Интерьер (топология)

Точка

х

является внутренней точкой

S

. Точка

у

находится на границе

S

.

В математике , в частности , в топологии , то внутренний из подмножества $S$ из топологического пространства $X$ является объединением всех подмножеств $S$ , которые открыты в $X$ . Точка , которая находится во внутренней части $S$ является внутренней точкой из $S$ .

Интерьер $S$ является дополнением от закрытия дополнения $S$ . В этом смысле интерьер и закрытие - понятия двойственные .

Внешний вид из множества $S$ является дополнением к закрытию $S$ ; он состоит из точек, не входящих ни в набор, ни в его границу . Внутренняя, граница и внешняя часть подмножества вместе разделяют все пространство на три блока (или меньше, если один или несколько из них пусты). Внутреннее и внешнее пространство всегда открыты, а граница всегда закрыта . Множества с пустой внутренней частью называются граничными множествами . ^[1]

Определения [ править ]

Внутренняя точка [ править ]

Если $S$ является подмножеством евклидова пространства , то $х$ является внутренней точкой $S$ , если существует открытый шар с центром в точке $х$ , которая полностью содержится в $S$ . (Это проиллюстрировано во вводном разделе этой статьи.)

Это определение обобщает любое подмножество $S$ из в метрическом пространстве $X$ с метрикой $д$ : $х$ является внутренней точкой $S$ , если существует $г > 0$ , такие , что $у$ находится в $S$ всякий раз , когда расстояние $d (х, у) < г$ .

Это определение обобщается на топологические пространства , заменяя «открытый шар» на « открытое множество ». Пусть $S$ подмножество топологического пространства $X$ . Тогда $х$ является внутренней точкой $S$ , если $х$ содержится в открытом подмножестве $X$ , которая полностью содержится в $S$ . (Эквивалентно, $х$ является внутренней точкой $S$ , если $S$ является окрестность из $х$ .)

Интерьер набора [ править ]

Интерьер подмножества $S$ топологического пространства $X$ , обозначается $Int S$ или $S °$ , может быть определено в любом из следующих эквивалентных способов:

$Int S$ - это наибольшее открытое подмножество $X,$ содержащееся (как подмножество) в $S$
$Int S$ - это объединение всех открытых множеств $X,$ содержащихся в $S$
$Int S$ - это множество всех внутренних точек $S$

Примеры [ править ]

является внутренней точкой

М

, потому что есть ε-окрестность , которая является подмножеством

М

.

В любом пространстве внутренность пустого множества - это пустое множество.
В любом пространстве $X$ , если $S \subseteq X$ , то $INT S \subseteq S$ .
Если $X$ является евклидово пространство $ℝ$ из действительных чисел , то $Int ([0, 1]) = (0, 1)$ .
Если $X$ является евклидово пространство $ℝ$ , то внутренность множества $ℚ$ из рациональных чисел пусто.
Если $X$ - комплексная плоскость , то ${\ Displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {int} (\ {z \ in \ mathbb {C}: | z | \ leq 1 \}) = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z | <1 \}.}$
В любом евклидовом пространстве внутренность любого конечного множества - это пустое множество.

На множество действительных чисел можно поставить другую топологию вместо стандартной.

Если $X =$ , где $ℝ$ имеет топологию нижнего предела , то int ([0, 1]) = [0, 1).
Если рассматривать на $ℝ$ топологию , в которой каждое множество открыто, то $Int ([0, 1]) = [0, 1]$ .
Если рассматривать на $ℝ$ топологию , в которой только открытые множества являются пустое множество и $ℝ$ сам, то $Int ([0, 1])$ есть пустое множество.

Эти примеры показывают, что внутренняя часть набора зависит от топологии основного пространства. Последние два примера являются частными случаями следующего.

В любом дискретном пространстве , поскольку каждое множество открыто, каждый набор равен своему внутреннему пространству.
В любом недискретном пространстве $X$ , поскольку единственные открытые множества - это пустое множество и сам $X$ , мы имеем $X = int X$ и для каждого собственного подмножества $S$ в $X$ , $int S$ - это пустое множество.

Свойства [ править ]

Пусть $Х$ топологическое пространство , и пусть $S$ и $Т$ быть подмножеством $X$ .

$Int S$ является открытым в $X$ .
Если $T$ открыто в $X$ , то $T \subseteq S$ , если и только если $T \subseteq Int S$ .
$Int S$ является открытым подмножеством $S,$ если $S$ задана топология подпространства .
$S$ представляет собой открытое подмножество $X$ тогда и только тогда , когда $S = INT S$ .
Интенсивное : $Int S \subseteq S$ .
Идемпотентность : $Int (Int S) = Int S$ .
Сохраняет / распределяет по двоичному пересечению : $Int (S \cap T) = (Int S) \cap (Int T)$ .
Монотонные / убывают относительно $\subseteq$ : Если $S \subseteq T$ , то $Int S \subseteq Int T$ .

Вышеупомянутые утверждения останутся верными, если все экземпляры символов / слов

"интерьер", "Int", "открытый", "подмножество" и "наибольший"

соответственно заменяются на

«закрытие», «Cl», «закрытый», «расширенный» и «наименьший»

и меняются местами следующие символы:

"⊆" заменено на "⊇"
"∪" заменено на "∩"

Подробнее об этом см. В разделе « Внутренний оператор» ниже или в статье « Аксиомы замыкания Куратовского» .

