В математике , то интеграл Римана-Стилтьеса является обобщением интеграла Римана , имени Бернхарда Римана и Стилтьес . Определение этого интеграла впервые было опубликовано в 1894 году Стилтьесом. [1] Он служит поучительным и полезным предшественником интеграла Лебега и бесценным инструментом в унификации эквивалентных форм статистических теорем, применимых к дискретной и непрерывной вероятности.
Формальное определение
Интеграл Римана – Стилтьеса от вещественной функции действительной переменной на интервале по отношению к другой реальной функции обозначается
В его определении используется последовательность разделов интервала
Таким образом, интеграл определяется как предел по мере приближения нормы (длины самого длинного подынтервала) разбиений., аппроксимирующей суммы
где находится в i -м подынтервале [ x i , x i +1 ]. Две функции а также называются соответственно подынтегральным выражением и интегратором . Обычносчитается монотонным (или, по крайней мере, с ограниченной вариацией ) и полунепрерывным справа (однако это последнее, по сути, соглашение). Мы специально не требуем быть непрерывным, что позволяет использовать интегралы с точечными массами.
Под «пределом» здесь понимается число A (значение интеграла Римана – Стилтьеса) такое, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого разбиения P с нормой ( P ) < δ и для каждого выбора точек c i в [ x i , x i +1 ],
Характеристики
Интеграл Римана – Стилтьеса допускает интегрирование по частям в виде
и существование одного интеграла подразумевает существование другого. [2]
С другой стороны, классический результат [3] показывает , что интеграл хорошо определен , если F является α - гельдерово и г есть β -Hölder непрерывно & alpha ; + & beta ; > 1 .
Приложение к теории вероятностей
Если г является кумулятивная функция распределения вероятности из случайной величины X , имеющей функцию плотности вероятности относительно меры Лебега и F любая функция , для которой ожидаемая стоимость конечна, то функция плотности вероятности X является производной от g, и мы имеем
Но эта формула не работает, если X не имеет функции плотности вероятности относительно меры Лебега. В частности, он не работает, если распределение X является дискретным (т.е. вся вероятность учитывается точечными массами), и даже если кумулятивная функция распределения g является непрерывной, она не работает, если g не может быть абсолютно непрерывна (опять же, функция Кантора может служить примером этого отказа). Но личность
выполняется, если g - любая кумулятивная функция распределения вероятностей на реальной прямой, независимо от того, насколько плохо она себя ведет. В частности, как бы плохо себя ни вела кумулятивная функция распределения g случайной величины X , если момент E ( X n ) существует, то он равен
Приложение к функциональному анализу
Римана-Стилтьеса появляется в первоначальной формулировке теоремы Ф. Рисса , которая представляет собой двойное пространство в банаховом пространстве C [ , Ь ] непрерывных функций в интервале [ , Ь ] в качестве Римана-Стилтьеса от функций ограниченной вариация . Позже эта теорема была переформулирована в терминах мер.
Интеграл Римана – Стилтьеса также появляется в формулировке спектральной теоремы для (некомпактных) самосопряженных (или, в более общем смысле, нормальных) операторов в гильбертовом пространстве. В этой теореме интеграл рассматривается по спектральному семейству проекций. [4]
Существование интеграла
Лучшая простая теорема существования утверждает, что если f непрерывна, а g имеет ограниченную вариацию на [ a , b ], то интеграл существует. [5] [6] [7] Функция g имеет ограниченную вариацию тогда и только тогда, когда она является разницей между двумя (ограниченными) монотонными функциями. Если g не имеет ограниченной вариации, то будут непрерывные функции, которые нельзя проинтегрировать по g . В общем, интеграл не определен правильно, если f и g имеют общие точки разрыва , но есть и другие случаи.
Обобщение
Важным обобщением является интеграл Лебега – Стилтьеса , который обобщает интеграл Римана – Стилтьеса аналогично тому, как интеграл Лебега обобщает интеграл Римана. Если допускаются несобственные интегралы Римана – Стилтьеса, то интеграл Лебега не является строго более общим, чем интеграл Римана – Стилтьеса.
Интеграл Римана – Стилтьеса также обобщает [ цитата ] на случай, когда либо подынтегральное выражение ƒ, либо интегратор g принимают значения в банаховом пространстве . Если g : [ a , b ] → X принимает значения в банаховом пространстве X , то естественно предположить, что оно имеет сильно ограниченную вариацию , что означает, что
супремум берется по всем конечным разбиениям
отрезка [ a , b ]. Это обобщение играет роль при изучении полугрупп с помощью преобразования Лапласа – Стилтьеса .
Интеграл Ито расширяет интеграл Римана-Stietjes , чтобы охватить интеграндов и интеграторами , которые являются случайными процессами , а не простых функций; см. также стохастическое исчисление .
Обобщенный интеграл Римана – Стилтьеса.
Небольшое обобщение [8] заключается в рассмотрении в приведенном выше определении разбиений P, которые уточняют другое разбиение P ε , что означает, что P возникает из P ε путем добавления точек, а не из разбиений с более мелкой сеткой. В частности, обобщенный интеграл Римана – Стилтьеса от f относительно g - это такое число A , что для любого ε > 0 существует такое разбиение P ε , что для каждого разбиения P , уточняющего P ε ,
для каждого выбора точек c i в [ x i , x i +1 ].
Это обобщение демонстрирует интеграл Римана – Стилтьеса как предел Мура – Смита на направленном множестве разбиений отрезка [ a , b ]. [9] [10]
Как следствие, при таком определении интеграл все еще может быть определено в случаях, когда f и g имеют общую точку разрыва.
Суммы Дарбу
Интеграл Римана – Стилтьеса может быть эффективно обработан с помощью подходящего обобщения сумм Дарбу . Для разбиения P и неубывающей функции g на [ a , b ] определим верхнюю сумму Дарбу функции f относительно g следующим образом:
а нижняя сумма на
Тогда обобщенная функция Римана – Стилтьеса f относительно g существует тогда и только тогда, когда для любого ε> 0 существует такое разбиение P , что
Кроме того, f интегрируема по Риману – Стилтьесу относительно g (в классическом смысле), если
- [11]
Примеры и частные случаи
Дифференцируемая g ( x )
Учитывая который непрерывно дифференцируем по можно показать, что существует равенство
где интеграл в правой части является стандартным интегралом Римана в предположении, что можно проинтегрировать с помощью интеграла Римана – Стилтьеса.
В более общем смысле интеграл Римана равен интегралу Римана – Стилтьеса, если - интеграл Лебега от своей производной; в таком случаеназывается абсолютно непрерывным .
Может случиться так, что имеет скачкообразные разрывы или может иметь нулевую производную почти всюду, оставаясь при этом непрерывным и возрастающим (например,может быть функцией Кантора или «лестницей дьявола»), в любом из этих случаев интеграл Римана – Стилтьеса не улавливается никаким выражением, содержащим производные от g .
Интеграл Римана
Стандартный интеграл Римана является частным случаем интеграла Римана – Стилтьеса, где .
Выпрямитель
Рассмотрим функцию Используемый при исследовании нейронных сетей , называется выпрямленным линейным блоком (ReLU) . Тогда Риманна – Стилтьеса можно оценить как
где интеграл в правой части - стандартный интеграл Римана.
Интеграция Cavaliere
Принцип Кавальери можно использовать для вычисления площадей, ограниченных кривыми, с использованием интегралов Римана – Стилтьеса. [12] Интегральные полосы интеграции Римана заменены на полосы непрямоугольной формы. Метод состоит в том, чтобы преобразовать «регион Кавальере» с преобразованием, или использовать как подынтегральное выражение.
Для заданной функции на интервале , "трансляционная функция" должен пересекаться ровно один раз для любого сдвига в интервале. Тогда "регион Кавальере" ограничен, то -ось и . Тогда площадь региона
- где а также являются -значения, где а также пересекаться .
Заметки
- ↑ Stieltjes (1894) , стр. 68–71.
- ^ Хилле и Филлипс (1974) , §3.3.
- ^ Янг (1936) .
- ^ См. Riesz & Sz. Надь (1990) для подробностей.
- ^ Johnsonbaugh & Pfaffenberger (2010) , стр. 219.
- ↑ Рудин (1964) , стр. 121–122.
- ↑ Колмогоров и Фомин (1975) , стр. 368.
- ^ Введено Поллардом (1920) и теперь стандартно для анализа.
- ^ МакШейн (1952) .
- ^ Хильдебрандт (1938) называет это интегралом Полларда – Мура – Стилтьеса .
- ↑ Graves (1946) , гл. XII, §3.
- ^ TL Grobler, ER Ackermann, AJ van Zyl и JC Olivier Cavaliere интеграция из Совета по научным и промышленным исследованиям
Рекомендации
- Грейвс, Лоуренс (1946). Теория функций действительных переменных . Макгроу-Хилл.через HathiTrust
- Хильдебрандт, TH (1938). «Определения интегралов Стилтьеса типа Римана». Американский математический ежемесячник . 45 (5): 265–278. ISSN 0002-9890 . JSTOR 2302540 . Руководство по ремонту 1524276 .
- Хилле, Эйнар ; Филлипс, Ральф С. (1974). Функциональный анализ и полугруппы . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . Руководство по ремонту 0423094 .
- Джонсонбо, Ричард Ф .; Пфаффенбергер, Уильям Элмер (2010). Основы математического анализа . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47766-4.
- Колмогоров Андрей ; Фомин, Сергей В. (1975) [1970]. Вводный реальный анализ . Перевод Сильвермана, Ричарда А. (Пересмотренное английское издание). Dover Press. ISBN 0-486-61226-0.
- МакШейн, EJ (1952). «Частичные порядки и предел Мура-Смита» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 59 : 1–11. DOI : 10.2307 / 2307181 . JSTOR 2307181 . Проверено 2 ноября 2010 года .
- Поллард, Генри (1920). «Интеграл Стилтьеса и его обобщения». Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики . 49 .
- Riesz, F .; Sz. Надь, Б. (1990). Функциональный анализ . Dover Publications. ISBN 0-486-66289-6.
- Рудин, Вальтер (1964). Принципы математического анализа (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.
- Шилов Г.Е .; Гуревич, БЛ (1978). Интеграл, мера и производная: единый подход . Перевод Сильвермана, Ричард А. Довер Пабликейшнс. Bibcode : 1966imdu.book ..... S . ISBN 0-486-63519-8.
- Стилтьес, Томас Ян (1894). «Исследования по фракциям продолжаются» . Аня. Фак. Sci. Тулуза . VIII : 1–122. Руководство по ремонту 1344720 .
- Строок, Дэниел В. (1998). Краткое введение в теорию интеграции (3-е изд.). Бирхаузер. ISBN 0-8176-4073-8.
- Янг, LC (1936). «Неравенство типа Гёльдера, связанное с интегрированием Стилтьеса» . Acta Mathematica . 67 (1): 251–282. DOI : 10.1007 / bf02401743 .