В математическом анализе , функция ограниченной вариации , также известная как BV функция , является реальной значной функцией которого полного вариация ограничена (конечный): график функции , обладающей этого свойство хорошо ведет себя в точном смысле. Для непрерывной функции одной переменных , будучи ограниченными средствами вариации , что расстояние по направлению от у оси х , пренебрегая вклад движения вдоль х Оу , пройденный с точкойдвижение по графу имеет конечное значение. Для непрерывной функции нескольких переменных смысл определения тот же, за исключением того факта, что рассматриваемый непрерывный путь не может быть целым графиком данной функции (которая в данном случае является гиперповерхностью ), но может быть каждое пересечение самого графа с гиперплоскостью (в случае функций двух переменных - плоскостью ), параллельной фиксированной оси x и оси y .
Функции ограниченной вариации - это как раз те функции, по которым можно найти интегралы Римана – Стилтьеса от всех непрерывных функций.
Другая характеристика утверждает, что функции ограниченной вариации на компактном интервале - это в точности те функции f, которые могут быть записаны как разность g - h , где и g, и h ограниченно монотонны . В частности, функция BV может иметь разрывы, но в лучшем случае счетное множество.
В случае нескольких переменных функция f, определенная на открытом подмножестве Ω множестваназывается имеющей ограниченную вариацию, если ее производная по распределению является векторной конечной радоновской мерой .
Одним из наиболее важных аспектов функций ограниченной вариации в том , что они образуют алгебру из разрывных функций которых первых производная существует почти всюду : из - за этот факт, что они могут и часто используется для определения обобщенных решений нелинейных задач , связанных с функционалами , обычными и уравнения в частных производных в математике , физике и технике .
У нас есть следующие цепочки включений для непрерывных функций на замкнутом ограниченном интервале вещественной прямой:
- Непрерывно дифференцируемая ⊆ липшицируемая ⊆ абсолютно непрерывен ⊆ непрерывной и ограниченной вариации ⊆ дифференцируема почти всюду
История
Согласно Борису Голубову, BV- функции одной переменной были впервые введены Камиллой Жорданом в статье ( Jordan 1881 ), посвященной сходимости рядов Фурье . Первый успешный шаг в обобщении этого понятия к функциям нескольких переменных был связан с Леонидами Tonelli , [1] , который ввел класс непрерывных БВ функций в 1926 году ( Чезари 1986 , стр. 47-48), чтобы продлить его прямой метод для поиска решений проблем вариационного исчисления более чем одной переменной. Десять лет спустя, в ( Cesari 1936 ), Ламберто Чезари изменил требование непрерывности в определении Тонелли на менее ограничительное требование интегрируемости , впервые получив класс функций ограниченной вариации нескольких переменных в его полной общности: как это делал Джордан ранее. Он применил эту концепцию для решения проблемы сходимости рядов Фурье, но для функций двух переменных . После него несколько авторов применили BV- функции для изучения рядов Фурье от нескольких переменных, геометрической теории меры , вариационного исчисления и математической физики . Ренато Каксиопполи и Эннио Де Джорджи использовали их , чтобы определить меру по негладким границам в наборах (см записи « Р. Каччиополи набор » для получения дополнительной информации). Ольга Арсеньевна Олейник представила свой взгляд на обобщенные решения нелинейных уравнений с частными производными как функции от пространства BV в статье ( Олейник, 1957 ) и смогла построить обобщенное решение ограниченной вариации уравнения с частными производными первого порядка в статье ( Oleinik 1959 ): несколько лет спустя Эдвард Д. Конвей и Джоэл А. Смоллер применили BV- функции к изучению одного нелинейного гиперболического уравнения с частными производными первого порядка в статье ( Conway & Smoller 1966 ), доказав, что решение задача Коши для таких уравнений является функцией ограниченной вариации, при условии , что начальное значение принадлежит к тому же классу. Айзик Исаакович Вольперт широко разработал исчисление для BV- функций: в статье ( Vol'pert 1967 ) он доказал цепное правило для BV-функций, а в книге ( Hudjaev & Vol'pert 1985 ) он вместе со своим учеником Сергеем Ивановичем Худжаев подробно исследовал свойства BV- функций и их применение. Его формула цепного правила позже была расширена Луиджи Амбросио и Джанни Даль Мазо в статье ( Ambrosio & Dal Maso 1990 ).
