Распределение Коши

Коши

Функция плотности вероятности Фиолетовая кривая - это стандартное распределение Коши.
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\ displaystyle x_ {0} \!}$ местоположение ( реальный ) масштаб (реальный) ${\ displaystyle \ gamma> 0}$
Поддерживать	${\displaystyle \displaystyle x\in (-\infty ,+\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\!}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}\!}$
Квантиль	${\displaystyle x_{0}+\gamma \,\tan[\pi (p-{\tfrac {1}{2}})]}$
Иметь в виду	неопределенный
Медиана	${\displaystyle x_{0}\!}$
Режим	${\displaystyle x_{0}\!}$
Дисперсия	неопределенный
Асимметрия	неопределенный
Бывший. эксцесс	неопределенный
Энтропия	${\displaystyle \log(4\pi \gamma )\!}$
MGF	не существует
CF	${\displaystyle \displaystyle \exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|)\!}$
Информация Fisher	${\displaystyle {\frac {1}{2\gamma ^{2}}}}$

Распределение Коши , названное в честь Огюстена Коши , является непрерывным распределением вероятностей . Это также известно, особенно среди физиков , как распределение Лоренца (по Хендрику Лоренца ), распределение Коши – Лоренца , функция Лоренца (ian) или распределение Брейта – Вигнера . Распределение Коши - это распределение x-точки пересечения луча, исходящего из равномерно распределенного угла. Это также распределение отношения двух независимых нормально распределенных${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )}$${\displaystyle (x_{0},\gamma )}$ случайные величины с нулевым средним.

Распределение Коши часто используется в статистике как канонический пример « патологического » распределения, поскольку его ожидаемое значение и его дисперсия не определены (но см. § Объяснение неопределенных моментов ниже). Распределение Коши не имеет конечных моментов порядка больше или равных единице; существуют только дробные абсолютные моменты. ^[1] Распределение Коши не имеет функции, производящей момент .

В математике , она тесно связана с ядром Пуассона , которое является фундаментальным решением для уравнения Лапласа в верхней полуплоскости .

Это одно из немногих распределений, которое является стабильным и имеет функцию плотности вероятности, которая может быть выражена аналитически, а остальные являются нормальным распределением и распределением Леви .

История [ править ]

Функции с формой функции плотности распределения Коши изучались математиками в 17 веке, но в другом контексте и под названием ведьмы Агнеси . Несмотря на название, первый явный анализ свойств распределения Коши был опубликован французским математиком Пуассоном в 1824 году, и Коши стал ассоциироваться с ним только во время академических споров в 1853 году. ^[2] Таким образом, название распределения стало является примером закона эпонимии Стиглера . Пуассон заметил, что если брать среднее значение наблюдений, следующих за таким распределением, то средняя ошибка не сходится к какому-либо конечному числу. Таким образом, использование ЛапласомЦентральная предельная теорема с таким распределением была неуместной, поскольку предполагала конечное среднее значение и дисперсию. Несмотря на это, Пуассон не считал этот вопрос важным, в отличие от Бьенайме , которому предстояло вовлечь Коши в долгий спор по этому поводу.

Характеристика [ править ]

Функция плотности вероятности [ править ]

Распределение Коши имеет функцию плотности вероятности (PDF) ^{[1] [3]}

${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={1 \over \pi \gamma }\left[{\gamma ^{2} \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right],}$

где - параметр местоположения , определяющий положение пика распределения, и - параметр масштаба, который определяет полуширину на полувысоте (HWHM), альтернативно - это полная ширина на половине максимума (FWHM). также равна половине межквартильного размаха и иногда называется вероятной ошибкой . Огюстен-Луи Коши использовал такую ​​функцию плотности в 1827 году с бесконечно малым масштабным параметром, определив то, что теперь будет называться дельта-функцией Дирака .${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle 2\gamma }$${\displaystyle \gamma }$

Максимальное значение или амплитуда PDF Коши находится в .${\displaystyle {\frac {1}{\pi \gamma }}}$${\displaystyle x=x_{0}}$

