Момент (математика)

В математике , в моменты из в функции являются количественные показатели , связанные с формой функции в графике . Эта концепция используется как в механике, так и в статистике . Если функция представляет массу, то нулевой момент - это полная масса , первый момент, деленный на общую массу, - это центр масс , а второй момент - инерция вращения . Если функция является распределением вероятностей , то нулевой момент есть полная вероятность (т.е. один ), первый момент это ожидаемое значение , второйцентральный момент - это дисперсия , третий стандартизованный момент - это асимметрия , а четвертый стандартизованный момент - это эксцесс . Математическая концепция тесно связана с концепцией момента в физике.

Для распределения массы или вероятности на ограниченном интервале совокупность всех моментов (всех порядков, от 0 до ∞ ) однозначно определяет распределение ( проблема моментов Хаусдорфа ). То же самое не верно для неограниченных интервалов ( проблема моментов Гамбургера ).

В середине XIX века Пафнутий Чебышев стал первым человеком, который систематически мыслил в терминах моментов случайных величин . ^[1]

Значение моментов [ править ]

П -й момент вещественной непрерывной функции F ( х ) действительного переменного о стоимости с вне

${\displaystyle \mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.}$

Можно определить моменты для случайных величин в более общем виде, чем моменты для реальных значений - см. Моменты в метрических пространствах . Момент функции без дополнительных пояснений обычно относится к приведенному выше выражению с c = 0.

Для второго и более высоких моментов обычно используется центральный момент (моменты около среднего, где c является средним), а не моменты около нуля, потому что они предоставляют более четкую информацию о форме распределения.

Могут быть определены и другие моменты. Например, n- й обратный момент относительно нуля равен, а n-й логарифмический момент относительно нуля равен${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{-n}\right]}$${\displaystyle \operatorname {E} \left[\ln ^{n}(X)\right].}$

П -й момента относительно нуля функции плотности вероятности F ( х ) является ожидаемым значением из X ^п и называется сырой момент или сырой момент . ^[2] Моменты относительно его среднего μ называются центральными моментами ; они описывают форму функции независимо от перевода .

Если f - функция плотности вероятности , то значение интеграла выше называется n-м моментом распределения вероятностей . В более общем смысле, если F - кумулятивная функция распределения вероятностей любого распределения вероятностей, которое может не иметь функции плотности, то n-й момент распределения вероятностей задается интегралом Римана – Стилтьеса.

${\displaystyle \mu '_{n}=\operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} F(x)\,}$

где X - случайная величина , имеющая кумулятивное распределение F , а E - оператор математического ожидания или среднее значение.

Когда

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left|X^{n}\right|\right]=\int _{-\infty }^{\infty }\left|x^{n}\right|\,\mathrm {d} F(x)=\infty ,}$

тогда говорят, что момента не существует. Если n-й момент относительно любой точки существует, то же самое происходит с ( n - 1) -м моментом (и, таким образом, все моменты более низкого порядка) относительно каждой точки.

Нулевой момент любой функции плотности вероятности равен 1, поскольку площадь под любой функцией плотности вероятности должна быть равна единице.

Среднее [ править ]

Первый необработанный момент - это среднее значение , обычно обозначаемое${\displaystyle \mu \equiv \operatorname {E} [X].}$

Дисперсия [ править ]

Второй центральный момент - это дисперсия . Положительный квадратный корень из дисперсии - это стандартное отклонение. ${\displaystyle \sigma \equiv \left(\operatorname {E} \left[(x-\mu )^{2}\right]\right)^{\frac {1}{2}}.}$

Стандартизированные моменты [ править ]

Нормализованы п -й центральный момент или стандартизированы моментом является п -го центрального момента , деленное на сг ^п ; нормированный n-й центральный момент случайной величины X равен${\displaystyle {\frac {\mu _{n}}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\sigma ^{n}}}.}$

Эти нормированные центральные моменты являются безразмерными величинами , которые представляют собой распределение независимо от любого линейного изменения масштаба.

