В математике экстремально несвязное пространство - это топологическое пространство, в котором закрытие каждого открытого множества открыто. (Термин «экстремально отключенный» является правильным, хотя слово «экстремально отключено» не встречается в большинстве словарей. [1] Иногда используется термин « чрезвычайно отключен» , но он неверен.)
Экстремально несвязное пространство, которое также является компактным и хаусдорфовым , иногда называют пространством Стоунана . Это отличается от пространства Камня , которое обычно представляет собой полностью автономное компактное пространство Хаусдорфа. В двойственности между пространствами Стоуна и булевыми алгебрами пространства Стоуна соответствуют полным булевым алгебрам .
Экстремально несвязное коллекционное хаусдорфово пространство с первым счетом должно быть дискретным. В частности, для метрических пространств свойство быть экстремально несвязным (замыкание каждого открытого множества открыто) эквивалентно свойству дискретности (каждое множество открыто).
Примеры [ править ]
- Каждое дискретное пространство экстремально отключено.
- Стоун-чеховское дискретного пространства экстремально несвязно.
- Спектр абелевой алгебры фон Неймана экстремально несвязен.
- Любая коммутативная AW * -алгебра изоморфна где экстремально несвязно, компактно и Хаусдорфа.
- Любое множество с конфинитной топологией экстремально несвязно, но если множество бесконечно, это пространство связно. В более общем смысле, каждое сверхсвязанное пространство экстремально отключено.
Эквивалентные характеристики [ править ]
Теорема Глисона (1958) утверждает, что проективные объекты категории компактных хаусдорфовых пространств являются в точности экстремально несвязными компактными хаусдорфовыми пространствами. Упрощенное доказательство этого факта дает Рейнуотер (1959) .
Компактное хаусдорфово пространство экстремально несвязно тогда и только тогда, когда оно является ретрактом компактификации Стоуна – Чеха дискретного пространства. [2]
Приложения [ править ]
Хартиг (1983) доказывает теорему Рисса – Маркова – Какутани о представлении , сводя ее к случаю экстремально несвязных пространств, и в этом случае теорему о представлении можно доказать элементарными средствами.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ "экстремально" в OED
- ^ Semadeni (1971 , теорема. 24.7.1)
- А.В. Архангельский (2001) [1994], "Экстремально-несвязное пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Глисона, Эндрю М. (1958), "Проекционные топологические пространства", штат Иллинойс Журнал математики , 2 (4A): 482-489, DOI : 10,1215 / IJM / 1255454110 , МР 0121775
- Хартиг, Дональд Г. (1983), "Теорема Рисса представление вновь", American Mathematical Monthly , 90 (4): 277-280, DOI : 10,2307 / 2975760
- Джонстон, Питер Т. (1982). Каменные пространства . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-23893-5.
- Дождевая вода, Джон (1959), "Обратите внимание на проективные резолюций", Труды Американского математического общества , 10 (5): 734-735, DOI : 10,2307 / 2033466 , JSTOR 2033466
- Семадени, Збигнев (1971), Банаховы пространства непрерывных функций. Vol. I , PWN --- Польское научное издательство, Варшава, MR 0296671