Формальное определение
BV функции одной переменной
Определение 1.1. Полная вариация [2] непрерывной реального -значной (или в более общем случае комплекс значные) функции F , определенная на интервале [ , Ь ] ⊂ ℝ является величиной
где супремум берется по множествувсех рассматриваемых разбиений интервала.
Если F является дифференцируемой и ее производная Римана-интегрируема, ее полная вариация является вертикальная составляющая длины дуги ее графа, то есть сказать,
Определение 1.2. Непрерывная функция с действительными значениямина вещественной прямой имеет ограниченную вариацию ( функцию BV ) на выбранном интервале [ a , b ] ⊂ ℝ, если его полная вариация конечна, т. е.
Можно доказать , что действительная функция ƒ ограниченной вариации втогда и только тогда, когда его можно записать как разность ƒ = ƒ 1 - ƒ 2 двух неубывающих функций на: этот результат известен как разложение Жордана функции и связан с разложением Жордана меры .
С помощью интеграла Стилтьеса любая функция ограниченной вариации на отрезке [ a , b ] определяет ограниченный линейный функционал на C ([ a , b ]). В этом частном случае, [3] в Рисса-Маркова-Какутани теоремы о представлении говорится , что каждый линейный ограниченный функционал возникает однозначно таким образом. Нормализованные положительные функционалы или вероятностные меры соответствуют положительным неубывающим полунепрерывным снизу функциям . Эта точка зрения была важна в спектральной теории , [4] , в частности , в применении к обыкновенным дифференциальным уравнениям .
BV функции нескольких переменных
Функции ограниченной вариации, BV- функции , - это функции, производная по распределению которых является конечной [5] мерой Радона . Точнее:
Определение 2.1. Позволятьбыть открытое подмножество из. Функция принадлежащий L 1 ( Ω ) {\ Displaystyle L ^ {1} (\ Omega)} говорят об ограниченной вариации ( функция BV ) и записывают
если существует конечная векторная мера Радона такое, что имеет место равенство
это, определяет линейный функционал на пространствеиз непрерывно дифференцируемых вектор - функций в компактный носитель , содержащийся в: векторная мера представляет собой , следовательно, распределительный или слабый градиент от.
BV можно определить эквивалентно следующим образом.
Определение 2.2. Учитывая функцию принадлежащий , полная вариация[2] в определяется как
где является существенной нормой супремума . Иногда, особенно в теории множеств Каччопполи , используются следующие обозначения
чтобы подчеркнуть, что это общее изменение обобщенного / слабого градиент от. Это обозначение напоминает также, что если классный (т.е. непрерывная и дифференцируемая функция , имеющая непрерывные производные ) , то его изменение в точности интеграл от абсолютной величины его градиента .
Тогда пространство функций ограниченной вариации ( BV-функций ) можно определить как
Эти два определения эквивалентны, поскольку если тогда
следовательно определяет непрерывный линейный функционал на пространстве. Св качестве линейного подпространства , это непрерывный линейный функционал может быть расширен непрерывно и линейно в целомпо теореме Хана – Банаха . Следовательно, непрерывный линейный функционал определяет меру Радона по теореме о представлении Рисса – Маркова – Какутани .
Локально BV функции
Если пространство функций из локально интегрируемых функций , то есть функции , принадлежащие, рассматривается в предыдущих определениях 1.2 , 2.1 и 2.2 вместо одного из глобально интегрируемых функций , то определенное функциональное пространство является пространством функций локально ограниченной вариации . Точнее, развивая эту идею для определения 2.2 , локальная вариация определяется следующим образом:
для каждого набора , определив как совокупность всех предкомпактных открытых подмножеств впо отношению к стандартной топологии из конечномерных векторных пространств , и соответственно класса функций локально ограниченной вариации определяются как
Обозначение
В основном существуют два различных соглашения для обозначения пространств функций локально или глобально ограниченной вариации, и, к сожалению, они очень похожи: первое, которое является принятым в этой статье, используется, например, в ссылках Giusti (1984). (частично), Hudjaev & Vol'pert (1985) (частично), Giaquinta, Modica & Souček (1998) и является следующим
- определяет пространство функций глобально ограниченной вариации
- отождествляет пространство функций локально ограниченной вариации
Второй, принятый в ссылках Вольперт (1967) и Мазья (1985) (частично), следующий:
- определяет пространство функций глобально ограниченной вариации
- отождествляет пространство функций локально ограниченной вариации
Основные свойства
В дальнейшем будут рассмотрены только свойства, общие для функций одной переменной и функций нескольких переменных, и доказательства будут проводиться только для функций нескольких переменных, поскольку доказательство для случая одной переменной представляет собой прямую адаптацию нескольких переменных. случай переменных: также в каждом разделе будет указано, используется ли это свойство также функциями локально ограниченной вариации или нет. Ссылки ( Giusti 1984 , pp. 7–9), ( Hudjaev & Vol'pert 1985 ) и ( Màlek et al. 1996 ) широко используются.
