В математике теорема Рисса – Маркова – Какутани о представлении связывает линейные функционалы на пространствах непрерывных функций на локально компактном пространстве с мерами в теории меры. Теорема названа в честь Фриджеса Рисса ( 1909 ), который ввел ее для непрерывных функций на единичном интервале , Андрея Маркова ( 1938 ), который распространил результат на некоторые некомпактные пространства, и Шизуо Какутани ( 1941 ), который распространил результат на компактные хаусдорфовые пространства пробелы .
Существует множество тесно связанных вариаций теоремы, так как линейные функционалы могут быть комплексными, действительными или положительными , пространство, в котором они определены, может быть единичным интервалом, компактным пространством или локально компактным пространством , непрерывные функции могут быть равны нулю. на бесконечности или имеют компактную опору , и меры могут быть мерами Бэра, или регулярными мерами Бореля, или мерами Радона, или мерами со знаком, или комплексными мерами .
Теорема о представлении положительных линейных функционалов на C c ( X )
Следующая теорема представляет положительные линейные функционалы на С с ( X ), в пространстве непрерывных компактно поддерживаемых комплексных функций на локально компактной хаусдорфова пространства X . В борелевских в следующем операторе относится к а-алгебре , порожденной открытыми множествами .
Неотрицательная счетно-аддитивная борелевская мера μ на локально компактном хаусдорфовом пространстве X является мерой Радона тогда и только тогда, когда
- μ ( K ) <∞ для любого компакта K ;
- Для каждого борелевского множества Е ,
- Соотношение
- выполняется всякий раз, когда E открыто или когда E борелевское и μ ( E ) <∞.
Теорема . Пусть X - локально компактное хаусдорфово пространство . Для любого положительного линейного функционала на C c ( X ) существует единственная мера Радона μ на X такая, что
Один из подходов к теории меры - начать с меры Радона , определяемой как положительный линейный функционал на C c ( X ). Это путь Бурбаки ; он, конечно, предполагает, что X начинает жизнь как топологическое пространство , а не просто как набор. Затем для локально компактных пространств восстанавливается теория интегрирования.
Без условия регулярности мера Бореля не обязана быть единственной. Например, пусть X будет набором ординалов, не более чем равным первому несчетному порядковому номеру Ω, с топологией, порожденной « открытыми интервалами ». Линейный функционал, приводящий непрерывную функцию к ее значению в Ω, соответствует регулярной борелевской мере с точечной массой в Ω. Однако он также соответствует (нерегулярной) борелевской мере, которая сопоставляет меру 1 любому борелевскому множествуесли есть замкнутое и неограниченное множество с участием , и присваивает меру 0 другим борелевским множествам. (В частности, синглтон {Ω} получает меру 0, в отличие от меры точечной массы.)
Историческое замечание
В исходной форме теоремы Ф. Рисса (1909) утверждается, что любой непрерывный линейный функционал A [ f ] над пространством C ([0, 1]) непрерывных функций в интервале [0,1] может быть представлен в виде форма
где α ( x ) - функция ограниченной вариации на интервале [0, 1], а интеграл - это интеграл Римана – Стилтьеса . Поскольку существует взаимно однозначное соответствие между регулярными мерами Бореля в интервале и функциями ограниченной вариации (которое ставит в соответствие каждой функции ограниченной вариации соответствующую меру Лебега – Стилтьеса, а интеграл по мере Лебега – Стилтьеса согласовывается) с интегралом Римана – Стилтьеса для непрерывных функций) сформулированная выше теорема обобщает исходное утверждение Ф. Рисса. (Историческое обсуждение см. В Gray (1984)).
Теорема о представлении непрерывного двойственного к C 0 ( X )
Следующая теорема, также упоминается как теорема Рисса-Маркова , дает конкретную реализацию топологического сопряженного пространства из С 0 ( X ), множество непрерывных функций на X , которые обращаются в нуль на бесконечности . Под борелевскими множествами в формулировке теоремы также понимается σ-алгебра, порожденная открытыми множествами.
Если µ - комплексная счетно-аддитивная борелевская мера, то µ называется регулярной, если неотрицательная счетно-аддитивная мера | µ | является регулярным, как определено выше.
- Теорема . Пусть X - локально компактное хаусдорфово пространство. Для любого непрерывного линейного функционала ψ на C 0 ( X ) существует единственная регулярная счетно-аддитивная комплексная борелевская мера μ на X такая, что
- Норма ψ как линейного функционала - это полная вариация μ, т. Е.
- Наконец, ψ положительна тогда и только тогда, когда мера μ неотрицательна.
Это утверждение о линейных функционалах можно вывести из утверждения о положительных линейных функционалах, сначала показав, что ограниченный линейный функционал может быть записан как конечная линейная комбинация положительных.
Рекомендации
- Фреше, М. (1907). "Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires". CR Acad. Sci. Париж . 144 : 1414–1416.
- Грей, JD (1984). «Формирование теоремы о представлении Рисса: глава в истории анализа». Архив истории точных наук . 31 (2): 127–187. DOI : 10.1007 / BF00348293 .
- Хартиг, Дональд Г. (1983). "Повторное обращение к теореме Рисса о представлении". Американский математический ежемесячник . 90 (4): 277–280. DOI : 10.2307 / 2975760 . JSTOR 2975760 .; теоретико-категориальное представление как естественное преобразование.
- Какутани, Шизуо (1941). «Конкретное представление абстрактных (M) -пространств. (Характеристика пространства непрерывных функций.)». Аня. математики . Series 2. 42 (4): 994–1024. DOI : 10.2307 / 1968778 . hdl : 10338.dmlcz / 100940 . JSTOR 1968778 . MR 0005778 .
- Марков, А. (1938). «О средних значениях и внешних плотностях». Рек. Математика. Москва . NS 4 : 165–190. Zbl 0020.10804 .
- Рис, Ф. (1907). "Sur une espèce de géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables". CR Acad. Sci. Париж . 144 : 1409–1411.
- Рис, Ф. (1909). "Sur les opérations fonctionnelles linéaires". CR Acad. Sci. Париж . 149 : 974–977.
- Халмос, П. (1950). Теория меры . Д. ван Ностранд и Ко.
- Вайсштейн, Эрик В. "Теорема о представлении Рисса" . MathWorld .
- Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ . ISBN 0-07-100276-6.