное отображение является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно открыто, или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда оно замкнуто.

Не композиция из двух открытых карт (соотв. Замкнутые отображения) и снова открытое отображение (соответственно замкнутое отображение) ^[15]^[16] Однако, если это не является открытой (соответственно замкнутым) подмножеством , то это уже не гарантировано. $f:X\to Y$ $g:Y\to Z$ $g\circ f:X\to Z.$ $\operatorname {Im} f$ $\operatorname {domain} g$

Категориальная сумма двух открытых отображений открыта или двух закрытых отображений закрыта. ^[16] Категорное произведение двух открытых отображений открыто, однако категориальное произведение двух замкнутых отображений не должно быть замкнутым. ^[15]^[16]

Биективное отображение открыто тогда и только тогда, когда оно закрыто. Обратным к биективному непрерывному отображению является биективное открытое / замкнутое отображение (и наоборот). Сюръективная открытая карта не обязательно является замкнутой, и аналогично сюръективная замкнутая карта не обязательно является открытой картой.

Лемма о замкнутом отображении - Каждая непрерывная функция из компакта в хаусдорфово пространство замкнута и собственна (т. Е. Прообразы компактов компактны). $f:X\to Y$ $X$ $Y$

Вариант леммы о замкнутом отображении утверждает, что если непрерывная функция между локально компактными хаусдорфовыми пространствами является собственной, то она также замкнута.

В комплексном анализе одноименная теорема об открытом отображении утверждает, что каждая непостоянная голоморфная функция, определенная на связном открытом подмножестве комплексной плоскости, является открытым отображением.

Теорема об инвариантности области утверждает, что непрерывная и локально инъективная функция между двумерными топологическими многообразиями должна быть открытой. $n$

Инвариантность домена - Еслиэто открытое подмножество виявляется инъективны непрерывное отображение , тооткрыто виявляется гомеоморфизм междуи $U$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f:U\to \mathbb {R} ^{n}$ $V:=f(U)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f$ $U$ $V.$

В функциональном анализе теорема об открытом отображении утверждает, что каждый сюръективный непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами является открытым отображением. Эта теорема была обобщена на топологические векторные пространства за пределами банаховых пространств.

Сюръективная карта называется почти открытым отображением , если для каждого существует некоторые такие , что является точкой открытости для которой с помощью определения , что для любых открытых окрестностей в является соседство с в (заметим , что окрестность не требуется , чтобы быть открытой район). Любая сюръективная открытая карта - это почти открытая карта, но в целом обратное не всегда верно. Если сюръекция - почти открытая карта, то это будет открытая карта, если она удовлетворяет следующему условию (условие, которое никоим образом не зависит от топологии пользователя $f:X\to Y$ $y\in Y$ $x\in f^{-1}(y)$ $x$ $f,$ $U$ $x,$ $f(U)$ $f(x)$ $Y$ $f(U)$ $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ $Y$ $\sigma$ ):

всякий раз , когда принадлежат одному и тому же волокна из (т.е. ) , то для каждой окрестности из существует некоторая окрестность из таких , что

m,n\in X

f

f(m)=f(n)

U\in \tau

m,

V\in \tau

n

F(V)\subseteq F(U).

Если карта является непрерывной, то вышеуказанное условие также необходимо для открытия карты. То есть, если это непрерывная сюръекция, то это открытая карта тогда и только тогда, когда она почти открыта и удовлетворяет вышеуказанному условию. $f:X\to Y$

Свойства [ править ]

Позвольте быть карта. Для любого подмножества if является относительно открытым (соответственно, относительно замкнутым, сильно открытым, сильно замкнутым, непрерывным, сюръективным ) отображением, то то же самое верно и в отношении его ограничения $f:X\to Y$ $T\subseteq Y,$ $f:X\to Y$

f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T

к -насыщенному подмножеству f {\displaystyle f} $f^{-1}(T).$

Если это непрерывная карта, которая также открыта или закрыта, то: $f:X\to Y$

если это сюръекция, то это фактор-карта и даже наследственно фактор-карта , $f$
- Сюръективное отображение называется наследственно факторным, если для каждого подмножества ограничение является факторным отображением. $f:X\to Y$ $T\subseteq Y,$ $f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T$
если это инъекция, то это топологическое вложение , и $f$
если - биекция, то это гомеоморфизм . $f$

В первых двух случаях открытие или закрытие - просто достаточное условие для достижения результата. В третьем случае это тоже необходимо .