Функции BV имеют только скачкообразные или устраняемые разрывы
В случае одной переменной утверждение ясно: для каждой точки в интервале определения функции , верно одно из следующих двух утверждений
в то время как оба предела существуют и конечны. В случае функций нескольких переменных, есть некоторые помещения , чтобы понять: во- первых, существует континуум из направлений , по которым можно подойти к данной точке принадлежащий домену ⊂. Необходимо уточнить подходящее понятие предела : выбор единичного вектора можно разделить в двух наборах
Затем для каждой точки принадлежащий домену от BV функции, верно только одно из следующих двух утверждений
или же принадлежит к подгруппе из имея ноль -мерная мера Хаусдорфа . Количество
называются приблизительные пределы этого BV функции в момент .
V (·, Ω) полунепрерывно снизу на L 1 (Ω)
функционал является полунепрерывного снизу : чтобы это увидеть, выбрать последовательность Коши из BV -функции сходится к ты ∈ L место 1 ( Ω ) {\ Displaystyle \ scriptstyle и \ в L _ {\ text {loc}} ^ {1} (\ Omega)} . Тогда, поскольку все функции последовательности и их предельная функция интегрируемы и по определению нижнего предела
Теперь рассмотрим супремум на множестве функций такой, что то справедливо неравенство
что и есть определение полунепрерывности снизу .
BV (Ω) - банахово пространство
По определению является подмножеством из L 1 ( Ω ) {\ Displaystyle L ^ {1} (\ Omega)} , а линейность следует из свойств линейности определяющего интеграла, т.е.
для всех следовательно для всех , а также
для всех , следовательно для всех , и все . Из доказанных свойств векторного пространства следует, чтоявляется векторным подпространством в L 1 ( Ω ) {\ Displaystyle L ^ {1} (\ Omega)} . Рассмотрим теперь функцию определяется как
где это обычный L 1 ( Ω ) {\ Displaystyle L ^ {1} (\ Omega)} норма : легко доказать, что это норма на. Чтобы увидеть этоявляется полным относительно него, т. е. является банаховым пространством , рассмотрим последовательность Коши в . По определению это также последовательность Коши ви поэтому имеет предел в : поскольку ограничен для каждого , тогда по полунепрерывности вариации, следовательно является функцией BV . Наконец, снова по полунепрерывности снизу, выбирая произвольное малое положительное число
Из этого мы заключаем, что непрерывно, потому что это норма.
BV (Ω) не отделимо
Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть следующий пример, принадлежащий пространству : [6] для каждого 0 < α <1 определите
в качестве характеристической функции в интервале левого-замкнутой . Тогда, выбирая α, β ∈такое, что α ≠ β, выполняется соотношение
Теперь для того, чтобы доказать , что всякое плотное подмножество изне может быть счетным , достаточно увидеть, что для каждогоможно построить шары
Очевидно , эти шары попарно не пересекаются , а также является индексированным семейством из множеств которого множество индексов является. Отсюда следует, что это семейство имеет мощность континуума : теперь, поскольку каждое плотное подмножестводолжен иметь по крайней мере точку внутри каждого члена этого семейства, его мощность должна быть не менее мощности континуума и, следовательно, не может быть счетным подмножеством. [7] Этот пример, очевидно, может быть расширен на более высокие измерения, и, поскольку он включает только локальные свойства , он подразумевает, что то же свойство верно и для.
