В топологии и смежных отраслей математики , вполне несвязное пространство является топологическим пространством , которое максимально отсоединен, в том смысле , что она не имеет нетривиальных связных подмножеств. В каждом топологическом пространстве синглтоны (и, когда оно считается связным, пустое множество) связаны; в полностью изолированном пространстве это единственные связанные собственные подмножества.
Важным примером полностью разобщенного пространства является множество Кантора . Другой пример, играет ключевую роль в теории алгебраических чисел , является поле Q р о р -адических чисел .
Определение
Топологическое пространство будет полностью отключен , если в подключенных компонентов в- одноточечные множества. Аналогично топологическое пространствобудет полностью путь разъединение , если все пути-компонентов в - одноточечные множества.
Другое тесно связанное понятие - это понятие полностью разделенного пространства , то есть пространства, в котором квазикомпоненты являются одиночными. Эквивалентно топологическое пространство является полностью разделенным пространством тогда и только тогда, когда для каждого , пересечение всех открыто-замкнутых окрестностей это синглтон . Эквивалентно, для каждой пары различных точек, существует пара непересекающихся открытых окрестностей из такой, что .
Очевидно, что всякое полностью разделенное пространство полностью разъединено, но обратное неверно даже для метрических пространств. Например, возьмитебыть типи Кантора, то есть веером Кнастера – Куратовски с удаленной вершиной. потомполностью отключен, но его квазикомпоненты не являются одиночными. Для локально компактных хаусдорфовых пространств два понятия ( полностью несвязные и полностью разделенные ) эквивалентны.
К сожалению, в литературе (например, [1] ) полностью несвязные пространства иногда называют наследственно несвязанными, в то время как терминология полностью несвязная используется для полностью разделенных пространств.
Примеры
Ниже приведены примеры полностью отключенных пространств:
- Дискретные пространства
- В рациональных числах
- В иррациональных числах
- В р-адических чисел ; в общем, все проконечные группы полностью отключены.
- Множество Кантора и пространство Кантора
- Пространство Бэра
- Линия Соргенфрея
- Всякое хаусдорфово пространство малой индуктивной размерности 0 полностью отключено
- Пространство Эрдеша ℓ 2 является полностью несвязным хаусдорфовым пространством, не имеющим малой индуктивной размерности 0.
- Экстремально несвязные хаусдорфовы пространства
- Каменные пространства
- Вентилятор Кнастер-Куратовский обеспечивает примера подключенного пространства, таким образом, что удаление из одной точки производит полностью отключенное пространство.
Характеристики
- Подпространства , продукты и копродукты полностью разъединенных пространств полностью разъединены.
- Полностью отключенные пространства T 1 пространство , так как синглтоны закрыты.
- Непрерывные образы полностью несвязных пространств не обязательно полностью несвязны, на самом деле каждое компактное метрическое пространство является непрерывным образом множества Кантора .
- Локально компактное хаусдорфово пространство имеет малую индуктивную размерность 0 тогда и только тогда , когда он полностью отключен.
- Всякое вполне несвязное компактное метрическое пространство гомеоморфно подмножеству счетного произведения дискретных пространств .
- Вообще говоря, неверно, что каждое открытое множество в полностью отключенном пространстве также закрыто.
- Вообще говоря, неверно, что замыкание каждого открытого множества в полностью несвязном пространстве открыто, т. Е. Не каждое полностью несвязное хаусдорфово пространство является экстремально несвязным .
Создание полностью изолированного пространства
Позволять - произвольное топологическое пространство. Позволять если и только если (где обозначает наибольшее связное подмножество, содержащее ). Очевидно, что это отношение эквивалентности, классы эквивалентности которого являются связными компонентами. Endowс фактор-топологией , т.е. лучшая топология, составляющая картунепрерывный. Приложив немного усилий, мы можем увидеть, чтополностью отключен. Мы также обладаем следующим универсальным свойством : если непрерывная карта в полностью отключенное пространство , то существует единственное непрерывное отображение с участием .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Сигма-ряд в чистой математике. ISBN 3-88538-006-4.
- Уиллард, Стивен (2004), Общая топология , Dover Publications , ISBN 978-0-486-43479-7, MR 2048350(перепечатка оригинала 1970 г., MR0264581 )