Иногда удобно выражать PDF через комплексный параметр ${\displaystyle \psi =x_{0}+i\gamma }$

${\displaystyle f(x;\psi )={\frac {1}{\pi }}\,{\textrm {Im}}\left({\frac {1}{x-\psi }}\right)={\frac {1}{\pi }}\,{\textrm {Re}}\left({\frac {-i}{x-\psi }}\right)}$

Частный случай, когда и называется стандартным распределением Коши с функцией плотности вероятности ^{[4] [5]}${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle \gamma =1}$

${\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.\!}$

В физике часто используется трехпараметрическая функция Лоренца:

${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma ,I)={\frac {I}{\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}=I\left[{\gamma ^{2} \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right],}$

где - высота пика. Указанная трехпараметрическая функция Лоренца, как правило, не является функцией плотности вероятности, поскольку она не интегрируется до 1, за исключением особого случая, когда ${\displaystyle I}$${\displaystyle I={\frac {1}{\pi \gamma }}.\!}$

Кумулятивная функция распределения [ править ]

Кумулятивная функция распределения распределения Коши:

${\displaystyle F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$

а функция квантиля (обратная cdf ) распределения Коши равна

${\displaystyle Q(p;x_{0},\gamma )=x_{0}+\gamma \,\tan \left[\pi \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right].}$

Отсюда следует , что первая и третья квартиль , и , следовательно, межквартильный диапазон находится .${\displaystyle (x_{0}-\gamma ,x_{0}+\gamma )}$${\displaystyle 2\gamma }$

Для стандартного распределения кумулятивная функция распределения упрощается до функции арктангенса :${\displaystyle \arctan(x)}$

${\displaystyle F(x;0,1)={\frac {1}{\pi }}\arctan \left(x\right)+{\frac {1}{2}}}$

Энтропия [ править ]

Энтропия распределения Коши определяется выражением:

${\displaystyle {\begin{aligned}H(\gamma )&=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x;x_{0},\gamma )\log(f(x;x_{0},\gamma ))\,dx\\[6pt]&=\log(4\pi \gamma )\end{aligned}}}$

Производная функции квантиля, функция плотности квантиля, для распределения Коши равна:

${\displaystyle Q'(p;\gamma )=\gamma \,\pi \,{\sec }^{2}\left[\pi \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right].\!}$

Дифференциальная энтропия из распределения может быть определена в терминах ее плотность квантиля, ^[6] а именно:

${\displaystyle H(\gamma )=\int _{0}^{1}\log \,(Q'(p;\gamma ))\,\mathrm {d} p=\log(4\pi \gamma )}$

Распределение Коши - это максимальное распределение вероятностей энтропии для случайной величины, для которой ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\log(1+(X-x_{0})^{2}/\gamma ^{2})]=\log 4}$

или, альтернативно, для случайной переменной, для которой ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\log(1+(X-x_{0})^{2})]=2\log(1+\gamma ).}$

В своей стандартной форме это максимальное распределение вероятностей энтропии для случайной величины, для которой ^[7]${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {E} \!\left[\ln(1+X^{2})\right]=\ln 4.}$

Расхождение Кульбака-Лейблера [ править ]

Кульбак-Либлер расхождение между двумя распределениями Коши имеет следующую симметричную форму замкнутой формулу: ^[8]

${\displaystyle \mathrm {KL} \left(p_{l_{1},s_{1}}:p_{l_{2},s_{2}}\right)=\log {\frac {\left(s_{1}+s_{2}\right)^{2}+\left(l_{1}-l_{2}\right)^{2}}{4s_{1}s_{2}}}.}$

Свойства [ править ]

Распределение Коши является примером распределения, для которого не определены среднее значение , дисперсия или более высокие моменты . Его мода и медиана хорошо определены и оба равны .${\displaystyle x_{0}}$

Когда и являются двумя независимыми нормально распределенными случайными величинами с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, то отношение имеет стандартное распределение Коши.${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U/V}$