Цепное правило для функций BV
Цепные правила для негладких функций очень важны в математике и математической физике, поскольку существует несколько важных физических моделей , поведение которых описывается функциями или функционалами с очень ограниченной степенью гладкости . В статье доказано следующее цепное правило ( Вольперт, 1967 , с. 248). Обратите внимание, что все частные производные следует интерпретировать в обобщенном смысле, то есть как обобщенные производные .
Теорема . Позволять быть функцией класса (т.е. непрерывная и дифференцируемая функция, имеющая непрерывные производные ) и пусть быть функцией в с участием будучи открытое подмножество из. потом а также
где - среднее значение функции в точке , определяется как
Более общая формула цепного правила для липшицевых функций был обнаружен Луиджи Амбросио и Джанни Даль Мазо и опубликован в статье ( Ambrosio & Dal Maso 1990 ). Однако даже эта формула имеет очень важные прямые последствия: использование на месте , где также функция и выбор , предыдущая формула дает правило Лейбница для функции
Это означает, что произведение двух функций ограниченной вариации снова является функцией ограниченной вариации , поэтомуэто алгебра .
BV (Ω) - банахова алгебра
Это свойство непосредственно следует из того, что является банаховым пространством, а также ассоциативной алгеброй : отсюда следует, что если а также являются последовательности Коши изфункции, сходящиеся соответственно к функциям а также в , тогда
поэтому обычное произведение функций является непрерывными вотносительно каждого аргумента, что делает это функциональное пространство банаховой алгеброй .
Обобщения и расширения
Взвешенные функции BV
Вышеупомянутое понятие общей вариации можно обобщить так, чтобы разные вариации имели разный вес. Точнее, пусть - любая возрастающая функция такая, что ( весовая функция ) и пусть- функция из интервала ⊂ℝ, принимающая значения в нормированном векторном пространстве . Тогда-вариации из над определяется как
где, как обычно, супремум берется по всем конечным разбиениям интервала, Т.е. все конечные множества из действительных чисел такой, что
Первоначальное понятие вариации, рассмотренное выше, является частным случаем-вариация, для которой весовая функция является тождественной функцией : следовательно, интегрируемая функция называется взвешенной BV- функцией (веса) тогда и только тогда, когда его -вариация конечна.
Космос является топологическим векторным пространством относительно нормы
где обозначает обычную супремум норму о. Взвешенные BV- функции были введены и изучены в полной общности Владиславом Орличем и Юлианом Муселаком в статье Musielak & Orlicz 1959 : Laurence Chisholm Young ранее изучал случай где положительное целое число.
Функции SBV
Функции SBV, т.е. специальные функции ограниченной вариации, были введены Луиджи Амброзио и Эннио де Джорджи в статье ( Ambrosio & De Giorgi, 1988 ), посвященной вариационным задачам со свободным разрывом : задано открытое подмножество из , космос является собственным линейным подпространством в, Так как слабый градиент каждой функции , принадлежащей к нему как раз и состоит из суммы А.Н.- габаритная опора и- размерная опорная мера и отсутствие промежуточных размерных терминов , как видно из следующего определения.
Определение . Для локально интегрируемой функции , тогда если и только если
1. Существуют две борелевские функции а также из домена и codomain такой, что
2. Для всех непрерывно дифференцируемых вектор-функций в компактный носитель , содержащийся в, т.е. для всех верна следующая формула:
где это - мерная мера Хаусдорфа .
Подробности о свойствах функций SBV можно найти в работах, цитируемых в разделе библиографии: в частности, статья ( De Giorgi, 1992 ) содержит полезную библиографию .
bv последовательности
В частности , примеры банаховых пространств , Данфорд и Шварц (1958 , глава IV)
рассмотрим пространства последовательностей ограниченной вариации в дополнение к пространствам функций ограниченной вариации. Полная вариация последовательности x = ( x i ) действительных или комплексных чисел определяется какПространство всех последовательностей конечной полной вариации обозначается bv . Норма на bv определяется выражением
С этой нормой пространство bv является банаховым пространством, изоморфным пространству.
Сама полная вариация определяет норму на некотором подпространстве в bv , обозначаемом bv 0 , состоящем из последовательностей x = ( x i ), для которых
Норма на bv 0 обозначается
Относительно этой нормы bv 0 также становится банаховым пространством, которое изоморфно и изометрично пространству (хотя и не естественным образом).
