Топология нижнего предела

В математике , то нижний предел топологии или правой полуинтервал топологии является топология , определенная на множестве из действительных чисел ; она отличается от стандартной топологии на (порожденной открытыми интервалами ) и обладает рядом интересных свойств. Это топология, порожденная базисом всех полуоткрытых интервалов [ a , b ), где a и b - действительные числа.${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Результирующее топологическое пространство называется линией Соргенфрея в честь Роберта Соргенфри или стрелки и иногда записывается . Подобно множеству Кантора и длинной линии , линия Соргенфрея часто служит полезным контрпримером ко многим в остальном правдоподобно звучащим гипотезам в общей топологии . Продукт из с собой также является полезным Контрпример, известный как плоскости Зоргенфрея .${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {l}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {l}}$

Совершенно аналогично, можно также определить топологию верхнего предела или топологию левого полуоткрытого интервала .

Свойства [ править ]

• Топология нижнего предела более тонкая (имеет больше открытых множеств), чем стандартная топология действительных чисел (которая генерируется открытыми интервалами). Причина в том, что каждый открытый интервал можно записать как (счетно бесконечное) объединение полуоткрытых интервалов.
• Для любого вещественного и , интервал будет открыто - замкнутым в (то есть, как открытая и закрытая ). Кроме того, на самом деле , наборы и также закрыты. Это показывает, что линия Соргенфри полностью отключена .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle [а, б)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {l}}$${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle \ {х \ in \ mathbb {R}: х <а \}}$${\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R}: x \ geq a \}}$
• Любое компактное подмножество из должно быть не более чем счетного множества . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим непустое компактное подмножество . Исправьте , рассмотрите следующую открытую крышку :${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {l}}$${\ Displaystyle C \ substeq \ mathbb {R} _ {l}}$${\ displaystyle x \ in C}$${\ displaystyle C}$

${\ Displaystyle {\ bigl \ {} [х, + \ infty) {\ bigr \}} \ чашка {\ Bigl \ {} {\ bigl (} - \ infty, x - {\ tfrac {1} {n} } {\ bigr)} \, {\ Big |} \, n \ in \ mathbb {N} {\ Bigr \}}.}$

Поскольку оно компактно, это покрытие имеет конечное подпокрытие, и, следовательно, существует действительное число такое, что интервал не содержит точек, кроме . Это верно для всех . Теперь выберите рациональное число . Поскольку интервалы , параметризуемые с помощью , попарно не пересекаются, функция инъективна и поэтому не более чем счетна.${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle а (х)}$${\ Displaystyle (а (х), х]}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x \ in C}$${\ Displaystyle д (х) \ в (а (х), х] \ кепка \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle (а (х), х]}$${\ displaystyle x \ in C}$${\ displaystyle q: C \ to \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle C}$

• Название «топология нижнего предела» происходит от следующего факта: последовательность (или сеть ) в сходится к пределу тогда и только тогда, когда она «приближается справа», то есть для каждого существует такой индекс , что . Таким образом, линию Соргенфрея можно использовать для изучения правосторонних пределов : если - функция , то обычный правосторонний предел at (когда codomain несет стандартную топологию) такой же, как обычный предел at, когда домен является снабжен топологией нижнего предела, а кодообласть имеет стандартную топологию.${\ Displaystyle (х _ {\ альфа})}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {l}}$${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\displaystyle \alpha _{0}}$${\displaystyle \forall \alpha \geq \alpha _{0}:L\leq x_{\alpha }<L+\epsilon }$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$
• С точки зрения аксиом разделения , это совершенно нормальное хаусдорфово пространство .${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$
• С точки зрения счетности аксиом , является первым счетным и разъемные , но не второго счетно .${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$
• С точки зрения свойств компактности является линделёфским и паракомпактным , но не σ-компактным и локально компактным .${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$не метризуемо , так как сепарабельные метрические пространства счетны до секунды. Однако топология линии Соргенфрея порождается квазиметрикой .
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$является пространством Бэра [1] .

См. Также [ править ]

• Список топологий

Ссылки [ править ]

• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Dover 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту  0507446