Если является положительно-полуопределенной ковариационной матрицей со строго положительными диагональными элементами, то для независимых и одинаково распределенных и любого случайного -вектора, не зависящего от и такого, что и (определение категориального распределения ) выполняется, что${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle X,Y\sim N(0,\Sigma )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle w}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle w_{1}+\cdots +w_{p}=1}$${\displaystyle w_{i}\geq 0,i=1,\ldots ,p,}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{p}w_{j}{\frac {X_{j}}{Y_{j}}}\sim \mathrm {Cauchy} (0,1).}$^[9]

Если случайные переменные являются независимыми и одинаково распределенными , каждая из которых имеет стандартное распределение Коши, то среднее значение выборки имеет такое же стандартное распределение Коши. Чтобы убедиться, что это правда, вычислите характеристическую функцию выборочного среднего:${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle (X_{1}+\cdots +X_{n})/n}$

${\displaystyle \varphi _{\overline {X}}(t)=\mathrm {E} \left[e^{i{\overline {X}}t}\right]}$

где - выборочное среднее. Этот пример показывает, что условие конечной дисперсии в центральной предельной теореме нельзя отбросить. Это также пример более обобщенной версии центральной предельной теоремы, которая характерна для всех стабильных распределений , частным случаем которых является распределение Коши.${\displaystyle {\overline {X}}}$

Распределение Коши - это безгранично делимое распределение вероятностей . Это также строго стабильный дистрибутив. ^[10]

Стандартное распределение Коши совпадает с Стьюдентом т -распределением с одной степенью свободы.

Как и все стабильные распределения, семейство масштабов местоположения, к которому принадлежит распределение Коши, замкнуто относительно линейных преобразований с действительными коэффициентами. Кроме того, распределение Коши замкнуто относительно дробно-линейных преобразований с действительными коэффициентами. ^[11] В этой связи см. Также параметризацию МакКуллагом распределений Коши .

Характеристическая функция [ править ]

Пусть обозначают Коши распределенная случайная величина. Характеристическая функция распределения Коши задается${\displaystyle X}$

${\displaystyle \varphi _{X}(t;x_{0},\gamma )=\operatorname {E} \left[e^{iXt}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x;x_{0},\gamma )e^{ixt}\,dx=e^{ix_{0}t-\gamma |t|}.}$

что является просто преобразованием Фурье плотности вероятности. Первоначальная плотность вероятности может быть выражена через характеристическую функцию, по существу, с помощью обратного преобразования Фурье:

${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{X}(t;x_{0},\gamma )e^{-ixt}\,dt\!}$

П - й момента распределения является п - й производной от характеристической функции , измеренной при . Обратите внимание, что характеристическая функция не дифференцируема в начале координат: это соответствует тому факту, что распределение Коши не имеет четко определенных моментов, превышающих нулевой момент.${\displaystyle t=0}$

Объяснение неопределенных моментов [ править ]

Среднее [ править ]

Если распределение вероятностей имеет функцию плотности , то среднее значение, если оно существует, дается выражением${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx.\qquad \qquad (1)\!}$

Мы можем вычислить этот двусторонний несобственный интеграл , вычислив сумму двух односторонних несобственных интегралов. То есть,

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx+\int _{-\infty }^{a}xf(x)\,dx.\qquad \qquad (2)\!}$

для произвольного действительного числа .${\displaystyle a}$

Чтобы интеграл существовал (даже как бесконечное значение), хотя бы один из членов этой суммы должен быть конечным или оба должны быть бесконечными и иметь один и тот же знак. Но в случае распределения Коши оба члена в этой сумме (2) бесконечны и имеют противоположный знак. Следовательно, (1) не определено, как и среднее значение. ^[12]

Обратите внимание, что главное значение Коши среднего значения распределения Коши равно

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}xf(x)\,dx,\!}$

который равен нулю. С другой стороны, соответствующий интеграл

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}xf(x)\,dx,\!}$

это не равна нулю, так как можно легко увидеть путем вычисления интеграла. Это снова показывает, что среднее (1) не может существовать.