Меры ограниченной вариации
Подписал (или комплекс ) мера на измеримом пространстве называется ограниченной вариацией, если ее полная вариация ограничен: см. Халмос (1950 , стр. 123), Колмогоров и Фомин (1969 , стр. 346) или статью « Полная вариация » для дальнейших подробностей.
Примеры
Как упоминалось во введении, два больших класса примеров функций BV - это монотонные функции и абсолютно непрерывные функции. Отрицательный пример: функция
является не ограниченной вариации на отрезке
Хотя это и труднее увидеть, непрерывная функция
является не ограниченной вариации на отрезке либо.
При этом функция
имеет ограниченную вариацию на интервале . Однако все три функции имеют ограниченную вариацию на каждом интервале с участием .
Пространство Соболева является подмножеством из. Фактически, для каждого в можно выбрать меру (где является мерой Лебега на) такое, что равенство
верно, поскольку это не более чем определение слабой производной , и, следовательно, верно. Легко найти пример функции BV, которая не является: в размерности один подойдет любая ступенчатая функция с нетривиальным скачком.
Приложения
Математика
Функции ограниченной вариации изучались в связи с множеством разрывов функций и дифференцируемостью вещественных функций, и следующие результаты хорошо известны. Если- вещественная функция ограниченной вариации на интервале тогда
- является непрерывным , кроме наиболее на счетном множестве ;
- имеет односторонние ограничения везде (пределы слева везде в, и справа повсюду в ;
- производная существует почти всюду (т. е. кроме множества нулевой меры ).
Для реальных функций нескольких вещественных переменных
- характеристическая функция из множества Р. Каччиополи является BV функции: BV функции лежат в основе современной теории периметров.
- Минимальные поверхности являются графиками из BV функций: в этом контексте, см ссылки ( Giusti 1984 ).
Физика и инженерия
Способность функций BV работать с разрывами широко использовалась в прикладных науках: решения задач механики, физики, химической кинетики очень часто могут быть представлены функциями ограниченной вариации. В книге ( Худжаев и Вольперт, 1985 ) подробно описан очень обширный набор приложений BV- функций в математической физике . Также есть несколько современных приложений, которые заслуживают краткого описания.
- Функционал Мамфорда – Шаха : проблема сегментации двумерного изображения, т.е. проблема точного воспроизведения контуров и серых шкал, эквивалентна минимизации такого функционала .
- Полное изменение шумоподавления
Смотрите также
- Ренато Каччопполи
- Набор Caccioppoli
- Ламберто Чезари
- Эннио де Джорджи
- Теорема выбора Хелли
- Локально интегрируемая функция
- L p (Ω) пространство
- Интеграл Лебега – Стилтьеса.
- Радоновая мера
- Приведенная производная
- Интеграл Римана – Стилтьеса.
- Общая вариация
- Вольперт Айзик Исаакович
- Полное изменение шумоподавления
Заметки
- ^ Тонелли представил то, что теперь называется в его честь вариация плоскости Тонелли : для анализа этой концепции и ее отношений с другими обобщениями см. Статью « Полная вариация ».
- ^ a b Для получения дополнительных сведений см. раздел « Общее отклонение ».
- ^ См., Например, Колмогоров и Фомин (1969 , стр. 374–376).
- ^ Для общей справки по этой теме см. Riesz & Szkefalvi-Nagy (1990).
- ^ В этом контексте «конечный» означает, что его значение никогда не бывает бесконечным , т. Е. Это конечная мера .
- ^ Пример взят из Giaquinta, Modica & Souček (1998 , p. 331): см. Также ( Kannan & Krueger 1996 , example 9.4.1, p. 237).
- ^ Тот же аргумент используется Колмогоровым и Фоминым (1969 , пример 7, стр. 48–49) для доказательства неотделимости пространства ограниченных последовательностей , а также Каннаном и Крюгером (1996 , пример 9.4.1,стр.с. 237).
Рекомендации
Исследовательские работы
- Амбросио, Луиджи ; Фуско, Никола ; Паллара, Диего (2000), Функции ограниченной вариации и проблемы со свободным разрывом , Oxford Mathematical Monographs, Oxford: The Clarendon Press / Oxford University Press, стр. Xviii + 434, ISBN 978-0-19-850245-6, Руководство по ремонту 1857292 , Zbl 0957.49001.