Для электрического сигнала первый момент - это его уровень постоянного тока, а второй момент пропорционален его средней мощности. ^{[3] [4]}

Асимметрия [ править ]

Третий центральный момент - мера однобокости распределения; любое симметричное распределение будет иметь третий центральный момент, если он определен, равный нулю. Нормированный третий центральный момент называется асимметрией , часто γ . Распределение, которое смещено влево (хвост распределения длиннее слева), будет иметь отрицательную асимметрию. Распределение, которое смещено вправо (хвост распределения длиннее справа), будет иметь положительную асимметрию.

Для распределений, которые не слишком отличаются от нормального распределения , медиана будет где-то около μ - γσ / 6 ; режим о ц - γσ / 2 .

Эксцесс [ править ]

Четвертый центральный момент - это мера тяжести хвоста распределения по сравнению с нормальным распределением той же дисперсии. Поскольку это ожидание четвертой степени, четвертый центральный момент, если он определен, всегда неотрицателен; и, за исключением распределения очков , оно всегда строго положительное. Четвертый центральный момент нормального распределения равен 3 σ ⁴ .

Эксцесса κ определен , чтобы быть стандартизированы четвёртую центральный момент (Эквивалентно, как и в следующем разделе, избыток эксцесса является четвертым кумулянт делится на квадрат второго кумулянта .) ^{[5] [6]} Если распределение имеет тяжелые хвосты, будет сильный эксцесс (иногда его называют лептокуртическим); и наоборот, распределения со светлым хвостом (например, ограниченные распределения, такие как равномерное) имеют низкий эксцесс (иногда называемый платикуртическим).

Эксцесс может быть положительным без ограничений, но κ должен быть больше или равен γ ² + 1 ; равенство справедливо только для двоичных распределений . Для неограниченных асимметричных распределений, не слишком далеких от нормального, κ имеет тенденцию находиться где-то в области γ ² и 2 γ ² .

Неравенство можно доказать, рассматривая

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left(T^{2}-aT-1\right)^{2}\right]}$

где T = ( X - μ ) / σ . Это математическое ожидание квадрата, поэтому оно неотрицательно для всех a ; Однако это также квадратичный полином в . Его дискриминант должен быть неположительным, что дает требуемое соотношение.

Смешанные моменты [ править ]

Смешанные моменты - это моменты, включающие несколько переменных.

Некоторые примеры - ковариация , косность и кокуртоз . Несмотря на то, что существует уникальная ковариация, существует несколько со-асимметрий и со-куртозов.

Высшие моменты [ править ]

Моменты высокого порядка - это моменты за пределами моментов 4-го порядка. Как и в случае с дисперсией, асимметрией и эксцессом, это статистика более высокого порядка , включающая нелинейные комбинации данных, и может использоваться для описания или оценки дополнительных параметров формы . Чем выше момент, тем сложнее оценить, в том смысле, что требуются более крупные выборки для получения оценок аналогичного качества. Это связано с избыточными степенями свободы, потребляемыми высшими порядками. Кроме того, они могут быть тонкими для интерпретации, часто их легче всего понять в терминах моментов более низкого порядка - сравните высшие производные от рывков и рывков в физике.. Например, точно так же, как момент 4-го порядка (эксцесс) можно интерпретировать как «относительную важность хвостов по сравнению с плечами в возникновении дисперсии» (для данной дисперсии высокий эксцесс соответствует тяжелым хвостам, а низкий эксцесс соответствует широким плечам), момент 5-го порядка можно интерпретировать как измерение «относительной важности хвостов по сравнению с центром (мода, плечи) в возникновении перекоса» (для данного перекоса высокий 5-й момент соответствует тяжелому хвосту и небольшому движению моды, а низкий 5-й момент соответствует к большему изменению плеч).

Свойства моментов [ править ]

Преобразование центра [ править ]

С:

${\displaystyle (x-b)^{n}=(x-a+a-b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(x-a)^{i}(a-b)^{n-i}}$

где - биномиальный коэффициент , отсюда следует, что моменты около b могут быть вычислены из моментов около a по формуле:${\displaystyle {\dbinom {n}{i}}}$

${\displaystyle E\left[(x-b)^{n}\right]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}E\left[(x-a)^{i}\right](a-b)^{n-i}}$

Моменты свертки функций [ править ]

Момент свертки читается ${\displaystyle h(t)=(f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$

${\displaystyle \mu _{n}[h]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\mu _{i}[f]\mu _{n-i}[g]}$