Различные результаты теории вероятностей относительно ожидаемых значений , такие как усиленный закон больших чисел , не верны для распределения Коши. ^[12]

Меньшие моменты [ править ]

Определены абсолютные моменты для . Потому что у нас есть${\displaystyle p\in (-1,1)}$${\displaystyle X\sim \mathrm {Cauchy} (0,\gamma )}$

${\displaystyle \operatorname {E} [|X|^{p}]=\gamma ^{p}\mathrm {sec} (\pi p/2).}$

Высшие моменты [ править ]

Распределение Коши не имеет конечных моментов любого порядка. Некоторые из высших сырых моментов действительно существуют и имеют значение бесконечности, например, необработанный второй момент:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X^{2}]&\propto \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }1-{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }dx-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }dx-\pi =\infty .\end{aligned}}}$

Изменив формулу, можно увидеть, что второй момент - это, по сути, бесконечный интеграл от константы (здесь 1). Более высокие даже мощные необработанные моменты также будут оцениваться до бесконечности. Однако сырые моменты с нечетной силой не определены, что заметно отличается от существующих со значением бесконечности. Необработанные моменты с нечетной мощностью не определены, потому что их значения по существу эквивалентны, поскольку две половины интеграла расходятся и имеют противоположные знаки. Первый необработанный момент - это среднее значение, которого, как ни странно, не существует. (См. Также обсуждение этого вопроса выше.) Это, в свою очередь, означает, что все центральные моменты и стандартизированные моменты${\displaystyle \infty -\infty }$не определены, поскольку все они основаны на среднем значении. Дисперсия - второй центральный момент - также не существует (несмотря на то, что необработанный второй момент существует со значением бесконечность).

Результаты для высших моментов следуют из неравенства Гёльдера , из которого следует, что высшие моменты (или половины моментов) расходятся, если более низкие.

Моменты усеченных дистрибутивов [ править ]

Рассмотрим усеченное распределение, определенное путем ограничения стандартного распределения Коши интервалом [-10 ¹⁰⁰ , 10 ¹⁰⁰ ] . У такого усеченного распределения есть все моменты (и центральная предельная теорема применима к iid наблюдениям из него); однако почти для всех практических целей оно ведет себя как распределение Коши. ^[13]

Оценка параметров [ править ]

Поскольку параметры распределения Коши не соответствуют среднему значению и дисперсии, попытка оценить параметры распределения Коши с использованием выборочного среднего и выборочной дисперсии не увенчается успехом. ^[14] Например, если выборка iid размера n взята из распределения Коши, можно рассчитать выборочное среднее как:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

Хотя значения выборки будут сконцентрированы вокруг центрального значения , среднее значение выборки будет становиться все более изменчивым по мере увеличения количества наблюдений из-за увеличения вероятности обнаружения точек выборки с большим абсолютным значением. Фактически, распределение выборочного среднего будет равно распределению самих наблюдений; то есть, выборочное среднее большой выборки не лучше (или хуже) для оценки, чем любое отдельное наблюдение из выборки. Точно так же расчет дисперсии выборки приведет к тому, что значения будут расти по мере увеличения количества наблюдений.${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

Следовательно, необходимы более надежные средства оценки центрального значения и параметра масштабирования . Один простой метод состоит в том, чтобы взять среднее значение выборки в качестве оценки, а половину межквартильного размаха выборки в качестве оценки . Были разработаны другие, более точные и надежные методы ^{[15] [16]} Например, усеченное среднее средних 24% статистики порядка выборки дает оценку, которая более эффективна, чем использование медианы выборки или полной выборки. иметь в виду. ^{[17] [18]} Однако из-за толстых хвостов${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle x_{0}}$распределения Коши, эффективность оценки снижается, если используется более 24% выборки. ^{[17] [18]}