- Брудный, Юрий (2007), "Функции многих переменных ограниченной ( k , p ) –вариации" , в Randrianantoanina, Beata; Рандрианантоанина, Нарцисс (ред.), Банаховы пространства и их приложения в анализе. Материалы международной конференции, Университет Майами, Оксфорд, Огайо, США, 22–27 мая 2006 г. В честь 60-летия Найджела Калтона , Берлин – Бостон: Walter De Gruyter, стр. 37–58, doi : 10.1515 / 9783110918298.37 , ISBN 978-3-11-019449-4, Руководство по ремонту 2374699 , Zbl 1138.46019
- Данфорд, Нельсон ; Якоб Т., Шварц (1958), Линейные операторы. Часть I: Общая теория , чистая и прикладная математика, VII , Нью-Йорк – Лондон – Сидней: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-60848-3, Zbl 0084,10402. Включает обсуждение функционально-аналитических свойств пространств функций ограниченной вариации.
- Джакинта, Мариано ; Модика, Джузеппе; Соучек, Иржи (1998), Декартовы течения в вариационном исчислении I , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике, 37 , Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer Verlag, ISBN 3-540-64009-6, Zbl 0914,49001.
- Джусти, Энрико (1984), Минимальные поверхности и функции ограниченных вариаций , Монографии по математике, 80 , Базель – Бостон – Штутгарт: Birkhäuser Verlag, стр. XII + 240, ISBN 978-0-8176-3153-6, Руководство по ремонту 0775682 , Zbl 0545.49018, в частности, часть I, глава 1 « Функции ограниченной вариации и множества Каччопполи ». Хороший справочник по теории множеств Каччопполи и их применению к задаче о минимальной поверхности .
- Халмос, Пол (1950), теория меры , Van Nostrand and Co., ISBN 978-0-387-90088-9, Zbl 0040.16802. Ссылка на предварительный просмотр более позднего переиздания Springer-Verlag.
- Худжаев Сергей Иванович; Вольперт, Айзик Исаакович (1985), Анализ в классах разрывных функций и уравнений математической физики , Механика: анализ, 8 , Dordrecht – Boston – Lancaster: Martinus Nijhoff Publishers, ISBN 90-247-3109-7, Руководство по ремонту 0785938 , Zbl 0564.46025. Вся книга посвящена теории BV- функций и их приложениям к задачам математической физики, связанным с разрывными функциями и геометрическими объектами с негладкими границами .
- Каннан, Рангачари; Крюгер, Кэрол Кинг (1996), Расширенный анализ реальной линии , Universitext, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag, стр. X + 259, ISBN 978-0-387-94642-9, Руководство по ремонту 1390758 , Zbl 0855.26001. Возможно, самый полный справочник по теории функций BV от одной переменной: классические результаты и расширенные результаты собраны в главе 6 « Ограниченная вариация » вместе с несколькими упражнениями. Первый автор был сотрудником Ламберто Чезари .
- Колмогоров, Андрей Н .; Фомин, Сергей В. (1969), Введение в реальный анализ , Нью-Йорк: Dover Publications, стр. Xii + 403, ISBN 0-486-61226-0, Руководство по ремонту 0377445 , Zbl 0213.07305.
- Леони, Джованни (2017), Первый курс по пространствам Соболева , Аспирантура по математике (второе изд.), Американское математическое общество, стр. Xxii + 734, ISBN 978-1-4704-2921-8.
- Малек, Йозеф; Некас, Йиндржих; Рокита, Мирко; Ружичка, Майкл (1996), Слабые и мерозначные решения эволюционных УЧП , Прикладная математика и математические вычисления, 13 , Лондон – Вайнхайм – Нью-Йорк – Токио – Мельбурн – Мадрас: Chapman & Hall CRC Press, стр. Xi + 331, ISBN 0-412-57750-X, Руководство по ремонту 1409366 , Zbl 0851.35002. Одна из наиболее полных монографий по теории мер Юнга , сильно ориентированная на приложения в механике сплошных сред жидкости.
- Мазья, Владимир Г. (1985), Пространства Соболева , Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-13589-8, Zbl 0692,46023; в частности, главу 6 «О функциях в пространстве BV (Ω) ». Одна из лучших монографий по теории пространств Соболева .
