Центральный момент

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Центральный момент»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( сентябрь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В теории вероятностей и статистике , центральный момент является моментом из распределения вероятностей в виде случайной величины около случайной переменного среднего ; то есть это ожидаемое значениезаданной целочисленной степени отклонения случайной величины от среднего. Различные моменты образуют один набор значений, с помощью которого можно эффективно охарактеризовать свойства распределения вероятностей. Центральные моменты используются вместо обычных моментов, вычисляемых в терминах отклонений от среднего, а не от нуля, потому что центральные моменты более высокого порядка относятся только к разбросу и форме распределения, а не также к его местоположению .

Наборы центральных моментов могут быть определены как для одномерного, так и для многомерного распределения.

Одномерные моменты [ править ]

П - й момент , примерно среднее (или п - го центрального момента ) от вещественной случайной величины X является величина μ _п  : Е = [( Х  - Е [ Х ]) ^п ], где Е представляет собой оператор математического ожидания . Для непрерывного одномерного распределения вероятностей с функцией плотности вероятности f ( x ) n- й момент относительно среднего μ равен

${\ displaystyle \ mu _ {n} = \ operatorname {E} \ left [(X- \ operatorname {E} [X]) ^ {n} \ right] = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} (x- \ mu) ^ {n} f (x) \, \ mathrm {d} x.}$^[1]

Для случайных величин, не имеющих среднего значения, таких как распределение Коши , центральные моменты не определены.

Первые несколько центральных моментов имеют интуитивное толкование:

• «Нулевой» центральный момент μ ₀ равен 1.
• Первый центральный момент μ ₁ равен 0 (не путать с первым исходным моментом или ожидаемым значением μ ).
• Второй центральный момент μ ₂ называется дисперсией и обычно обозначается σ ² , где σ представляет собой стандартное отклонение .
• Третий и четвертый центральные моменты используются для определения стандартизированных моментов, которые используются для определения асимметрии и эксцесса соответственно.

Свойства [ править ]

П - й центральный момент является перевод-инвариантным, то есть для любой случайной величины X и любой константы с , мы имеем

${\ Displaystyle \ му _ {п} (Х + с) = \ му _ {п} (Х). \,}$

Для всех п , то п - й центральный момент является однородным степени п :

${\displaystyle \mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X).\,}$

Только для п таких , что п равно 1, 2 или 3 мы имеем свойство аддитивности для случайных величин X и Y , которые являются независимыми :

${\displaystyle \mu _{n}(X+Y)=\mu _{n}(X)+\mu _{n}(Y)\,}$если n ∈ {1, 2, 3 }.

Связанный функционал, который разделяет свойства трансляционной инвариантности и однородности с n- м центральным моментом, но продолжает иметь это свойство аддитивности, даже когда n  ≥ 4 является n- м кумулянтом κ _n ( X ). Для n  = 1 n- й кумулянт - это просто ожидаемое значение ; для n  = либо 2, либо 3, n- й кумулянт представляет собой n- й центральный момент; для n  ≥ 4, n- й кумулянт является моническим многочленом n- й степени от первых nмоментов (около нуля), а также является (более простым) полиномом n- й степени от первых n центральных моментов.

Отношение к моментам о происхождении [ править ]

Иногда удобно преобразовать моменты о происхождении в моменты о среднем значении. Общее уравнение для преобразования момента n- го порядка относительно начала координат в момент около среднего:

${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} \left[\left(X-\operatorname {E} [X]\right)^{n}\right]=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(-1)^{n-j}\mu '_{j}\mu ^{n-j},}$

где μ - среднее значение распределения, а момент относительно начала координат определяется выражением

${\displaystyle \mu '_{m}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{m}f(x)\,dx=\operatorname {E} [X^{m}]=\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}\mu _{j}\mu ^{m-j}.}$

Для случаев n = 2, 3, 4, которые представляют наибольший интерес из-за соотношений дисперсии , асимметрии и эксцесса , соответственно, эта формула принимает следующий вид (с учетом того, что и ):${\displaystyle \mu =\mu '_{1}}$${\displaystyle \mu '_{0}=1}$

${\displaystyle \mu _{2}=\mu '_{2}-\mu ^{2}\,}$ который обычно называют ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [X^{2}]-\left(\operatorname {E} [X]\right)^{2}}$

${\displaystyle \mu _{3}=\mu '_{3}-3\mu \mu '_{2}+2\mu ^{3}\,}$

${\displaystyle \mu _{4}=\mu '_{4}-4\mu \mu '_{3}+6\mu ^{2}\mu '_{2}-3\mu ^{4}.\,}$

... и так далее, ^[2] следуя треугольнику Паскаля , т.е.

${\displaystyle \mu _{5}=\mu '_{5}-5\mu \mu '_{4}+10\mu ^{2}\mu '_{3}-10\mu ^{3}\mu '_{2}+4\mu ^{5}.\,}$

потому что ${\displaystyle 5\mu ^{4}\mu '_{1}-\mu ^{5}\mu '_{0}=5\mu ^{4}\mu -\mu ^{5}=5\mu ^{5}-\mu ^{5}=4\mu ^{5}}$

Следующая сумма представляет собой стохастическую переменную, имеющую составное распределение.

${\displaystyle W=\sum _{i=1}^{M}Y_{i},}$

где являются взаимно независимыми случайными величинами, имеющими одно и то же общее распределение, и случайной целочисленной переменной, независимой от с собственным распределением. Моменты получаются как ^[3]${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Y_{k}}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle \operatorname {E} [W^{n}]=\sum _{i=0}^{n}\operatorname {E} \left[{M \choose i}\right]\sum _{j=0}^{i}{i \choose j}(-1)^{i-j}\operatorname {E} \left[\left(\sum _{k=1}^{j}Y_{k}\right)^{n}\right],}$

где определяется как ноль для .${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left(\sum _{k=1}^{j}Y_{k}\right)^{n}\right]}$${\displaystyle j=0}$

Симметричные распределения [ править ]

В симметричном распределении (тот , который не зависит от того отражение о его среднем), все нечетные центральные моменты равны нулю, так как в формуле для п - й момент, каждый член с участием значение X меньше , чем среднее значение на определенную величину точности отменяет термин, содержащий значение X, превышающее среднее значение на ту же величину.

Многовариантные моменты [ править ]

Для непрерывного двумерного распределения вероятностей с функцией плотности вероятности f ( x , y ) момент ( j , k ) относительно среднего μ  = ( μ _X ,  μ _Y ) равен

${\displaystyle \mu _{j,k}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{j}(Y-\operatorname {E} [Y])^{k}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu _{X})^{j}(y-\mu _{Y})^{k}f(x,y)\,dx\,dy.}$

См. Также [ править ]

• Стандартный момент
• Момент изображения
• Нормальное распределение § Моменты

Ссылки [ править ]