Максимальное правдоподобие также можно использовать для оценки параметров и . Однако это имеет тенденцию усложняться тем фактом, что для этого требуется найти корни многочлена высокой степени, и может быть несколько корней, которые представляют локальные максимумы. ^[19] Кроме того, хотя оценка максимального правдоподобия является асимптотически эффективной, она относительно неэффективна для небольших выборок. ^{[20] [21]} Логарифмическая функция правдоподобия для распределения Коши для размера выборки :${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\hat {\ell }}(x_{1},\dotsc ,x_{n}\mid \!x_{0},\gamma )=-n\log(\gamma \pi )-\sum _{i=1}^{n}\log \left(1+\left({\frac {x_{i}-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right)}$

Максимизация логарифмической функции правдоподобия относительно и путем взятия первой производной дает следующую систему уравнений:${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\frac {d\ell }{dx_{0}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2(x_{i}-x_{0})}{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-\!x_{0}\right)^{2}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {d\ell }{d\gamma }}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}{\gamma (\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2})}}-{\frac {n}{\gamma }}=0}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}}}$

является монотонной функцией по и что решение должно удовлетворять${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \min |x_{i}-x_{0}|\leq \gamma \leq \max |x_{i}-x_{0}|.}$

Решение только для требует решения полинома степени , ^[19] и решение только для требует решения полинома степени . Следовательно, независимо от того, решается ли решение для одного параметра или для обоих параметров одновременно, обычно требуется численное решение на компьютере. Преимущество оценки максимального правдоподобия - асимптотическая эффективность; оценка с использованием медианы выборки составляет лишь около 81% асимптотически эффективной оценки по максимальной вероятности. ^{[18] [22]} Усеченное выборочное среднее с использованием статистики среднего порядка 24% составляет около 88% как асимптотически эффективная оценка, как оценка максимального правдоподобия. ^[18] Когда${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle 2n-1}$${\displaystyle \,\!\gamma }$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$Метод Ньютона используется для нахождения решения для оценки максимального правдоподобия, статистические данные среднего порядка 24% могут использоваться в качестве начального решения для .${\displaystyle x_{0}}$

Форма может быть оценена с использованием медианы абсолютных значений, так как для расположения 0 переменных Коши , в параметре формы.${\displaystyle X\sim \mathrm {Cauchy} (0,\gamma )}$${\displaystyle \mathrm {median} (|X|)=\gamma }$

Многомерное распределение Коши [ править ]

Случайный вектор , как говорят, многомерное распределение Коши , если каждая линейная комбинация ее компоненты имеет распределение Коши. То есть для любого постоянного вектора случайная величина должна иметь одномерное распределение Коши. ^[23] Характеристическая функция многомерного распределения Коши определяется выражением:${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{k})^{T}}$${\displaystyle Y=a_{1}X_{1}+\cdots +a_{k}X_{k}}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle Y=a^{T}X}$

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{ix_{0}(t)-\gamma (t)},\!}$

где и действительные функции с более однородной функцией степени одного и положительно однородной функцией степени. ^[23] Более формально: ^[23]${\displaystyle x_{0}(t)}$${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle x_{0}(t)}$${\displaystyle \gamma (t)}$

${\displaystyle x_{0}(at)=ax_{0}(t),}$

${\displaystyle \gamma (at)=|a|\gamma (t),}$

для всех .${\displaystyle t}$

Пример двумерного распределения Коши может быть дан следующим образом: ^[24]

${\displaystyle f(x,y;x_{0},y_{0},\gamma )={1 \over 2\pi }\left[{\gamma \over ((x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+\gamma ^{2})^{3/2}}\right].}$

Обратите внимание , что в этом примере, несмотря на то, что нет аналога ковариационной матрицы, а не статистически независимы . ^[24]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Мы также можем написать эту формулу для комплексной переменной. Тогда функция плотности вероятности сложного Коши:

${\displaystyle f(z;z_{0},\gamma )={1 \over 2\pi }\left[{\gamma \over (|z-z_{0}|^{2}+\gamma ^{2})^{3/2}}\right].}$