Если - непрерывная (сильно) открытая карта, и тогда: $f:X\to Y$ $A\subseteq X,$ $S\subseteq Y,$

$f^{-1}\left(\operatorname {Bd} _{Y}S\right)=\operatorname {Bd} _{X}\left(f^{-1}(S)\right)$ где обозначает границу множества. $\operatorname {Bd}$
$f^{-1}\left({\overline {S}}\right)={\overline {f^{-1}(S)}}$ где обозначают замыкание множества. ${\overline {S}}$
Если где обозначает внутренность множества, то ${\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},$ $\operatorname {Int}$
${\overline {\operatorname {Int} _{Y}f(A)}}={\overline {f(A)}}={\overline {f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}}={\overline {f\left({\overline {\operatorname {Int} _{X}A}}\right)}}$
где это множество также обязательно является регулярным замкнутым множеством (in ). ^{[примечание 1]} В частности, если есть регулярное замкнутое множество , то так и если регулярное открытое множество , то так ${\overline {f(A)}}$ $Y$ $A$ ${\overline {f(A)}}.$ $A$ $Y\setminus {\overline {f(X\setminus A)}}.$
Если непрерывное открытое отображение также сюръективно, то и более того, является регулярным открытым (соответственно, регулярным замкнутым) ^{[примечание 1]} подмножеством тогда и только тогда, когда является регулярным открытым (соответственно, регулярным замкнутым) подмножеством $f:X\to Y$ $\operatorname {Int} _{X}f^{-1}(S)=f^{-1}\left(\operatorname {Int} _{Y}S\right)$ $S$ $Y$ $f^{-1}(S)$ $X.$

Предположим , это функция и сюръективное отображение. Там не может существовать какой - либо карту таким образом, что на Это побуждает определяющих набор , который обозначает множество всех таких , что ограничение на к волокну является постоянным отображением (или , что эквивалентно, такой , что является одноточечное множество ). Для любого такого позвольте обозначить постоянное значение, которое принимает на слой. Это индуцирует отображение, которое является единственным отображением, удовлетворяющим для каждого $F:X\to Z$ $\pi :X\to Y$ $f:Y\to Z$ $F=f\circ \pi$ $X.$ $D:=D_{F},$ $y\in Y$ $F{\big \vert }_{\pi ^{-1}(y)}:\pi ^{-1}(y)\to Z$ $F$ $\pi ^{-1}(y)$ $F\left(\pi ^{-1}(y)\right)$ $y\in D,$ $f(y)$ $F$ $\pi ^{-1}(y).$ $f:D\to Z,$ $F\left(\pi ^{-1}(d)\right)=\{f(d)\}$ $d\in D.$

Важность этой карты заключается в том, что она сохраняется там, где по самому своему определению набор является (уникальным) наибольшим подмножеством, на котором может быть определена такая карта . Если - непрерывная открытая сюръекция из пространства с первым счетом на хаусдорфово пространство и если - непрерывное отображение, оцениваемое в хаусдорфовом пространстве, то это замкнутое подмножество ^{[примечание 2],} сюръекция непрерывна и открыта, и (как следствие удерживая ) карта непрерывна. $f$ $F=f\circ \pi$ $\pi ^{-1}(D)$ $D$ $Y$ $f$ $\pi :X\to Y$ $X$ $Y,$ $F:X\to Z$ $Z,$ $D:=D_{F}$ $Y,$ $\pi {\big \vert }_{\pi ^{-1}\left(D\right)}:\pi ^{-1}\left(D\right)\to D$ $F=f\circ \pi$ $\pi ^{-1}(D)$ $f:D\to Z$

См. Также [ править ]

Почти открытая карта - карта, которая удовлетворяет условию, аналогичному условию открытой карты.
Замкнутый график - график функции, который также является замкнутым подмножеством пространства продукта.
Замкнутый линейный оператор
Локальный гомеоморфизм - непрерывное открытое отображение, которое вокруг каждой точки в своей области определения имеет окрестность, на которой оно ограничивается до гомоморфизма.
Квазиоткрытая карта - функция, которая сопоставляет непустые открытые множества с наборами, имеющими непустую внутреннюю часть в ее кодомене.
Факторная карта
Совершенное отображение - Непрерывное замкнутое сюръективное отображение, каждый из слоев которого также является компактным множеством.
Собственное отображение - карта между топологическими пространствами, обладающая тем свойством, что прообраз каждого компакта является компактным.
Карта покрытия последовательности

Заметки [ править ]