- Моро, Жан-Жак (1988), «Ограниченное изменение во времени», в Moreau, JJ; Panagiotopoulos, PD; Стрэнг, Г. (ред.), « Вопросы негладкой механики» , Базель – Бостон – Штутгарт: Birkhäuser Verlag, стр. 1–74, ISBN 3-7643-1907-0, Zbl 0657,28008
- Musielak, Джулиан; Орлич, Владислав (1959), «Об обобщенных вариациях (I)» (PDF) , Studia Mathematica , Варшава – Вроцлав, 18 : 13–41, doi : 10.4064 / sm-18-1-11-41 , Zbl 0088.26901. В этой статье Мусиелак и Орлич развили концепцию взвешенных BV- функций, введенную Лоуренсом Чисхолмом Янгом, до ее полной общности.
- Рис, Фриджес ; Szfkefalvi-Nagy, Béla (1990), Функциональный анализ , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-66289-6, Zbl 0732,47001
- Вольперт, Айзик Исаакович (1967), "Пространства BV и квазилинейные уравнения" , Математический сборник , (НС), 73 (115) (2): 255–302, MR 0216338 , Zbl 0168.07402. Основополагающая статья, в которой тщательно изучаются множества Каччопполи и BV- функции, а также вводится понятие функциональной суперпозиции и применяется к теории уравнений в частных производных : он также был переведен на английский как Vol'Pert, AI (1967), "Пространства BV и квазилинейные уравнения", Математика СССР-Сборник , 2 (2): 225–267, Bibcode : 1967SbMat ... 2..225V , doi : 10.1070 / SM1967v002n02ABEH002340 , ЛВП : 10338.dmlcz / 102500 , МР 0216338 , Zbl +0168,07402.
Исторические ссылки
- Адамс, К. Раймонд ; Кларксон, Джеймс А. (1933), «Об определениях ограниченной вариации функций двух переменных», Труды Американского математического общества , 35 (4): 824-854, DOI : 10,1090 / S0002-9947-1933-1501718- 2 , Руководство по ремонту 1501718 , Zbl 0008.00602.
- Альберти, Джованни; Мантегацца, Карло (1997), "Заметка по теории функций SBV", Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , IV Serie, 11 (2): 375–382, MR 1459286 , Zbl 0877.49001. В данной статье авторы доказывают компактность пространства функций SBV.
- Амбросио, Луиджи ; Даль Масо, Джанни (1990), «Общее правило цепочки для распределительных производных», Труды Американского математического общества , 108 (3): 691, DOI : 10.1090 / S0002-9939-1990-0969514-3 , MR 0969514 , Zbl 0685.49027. Статья, содержащая очень общую формулу цепного правила для композиции BV-функций.
- Амбросио, Луиджи ; Де Джорджи, Эннио (1988), «Un nuovo tipo di funzionale del calcolo delle variazioni» [Новый вид функционала в вариационном исчислении], Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Rendiconti della Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , VIII (на итальянском языке), LXXXII (2): 199–210, MR 1152641 , Zbl 0715.49014. Первая статья о функциях SBV и связанных с ними вариационных задачах.
- Чезари, Ламберто (1936), «Sulle funzioni a variazione limitata» , Annali della Scuola Normale Superiore , Серия II (на итальянском языке), 5 (3–4): 299–313, MR 1556778 , Zbl 0014.29605. Доступно в Numdam . В статье « О функциях ограниченной вариации » (английский перевод названия) Чезари он расширяет теперь называемую концепцию вариации плоскости Тонелли, включив в определение подкласс класса интегрируемых функций.
- Чезари, Ламберто (1986), «Опера Леонида Тонелли и суа грипп nel pensiero scientifico del secolo», в Montalenti, G .; Америо, Л .; Acquaro, G .; Baiada, E .; и другие. (ред.), Convegno Celebrativo del centenario della nascita di Mauro Picone e Leonida Tonelli (6–9 maggio 1985) , Atti dei Convegni Lincei (на итальянском языке), 77 , Roma: Accademia Nazionale dei Lincei , стр. 41–73, в архиве из оригинала 23 февраля 2011 г. , извлечено 23 января 2007 г.. « Работа Леониды Тонелли и его влияние на научное мышление в этом столетии » (английский перевод названия) - обширная памятная статья, в которой рассказывается о воспоминаниях автора об учителях и коллегах, а также приводится подробный обзор его и их научных работ. представлены на Международном конгрессе по случаю празднования столетия со дня рождения Мауро Пиконе и Леониды Тонелли (проходил в Риме 6–9 мая 1985 г.).