Подобно одномерной плотности, многомерная плотность Коши также связана с многомерным распределением Стьюдента . Они эквивалентны, когда параметр степеней свободы равен единице. Плотность распределения Стьюдента размерности с одной степенью свободы становится:${\displaystyle k}$

${\displaystyle f({\mathbf {x} };{\mathbf {\mu } },{\mathbf {\Sigma } },k)={\frac {\Gamma \left({\frac {1+k}{2}}\right)}{\Gamma ({\frac {1}{2}})\pi ^{\frac {k}{2}}\left|{\mathbf {\Sigma } }\right|^{\frac {1}{2}}\left[1+({\mathbf {x} }-{\mathbf {\mu } })^{T}{\mathbf {\Sigma } }^{-1}({\mathbf {x} }-{\mathbf {\mu } })\right]^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

Свойства и подробности этой плотности можно получить, рассматривая ее как частный случай многомерной плотности Стьюдента.

Свойства трансформации [ править ]

• Если тогда ^[25]${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma )\,}$${\displaystyle kX+\ell \sim {\textrm {Cauchy}}(x_{0}k+\ell ,\gamma |k|)}$
• Если и независимы, то и${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma _{0})\,}$${\displaystyle Y\sim \operatorname {Cauchy} (x_{1},\gamma _{1})\,}$${\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0}+x_{1},\gamma _{0}+\gamma _{1})\,}$${\displaystyle X-Y\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0}-x_{1},\gamma _{0}+\gamma _{1})\,}$
• Если тогда${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (0,\gamma )\,}$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Cauchy} (0,{\tfrac {1}{\gamma }})\,}$
• Параметризация распределений Коши Маккаллахом : ^[26] Выражая распределение Коши в терминах одного комплексного параметра , определите как среднее . Если тогда:${\displaystyle \psi =x_{0}+i\gamma }$${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\psi )}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},|\gamma |)}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\psi )}$

${\displaystyle {\frac {aX+b}{cX+d}}\sim \operatorname {Cauchy} \left({\frac {a\psi +b}{c\psi +d}}\right)}$

где , , и действительные числа.${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$

• Используя то же соглашение, что и выше, если тогда: ^[26]${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\psi )}$

${\displaystyle {\frac {X-i}{X+i}}\sim \operatorname {CCauchy} \left({\frac {\psi -i}{\psi +i}}\right)}$

где - круговое распределение Коши .${\displaystyle \operatorname {CCauchy} }$

Мера Леви [ править ]

Распределение Коши является устойчивым распределением индекса 1. Представление Леви – Хинчина такого устойчивого распределения параметра задается формулой:${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle X\sim \operatorname {Stable} (\gamma ,0,0)\,}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left(e^{ixX}\right)=\exp \left(\int _{\mathbb {R} }(e^{ixy}-1)\Pi _{\gamma }(dy)\right)}$

куда

${\displaystyle \Pi _{\gamma }(dy)=\left(c_{1,\gamma }{\frac {1}{y^{1+\gamma }}}1_{\left\{y>0\right\}}+c_{2,\gamma }{\frac {1}{|y|^{1+\gamma }}}1_{\left\{y<0\right\}}\right)\,dy}$

и может быть выражена явно. ^[27] В случае распределения Коши имеет место .${\displaystyle c_{1,\gamma },c_{2,\gamma }}$${\displaystyle \gamma =1}$${\displaystyle c_{1,\gamma }=c_{2,\gamma }}$

Это последнее представление является следствием формулы

${\displaystyle \pi |x|=\operatorname {PV} \int _{\mathbb {R} \setminus \lbrace 0\rbrace }(1-e^{ixy})\,{\frac {dy}{y^{2}}}}$

Связанные дистрибутивы [ править ]