где обозначает момент функции, указанной в скобках. Это тождество следует из теоремы свертки для функции, производящей момент, и применения цепного правила для дифференцирования продукта.${\displaystyle \mu _{n}[\cdot ]}$${\displaystyle n}$

Кумулянты [ править ]

Первый необработанный момент, а также второй и третий ненормализованные центральные моменты являются аддитивными в том смысле, что если X и Y являются независимыми случайными величинами, то

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}(X+Y)&=m_{1}(X)+m_{1}(Y)\\\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)\\\mu _{3}(X+Y)&=\mu _{3}(X)+\mu _{3}(Y)\end{aligned}}}$

(Они также могут выполняться для переменных, которые удовлетворяют более слабым условиям, чем независимость. Первое всегда выполняется; если выполняется второе, переменные называются некоррелированными ).

Фактически, это первые три кумулянта, и все кумулянты обладают этим свойством аддитивности.

Примеры моментов [ править ]

Для всех к , в K -го сырья момент популяции может быть оценен с помощью K -го образца сырого момента

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}}$

применяется к выборке X ₁ ,…, X _n, взятой из совокупности.

Можно показать, что ожидаемое значение момента исходной выборки равно k- му исходному моменту совокупности, если этот момент существует, для любого размера выборки n . Таким образом, это объективная оценка. Это контрастирует с ситуацией для центральных моментов, вычисление которых использует определенную степень свободы с использованием выборочного среднего. Так, например, несмещенная оценка дисперсии совокупности (второй центральный момент) дается выражением

${\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}$

в котором предыдущий знаменатель n был заменен степенями свободы n - 1 , и где относится к выборочному среднему значению. Эта оценка момента совокупности больше, чем нескорректированный наблюдаемый момент выборки, на коэффициент и называется «скорректированной дисперсией выборки» или иногда просто «дисперсией выборки».${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle {\tfrac {n}{n-1}},}$

Проблема моментов [ править ]

Проблема моментов стремится характеризациями последовательностей { ц ' _п : п = 1, 2, 3, ...} , которые представляют собой последовательность моментов некоторой функции F .

Частичные моменты [ править ]

Частичные моменты иногда называют «односторонними моментами». П -го порядка нижней и верхней частичные моменты по отношению к опорной точке р может быть выражена как

${\displaystyle \mu _{n}^{-}(r)=\int _{-\infty }^{r}(r-x)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x,}$

${\displaystyle \mu _{n}^{+}(r)=\int _{r}^{\infty }(x-r)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.}$

Частичные моменты нормируются возведением в степень 1 / n . Отношение потенциала вверх может быть выражено как отношение верхнего парциального момента первого порядка к нормированному нижнему парциальному моменту второго порядка. Они использовались при определении некоторых финансовых показателей, таких как коэффициент Сортино , поскольку они ориентированы исключительно на положительные или отрицательные стороны.

Центральные моменты в метрических пространствах [ править ]

Пусть ( М , д ) быть метрическим пространством , и пусть В ( М ) есть борелевская сг - алгебра на М , тем σ - алгебре , порожденной г - открытые подмножествами из М . (По техническим причинам также удобно считать, что M - сепарабельное пространство относительно метрики d .) Пусть 1 ≤ p ≤ ∞ .

Р - го центрального момента некоторой меры ц на измеримом пространстве ( М , В ( М )) о заданной точке х ₀ ∈ М определяется как

${\displaystyle \int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu (x).}$

μ , как говорят, конечный р -го центрального момента , если P -й центральный момент ц о х ₀ конечен для некоторых х ₀ ∈ М .

Эта терминология мер переносится на случайные величины обычным образом: если (Ω, Σ, P ) является вероятностным пространством и X : Ω → M является случайной величиной, то P -й центральным момента в X о х ₀ ∈ M определяется как

${\displaystyle \int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \left(X_{*}\left(\mathbf {P} \right)\right)(x)\equiv \int _{\Omega }d\left(X(\omega ),x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega ),}$

и Х имеют конечный р -го центральный момента , если P -х центральный момент Х о х ₀ конечен для некоторых х ₀ ∈ М .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Спанос, Арис (1999). Теория вероятностей и статистический вывод . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр.  109 -130. ISBN 0-521-42408-9.

Внешние ссылки [ править ]

• "Момент" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Моменты в Mathworld