Другие свойства включают:

Если $S$ замкнуто в $X$ и $Int T = \emptyset$ тогда $Int (S \cup T) = Int S$ . ^[2]

Оператор салона [ править ]

Оператор интерьера двойственен закрывающий оператор, который обозначается или посредством Оверлайн ^- в том смысле , что $\operatorname {int} _{X}$ $\operatorname {cl} _{X}$

\operatorname {int} _{X}S=X\setminus {\overline {(X\setminus S)}}

а также

{\overline {S}}=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),

где - топологическое пространство, содержащее, а обратная косая черта обозначает теоретико-множественную разность . Следовательно, абстрактная теория операторов замыкания и аксиомы замыкания Куратовского могут быть легко переведены на язык внутренних операторов, заменяя множества их дополнениями в $X$ $S,$ $\,\setminus \,$ $X.$

Обычно внутренний оператор не общается с профсоюзами. Однако в полном метрическом пространстве верен следующий результат:

Теорема ^[3] (К. Урсеску) - Пусть будет последовательность подмножеств полного метрического пространства $S_{1},S_{2},\ldots$ $X.$

Если каждый закрыт, то $S_{i}$ $X$
$\operatorname {cl} _{X}\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} _{X}S_{i}\right)=\operatorname {cl} _{X}\operatorname {int} _{X}\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right).$
Если каждый открыт, то $S_{i}$ $X$
$\operatorname {int} _{X}\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} _{X}S_{i}\right)=\operatorname {int} _{X}\operatorname {cl} _{X}\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right).$

Внешний вид набора [ править ]

( Топологический ) внешний вид подмножества топологического пространства , обозначенное или просто является дополнением к закрытию : $S$ $X,$ $\operatorname {ext} _{X}S$ $\operatorname {ext} S,$ $S$

\operatorname {ext} _{X}S:=S\setminus \operatorname {cl} _{X}S

хотя это может быть эквивалентно определено с точки зрения интерьера:

\operatorname {ext} _{X}S=\operatorname {int} _{X}(X\setminus S)

В качестве альтернативы, интерьер может быть определен в терминах экстерьера с помощью установленного равенства $\operatorname {int} _{X}S$

\operatorname {int} _{X}S=\operatorname {ext} _{X}(X\setminus S).

Как следствие этой взаимосвязи между внутренним и внешним, многие свойства внешнего вида могут быть легко выведены непосредственно из свойств внутреннего и элементарного множества идентичностей . К таким свойствам можно отнести следующее: $\operatorname {ext} _{X}S$ $\operatorname {int} _{X}S$

$\operatorname {ext} _{X}S$ открытое подмножество , не пересекающееся с $X$ $S.$
Если тогда $S\subseteq T$ $\operatorname {ext} _{X}T\subseteq \operatorname {ext} _{X}S.$
$\operatorname {ext} _{X}S$ равно объединению всех открытых подмножеств , не пересекающихся с $X$ $S.$
$\operatorname {ext} _{X}S$ равно наибольшему открытому подмножеству , не пересекающемуся с $X$ $S.$

В отличие от внутреннего оператора, он не идемпотентен , хотя и обладает тем свойством, что $\operatorname {ext} _{X}$ $\operatorname {int} _{X}S\subseteq \operatorname {ext} _{X}\left(\operatorname {ext} _{X}S\right).$

Внутренние непересекающиеся формы [ править ]

Красные формы не пересекаются внутри с синим Треугольником. Зеленая и желтая формы не пересекаются внутри с синим треугольником, но только желтая форма полностью не пересекается с синим треугольником.

Две фигуры $a$ и $b$ называются внутренне-непересекающимися, если пересечение их внутренностей пусто. Внутренне-непересекающиеся формы могут пересекаться или не пересекаться по своей границе.

См. Также [ править ]

Алгебраический интерьер - математическая концепция
Граница (топология)
Замыкание (топология)
Внешний (топология) - наибольшее открытое подмножество, находящееся «вне» данного подмножества.
Внутренняя алгебра
Теорема Жордана о кривой - замкнутая кривая делит плоскость на две области
Квазиотносительный интерьер - Математическая концепция
Относительный интерьер

Ссылки [ править ]

^ Kuratowski, Казимир (1922). "Sur l'Operation Ā de l'Analysis Situs" (PDF) . Fundamenta Mathematicae . Варшава: Польская академия наук. 3 : 182–199. ISSN 0016-2736 .
^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 371-423.
^ Zalinescu, C (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific. п. 33. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112 .

Библиография [ править ]

Бурбаки, Николас (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 .
Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303 .
Часар, Акос (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клара. Бристоль, Англия: ISBN Adam Hilger Ltd. 0-85274-275-4. OCLC 4146011 .
Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 .
Джоши, К.Д. (1983). Введение в общую топологию . Нью-Йорк: ISBN John Wiley and Sons Ltd. 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750 .
Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для выпускников по математике . 27 . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 338047 .
Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Верхний Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 .
Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Шуберт, Хорст (1968). Топология . Лондон: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC 463753 .
Вилански, Альберт (17 октября 2008 г.) [1970]. Топология для анализа . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899 .
Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Дуврские книги по математике (Первое изд.). Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .

Внешние ссылки [ править ]

Интерьер в PlanetMath .

[1] Kuratowski, Казимир (1922). "Sur l'Operation Ā de l'Analysis Situs" (PDF) . Fundamenta Mathematicae . Варшава: Польская академия наук. 3 : 182–199. ISSN 0016-2736 .

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011371-423-2] Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 371-423.

[Zalinescu_2002_p._33-3] Zalinescu, C (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific. п. 33. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112 .

[1]