^ a b Подмножество называется регулярным замкнутым множеством, если или эквивалентно, если где (соответственно ) обозначает топологическую границу (соответственно внутреннее , замыкание ) в . Множество называется регулярным открытым множеством, если или эквивалентно, если внутреннее ( взято ) замкнутого подмножества всегда является регулярным открытым подмножеством . Замыкание (взятое ) открытого подмножества всегда является регулярным замкнутым подмножеством $S\subseteq X$ ${\overline {\operatorname {Int} S}}=S$ $\operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S,$ $\operatorname {Bd} S$ $\operatorname {Int} S,$ ${\overline {S}}$ $S$ $X.$ $S$ $\operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S$ $\operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S.$ $X$ $X$ $X.$ $X$ $X$ $X.$
^ Менее тривиальный выводчтоэто всегда замкнутое подмножествобыло достигнутонесмотря на точто определениечисто и никоим образом не зависит от любой топологии теоретикомножественных-(хотя требованиебыть непрерывные предельные значениякакие функции видасчитаются , это не влияет на определение). Более того, этот результат показывает, что для любого хаусдорфова пространстваи любого непрерывного отображения(где это пространствои отображениевыбираются без учетаи) множество, тем не менее, обязательно замкнуто в $D=D_{F}$ $Y$ $D_{F}$ $F:X\to Z$ $X\to Z$ $D_{F}$ $Z$ $F:X\to Z$ $Z$ $F$ $Y$ $\pi$ $D_{F}$ $Y.$

Цитаты [ править ]

^ Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2.
^ a b Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 89. ISBN 0-486-66352-3. Важно помнить, что теорема 5.3 утверждает, что функция непрерывна тогда и только тогда, когда прообраз каждого открытого множества открыт. Эту характеристику непрерывности не следует путать с другим свойством, которым функция может обладать или не обладать, - тем свойством, что образ каждого открытого набора является открытым набором (такие функции называются открытыми отображениями ). $f$
^ a b c Ли, Джон М. (2003). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников по математике. 218 . Springer Science & Business Media. п. 550. ISBN 9780387954486. Карта (непрерывная или нет) называется открытой картой, если для каждого замкнутого подмножества открыто в, и закрытой картой, если для каждого замкнутого подмножества закрыто в Непрерывные карты могут быть открытыми, закрытыми, обоими или ни одной, как может быть можно увидеть на простых примерах, включающих подмножества плоскости. $F:X\to Y$ $U\subseteq X,$ $F(U)$ $Y,$ $K\subseteq U,$ $F(K)$ $Y.$
^ a b Люду, Андрей. Нелинейные волны и солитоны на контурах и замкнутых поверхностях . Серия Спрингера в синергетике. п. 15. ISBN 9783642228940. Открытая карта является функцией двух топологических пространств , которая отображает открытые множества в открытые множества. Точно так же замкнутое отображение - это функция, которая отображает замкнутые множества в замкнутые множества. Открытые или закрытые карты не обязательно непрерывны.
^ Сохраба, Хушанг H. (2003). Базовый реальный анализ . Springer Science & Business Media. п. 203. ISBN. 9780817642112. Теперь мы готовы к нашим примерам, которые показывают, что функция может быть открыта без закрытия или закрыта без открытия. Кроме того, функция может быть одновременно открытой и закрытой или ни открытой, ни закрытой. (Цитируемое утверждение дано в контексте метрических пространств, но поскольку топологические пространства возникают как обобщения метрических пространств, утверждение верно и там.)
^ Набер, Грегори Л. (2012). Топологические методы в евклидовых пространствах . Дуврские книги по математике (переиздание). Курьерская корпорация. п. 18. ISBN 9780486153445. Упражнение 1-19. Докажите, что отображение проекции π ₁ : X ₁ × ··· × X _k → X _i является открытым, но не обязательно замкнутым отображением. Подсказка: проекция R ² на не замкнута. Точно так же закрытая карта не обязательно должна быть открытой, поскольку любая постоянная карта закрыта. Однако для взаимно однозначных и взаимно однозначных карт понятия «открытый» и «закрытый» эквивалентны. $\pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ $\mathbb {R}$
^ Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 89. ISBN 0-486-66352-3. Есть много ситуаций , в которых функция обладает свойством , что для каждого открытого подмножества из множества является открытым подмножеством и пока является не непрерывным. $f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)$ $A$ $X,$ $f(A)$ $Y,$ $f$
Перейти ↑ Boos, Johann (2000). Классические и современные методы суммирования . Издательство Оксфордского университета. п. 332. ISBN. 0-19-850165-X. Теперь возникает вопрос, верно ли последнее утверждение в целом, то есть непрерывны ли замкнутые отображения. Как показывает следующий пример, в общем случае это не удается.
^ Kubrusly, Carlos S. (2011). Элементы теории операторов . Springer Science & Business Media. п. 115 . ISBN 9780817649982. В общем, отображение метрического пространства в метрическое пространство может обладать любой комбинацией атрибутов «непрерывный», «открытый» и «закрытый» (т. Е. Это независимые концепции). $F:X\to Y$ $X$ $Y$
^ Харт, КП; Nagata, J .; Vaughan, JE, eds. (2004). Энциклопедия общей топологии . Эльзевир. п. 86 . ISBN 0-444-50355-2. Похоже, что изучение открытых (внутренних) отображений началось с работ С. Стойлова [13,14] . Очевидно, что открытость отображений впервые была подробно изучена Г. Т. Уайберном [19,20].
^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 225-273.
^ Сообщение обмена стеком
^ Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Эддисон-Уэсли. ISBN 0486131785.
^ Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников по математике. 218 (Второе изд.). п. 606. DOI : 10.1007 / 978-1-4419-9982-5 . ISBN 978-1-4419-9982-5. Упражнение A.32. Предположим, это топологические пространства. Покажите, что каждая проекция - это открытая карта. $X_{1},\ldots ,X_{k}$ $\pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$
^ a b Бауэс, Ганс-Иоахим; Кинтеро, Антонио (2001). Теория бесконечной гомотопии . K -Монографии по математике. 6 . п. 53. ISBN 9780792369820. Комбинация открытых карт является открытой, а комбинация замкнутых карт - замкнутой. Также открыт продукт открытых карт. Напротив, продукт закрытых карт не обязательно закрыт, ...
^ a b c Джеймс, И. М. (1984). Общая топология и теория гомотопий . Springer-Verlag. п. 49 . ISBN 9781461382836. ... напомним, что композиция открытых карт открыта, а композиция закрытых карт - замкнута. Также, что сумма открытых карт открыта, а сумма закрытых карт закрыта. Однако продукт закрытых карт не обязательно является закрытым, хотя продукт открытых карт открыт.