- Конвей, Эдвард Д .; Смоллер, Джоэл А. (1966), "Глобальные решения задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка с несколькими пространственными переменными", Сообщения по чистой и прикладной математике , 19 (1): 95–105, doi : 10.1002 / cpa.3160190107 , MR 0192161 , Zbl 0138.34701. Важная статья, в которой свойства BV- функций были применены для получения глобальной во времени теоремы существования для одиночных гиперболических уравнений первого порядка от любого числа переменных .
- De Giorgi, Ennio (1992), "Problemi variazionali con discontinuità libere", в Amaldi, E .; Америо, Л .; Fichera, G .; Грегори, Т .; Гриоли, Г .; Мартинелли, Э .; Montalenti, G .; Пиньедоли, А .; Сальвини, Джорджио ; Скорца Драгони, Джузеппе (ред.), Convegno internazionale in memoria di Vito Volterra (8–11 октября 1990 г.) , Atti dei Convegni Lincei (на итальянском языке), 92 , Roma: Accademia Nazionale dei Lincei , стр. 39–76, ISSN 0391 -805X , MR 1783032 , Zbl 1039.49507 , заархивировано из оригинала 7 января 2017 г. , извлечено 11 марта 2007 г.. Обзорная статья по вариационным задачам со свободным разрывом, включающая некоторые подробности теории функций SBV , их приложений и обширную библиографию.
- Фалешини, Бруно (1956a), "Определения и права собственности на функциональные возможности, ограничивающие вариацию должной изменчивости. Примечание I." [Об определениях и свойствах функций ограниченной вариации двух переменных. Примечание I], Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , Serie III (на итальянском языке), 11 (1): 80–92, MR 0080169 , Zbl 0071.27901. Первая часть обзора множества различных определений « полной вариации » и связанных с ней функций ограниченной вариации.
- Фалешини, Бруно (1956b), «Определения и права собственности на функциональные возможности, ограниченные вариацией. Примечание II». [Об определениях и свойствах функций ограниченной вариации двух переменных. Примечание I], Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , Serie III (на итальянском языке), 11 (2): 260–75, MR 0080169 , Zbl 0073.04501. Вторая часть обзора множества различных определений « полной вариации » и связанных с ней функций ограниченной вариации.
- Джордан, Камилла (1881), "Sur la série de Fourier" [О рядах Фурье], Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences , 92 : 228–230(в Галлике ). По словам Бориса Голубова, это первая статья о функциях ограниченной вариации.
- Олейник, Ольга А. (1957), "Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений" , УМН , 12 (3 (75)): 3–73, Zbl 0080.07701( (на русском) ). Важная статья, в которой автор описывает обобщенные решения нелинейных уравнений в частных производных как BV- функции.
- Олейник, Ольга А. (1959), "Построение обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка путем введения" исчезающей вязкости " " , УМН , 14 (2 (86)): 159-164, Zbl 0096,06603( (на русском) ). Важная работа, в которой автор строит слабое решение в BV для нелинейного уравнения в частных производных методом исчезающей вязкости .
- Тони Ф. Чан и Цзяньхун (Джеки) Шен (2005), Обработка и анализ изображений - вариационные, PDE, вейвлетные и стохастические методы , SIAM Publisher, ISBN 0-89871-589-X (с подробным описанием и широким применением ограниченных вариаций в современной обработке изображений, начатых Рудином, Ошером и Фатеми).
Внешние ссылки
Теория
- Голубов, Борис I .; Витушкин, Анатолий Г. (2001) [1994], "Вариация функции" , Энциклопедия математики , EMS Press
- «Функция BV» . PlanetMath ..
- Роуленд, Тодд и Вайсштейн, Эрик В. «Ограниченная вариация» . MathWorld .
- Функция ограниченной вариации в энциклопедии математики
Другой
- Домашняя страница Луиджи Амбросио в Пизанской нормальной школе . Академическая домашняя страница (с препринтами и публикациями) одного из авторов теории и приложений BV-функций.
- Исследовательская группа по вариационному исчислению и геометрической теории меры , Scuola Normale Superiore di Pisa .
Эта статья включает материал из функции BV на PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .