Преобразование Лапласа – Стилтьеса , названное в честь Пьера-Симона Лапласа и Томаса Джоаннеса Стилтьеса , является интегральным преобразованием, аналогичным преобразованию Лапласа . Для вещественнозначных функций это преобразование Лапласа меры Стилтьеса , однако оно часто определяется для функций со значениями в банаховом пространстве . Он полезен в ряде областей математики , включая функциональный анализ , а также в некоторых областях теоретической и прикладной вероятности .
Функции с действительным знаком
Преобразование Лапласа – Стилтьеса вещественной функции g дается интегралом Лебега – Стилтьеса вида
для ˙s комплексного числа . Как и в случае с обычным преобразованием Лапласа, можно получить несколько иное преобразование в зависимости от области интегрирования, и для определения интеграла необходимо также потребовать, чтобы g имела ограниченную вариацию в области интегрирования. Наиболее распространены:
- Двустороннее (или двустороннее) преобразование Лапласа – Стилтьеса имеет вид
- Одностороннее (одностороннее) преобразование Лапласа – Стилтьеса имеет вид
- Предел необходим для обеспечения того, чтобы преобразование улавливало возможный скачок g ( x ) при x = 0, что необходимо для понимания преобразования Лапласа дельта-функции Дирака .
- Более общие преобразования могут быть рассмотрены путем интегрирования по контуру в комплексной плоскости ; см. Жаврид 2001 .
Лапласа-Стилтьеса в случае функции скалярной Таким образом , видно , чтобы быть частным случаем преобразования Лапласа из меры Стилтьеса . А именно,
В частности, оно имеет много общих свойств с обычным преобразованием Лапласа. Например, справедлива теорема о свертке :
Часто рассматриваются только действительные значения переменной s , хотя, если интеграл существует как собственный интеграл Лебега для данного действительного значения s = σ, то он также существует для всех комплексных s с re ( s ) ≥ σ.
Преобразование Лапласа – Стилтьеса естественно появляется в следующем контексте. Если X - случайная величина с кумулятивной функцией распределения F , то преобразование Лапласа – Стилтьеса определяется математическим ожиданием :
Векторные меры
В то время как преобразование Лапласа – Стилтьеса вещественной функции является частным случаем преобразования Лапласа меры, применяемой к связанной мере Стилтьеса, обычное преобразование Лапласа не может обрабатывать векторные меры : меры со значениями в банаховом пространстве . Однако они важны в связи с изучением полугрупп , возникающих в уравнениях в частных производных , гармоническом анализе и теории вероятностей . Наиболее важные полугруппы, соответственно, тепло полугруппа , Римана-Лиувилля полугруппа и Броуновское движение и другие бесконечно делимые процессы .
Пусть г функция из [0, ∞) в банаховом пространстве X с сильно ограниченной вариации над каждым конечным интервалом. Это означает, что для каждого фиксированного подынтервала [0, T ] имеется
где супремум берется по всем разбиениям отрезка [0, T ]
Интеграл Стилтьеса по векторной мере dg
определяется как интеграл Римана – Стилтьеса . В самом деле, если π - тегированный раздел интервала [0, T ] с подразделением 0 = t 0 ≤ t 1 ≤ ... ≤ t n = T , выделенные точки и размер ячейки интеграл Римана – Стилтьеса определяется как значение предела
взятый в топологии на X . Гипотеза сильной ограниченной вариации гарантирует сходимость.
Если в топологии X предел
существует, то значением этого предела является преобразование Лапласа – Стилтьеса функции g .
Связанные преобразования
Лапласа-Стилтьеса тесно связана с другими интегральных преобразований , в том числе преобразования Фурье и преобразования Лапласа . В частности, обратите внимание на следующее:
- Если g имеет производную g ', то преобразование Лапласа – Стилтьеса для g является преобразованием Лапласа для g' .
- Мы можем получить преобразование Фурье – Стилтьеса для g (и, как указано выше, преобразование Фурье для g ' ) следующим образом:
Распределения вероятностей
Если Х представляет собой непрерывная случайная величина с функцией распределения Р ( т ) , то моменты из X может быть вычислен с помощью [1]
Экспоненциальное распределение
Для экспоненциально распределенной случайной величины Y с параметром скорости λ LST:
из которых первые три момента могут быть вычислены как 1 / λ , 2 / λ 2 и 6 / λ 3 .
Распределение Erlang
Для Z с распределением Эрланга (которое является суммой n экспоненциальных распределений) мы используем тот факт, что распределение вероятностей суммы независимых случайных величин равно свертке их распределений вероятностей . Так что если
с независимым Y i, тогда
поэтому в случае, когда Z имеет распределение Эрланга,
Равномерное распределение
Для U с равномерным распределением на интервале ( a , b ) преобразование имеет вид
Рекомендации
- ^ Harchol-Балтер, M. (2012). «Трансформационный анализ». Моделирование производительности и проектирование компьютерных систем . п. 433. DOI : 10,1017 / CBO9781139226424.032 . ISBN 9781139226424.
- Апостол, TM (1957), математический анализ (1-е изд.), Чтение, Массачусетс: Addison-Wesley; 2-е изд (1974) ISBN 0-201-00288-4 .
- Апостол, TM (1997), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97127-0.
- Гримметт, Г.Р .; Стирзакер, Д. Р. (2001), Вероятность и случайные процессы (3-е изд.), Оксфорд: Oxford University Press, ISBN 0-19-857222-0.
- Хилле, Эйнар ; Филлипс, Ральф С. (1974), Функциональный анализ и полугруппы , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR 0423094.
- Жаврид, Н.С. (2001) [1994], "Преобразование Лапласа" , Энциклопедия математики , EMS Press.