Ссылки [ править ]

Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .

[DefOfRegularOpenClosed-17] Подмножество называется регулярным замкнутым множеством, если или эквивалентно, если где (соответственно ) обозначает топологическую границу (соответственно внутреннее , замыкание ) в . Множество называется регулярным открытым множеством, если или эквивалентно, если внутреннее ( взято ) замкнутого подмножества всегда является регулярным открытым подмножеством . Замыкание (взятое ) открытого подмножества всегда является регулярным замкнутым подмножеством $S\subseteq X$ ${\overline {\operatorname {Int} S}}=S$ $\operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S,$ $\operatorname {Bd} S$ $\operatorname {Int} S,$ ${\overline {S}}$ $S$ $X.$ $S$ $\operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S$ $\operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S.$ $X$ $X$ $X.$ $X$ $X$ $X.$

[18] Менее тривиальный выводчтоэто всегда замкнутое подмножествобыло достигнутонесмотря на точто определениечисто и никоим образом не зависит от любой топологии теоретикомножественных-(хотя требованиебыть непрерывные предельные значениякакие функции видасчитаются , это не влияет на определение). Более того, этот результат показывает, что для любого хаусдорфова пространстваи любого непрерывного отображения(где это пространствои отображениевыбираются без учетаи) множество, тем не менее, обязательно замкнуто в $D=D_{F}$ $Y$ $D_{F}$ $F:X\to Z$ $X\to Z$ $D_{F}$ $Z$ $F:X\to Z$ $Z$ $F$ $Y$ $\pi$ $D_{F}$ $Y.$

[1] Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2.

[mendelson-2] Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 89. ISBN 0-486-66352-3. Важно помнить, что теорема 5.3 утверждает, что функция непрерывна тогда и только тогда, когда прообраз каждого открытого множества открыт. Эту характеристику непрерывности не следует путать с другим свойством, которым функция может обладать или не обладать, - тем свойством, что образ каждого открытого набора является открытым набором (такие функции называются открытыми отображениями ). $f$

[lee550-3] Ли, Джон М. (2003). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников по математике. 218 . Springer Science & Business Media. п. 550. ISBN 9780387954486. Карта (непрерывная или нет) называется открытой картой, если для каждого замкнутого подмножества открыто в, и закрытой картой, если для каждого замкнутого подмножества закрыто в Непрерывные карты могут быть открытыми, закрытыми, обоими или ни одной, как может быть можно увидеть на простых примерах, включающих подмножества плоскости. $F:X\to Y$ $U\subseteq X,$ $F(U)$ $Y,$ $K\subseteq U,$ $F(K)$ $Y.$

[ludu15-4] Люду, Андрей. Нелинейные волны и солитоны на контурах и замкнутых поверхностях . Серия Спрингера в синергетике. п. 15. ISBN 9783642228940. Открытая карта является функцией двух топологических пространств , которая отображает открытые множества в открытые множества. Точно так же замкнутое отображение - это функция, которая отображает замкнутые множества в замкнутые множества. Открытые или закрытые карты не обязательно непрерывны.

[5] Сохраба, Хушанг H. (2003). Базовый реальный анализ . Springer Science & Business Media. п. 203. ISBN. 9780817642112. Теперь мы готовы к нашим примерам, которые показывают, что функция может быть открыта без закрытия или закрыта без открытия. Кроме того, функция может быть одновременно открытой и закрытой или ни открытой, ни закрытой. (Цитируемое утверждение дано в контексте метрических пространств, но поскольку топологические пространства возникают как обобщения метрических пространств, утверждение верно и там.)

[6] Набер, Грегори Л. (2012). Топологические методы в евклидовых пространствах . Дуврские книги по математике (переиздание). Курьерская корпорация. п. 18. ISBN 9780486153445. Упражнение 1-19. Докажите, что отображение проекции π ₁ : X ₁ × ··· × X _k → X _i является открытым, но не обязательно замкнутым отображением. Подсказка: проекция R ² на не замкнута. Точно так же закрытая карта не обязательно должна быть открытой, поскольку любая постоянная карта закрыта. Однако для взаимно однозначных и взаимно однозначных карт понятия «открытый» и «закрытый» эквивалентны. $\pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ $\mathbb {R}$

[mendelson2-7] Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 89. ISBN 0-486-66352-3. Есть много ситуаций , в которых функция обладает свойством , что для каждого открытого подмножества из множества является открытым подмножеством и пока является не непрерывным. $f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)$ $A$ $X,$ $f(A)$ $Y,$ $f$

[8] Перейти ↑ Boos, Johann (2000). Классические и современные методы суммирования . Издательство Оксфордского университета. п. 332. ISBN. 0-19-850165-X. Теперь возникает вопрос, верно ли последнее утверждение в целом, то есть непрерывны ли замкнутые отображения. Как показывает следующий пример, в общем случае это не удается.

[9] Kubrusly, Carlos S. (2011). Элементы теории операторов . Springer Science & Business Media. п. 115 . ISBN 9780817649982. В общем, отображение метрического пространства в метрическое пространство может обладать любой комбинацией атрибутов «непрерывный», «открытый» и «закрытый» (т. Е. Это независимые концепции). $F:X\to Y$ $X$ $Y$

[10] Харт, КП; Nagata, J .; Vaughan, JE, eds. (2004). Энциклопедия общей топологии . Эльзевир. п. 86 . ISBN 0-444-50355-2. Похоже, что изучение открытых (внутренних) отображений началось с работ С. Стойлова [13,14] . Очевидно, что открытость отображений впервые была подробно изучена Г. Т. Уайберном [19,20].

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011225-273-11] Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 225-273.

[12] Сообщение обмена стеком

[13] Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Эддисон-Уэсли. ISBN 0486131785.

[14] Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников по математике. 218 (Второе изд.). п. 606. DOI : 10.1007 / 978-1-4419-9982-5 . ISBN 978-1-4419-9982-5. Упражнение A.32. Предположим, это топологические пространства. Покажите, что каждая проекция - это открытая карта. $X_{1},\ldots ,X_{k}$ $\pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$

[baues55-15] Бауэс, Ганс-Иоахим; Кинтеро, Антонио (2001). Теория бесконечной гомотопии . K -Монографии по математике. 6 . п. 53. ISBN 9780792369820. Комбинация открытых карт является открытой, а комбинация замкнутых карт - замкнутой. Также открыт продукт открытых карт. Напротив, продукт закрытых карт не обязательно закрыт, ...

[james49-16] Джеймс, И. М. (1984). Общая топология и теория гомотопий . Springer-Verlag. п. 49 . ISBN 9781461382836. ... напомним, что композиция открытых карт открыта, а композиция закрытых карт - замкнута. Также, что сумма открытых карт открыта, а сумма закрытых карт закрыта. Однако продукт закрытых карт не обязательно является закрытым, хотя продукт открытых карт открыт.

[1]