• ${\displaystyle \operatorname {Cauchy} (0,1)\sim {\textrm {t}}(\mathrm {df} =1)\,}$ Стьюдента т распределение
• ${\displaystyle \operatorname {Cauchy} (\mu ,\sigma )\sim {\textrm {t}}_{(\mathrm {df} =1)}(\mu ,\sigma )\,}$ нестандартизированного Стьюдента т распределение
• Если независимый, то${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {N}}(0,1)\,X,Y}$${\displaystyle {\tfrac {X}{Y}}\sim {\textrm {Cauchy}}(0,1)\,}$
• Если тогда${\displaystyle X\sim {\textrm {U}}(0,1)\,}$${\displaystyle \tan \left(\pi \left(X-{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\sim {\textrm {Cauchy}}(0,1)\,}$
• Если тогда${\displaystyle X\sim \operatorname {Log-Cauchy} (0,1)}$${\displaystyle \ln(X)\sim {\textrm {Cauchy}}(0,1)}$
• Если тогда${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma )}$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Cauchy} \left({\tfrac {x_{0}}{x_{0}^{2}+\gamma ^{2}}},{\tfrac {\gamma }{x_{0}^{2}+\gamma ^{2}}}\right)}$
• Распределение Коши - это предельный случай распределения Пирсона типа 4 ^{[ необходима ссылка ]}
• Распределение Коши - это частный случай распределения Пирсона типа 7. ^[1]
• Распределение Коши является стабильным распределением : если , то .${\displaystyle X\sim {\textrm {Stable}}(1,0,\gamma ,\mu )}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\mu ,\gamma )}$
• Распределение Коши является сингулярным пределом гиперболического распределения ^{[ необходимая ссылка ]}
• Завернутые распределение Коши , принимая значения на окружности, является производным от распределения Коши, окружив его по кругу.
• Если , , то . Для половинных распределений Коши соотношение выполняется, если положить .${\displaystyle X\sim {\textrm {N}}(0,1)}$${\displaystyle Z\sim \operatorname {Inverse-Gamma} (1/2,s^{2}/2)}$${\displaystyle Y=\mu +X{\sqrt {Z}}\sim \operatorname {Cauchy} (\mu ,s)}$${\displaystyle X\sim {\textrm {N}}(0,1)I\{X>=0\}}$

Релятивистское распределение Брейта – Вигнера [ править ]

В ядерной физике и физике элементарных частиц энергетический профиль резонанса описывается релятивистским распределением Брейта – Вигнера , а распределение Коши - (нерелятивистским) распределением Брейта – Вигнера. ^{[ необходима цитата ]}

Возникновение и применение [ править ]

• В спектроскопии распределение Коши описывает форму спектральных линий, которые подвержены однородному уширению, при котором все атомы взаимодействуют одинаково с диапазоном частот, содержащимся в форме линии. Многие механизмы вызывают однородное уширение, особенно уширение при столкновении . ^[28] Время жизни или естественное уширение также приводит к форме линии, описываемой распределением Коши.

• Приложения распределения Коши или его преобразования можно найти в областях, работающих с экспоненциальным ростом. В статье Уайта 1958 года ^{[29] была} получена тестовая статистика для оценок уравнения, и где оценка максимального правдоподобия находится с использованием обычных наименьших квадратов, показано, что выборочное распределение статистики является распределением Коши.${\displaystyle {\hat {\beta }}}$${\displaystyle x_{t+1}=\beta {x}_{t}+\varepsilon _{t+1},\beta >1}$

• Распределение Коши часто представляет собой распределение наблюдений за вращающимися объектами. Классическая ссылка на это называется проблемой маяка Чайки ^[31] и, как и в предыдущем разделе, как распределение Брейта – Вигнера в физике элементарных частиц.

• В гидрологии распределение Коши применяется к экстремальным явлениям, таким как годовые максимальные однодневные осадки и сток реки. На синем рисунке показан пример подгонки распределения Коши к ранжированным ежемесячным максимальным однодневным осадкам, показывающий также 90% доверительный пояс на основе биномиального распределения . Данные об осадках представлены в виде графиков позиций как часть кумулятивного частотного анализа .

• Выражение для мнимой части комплексной диэлектрической проницаемости согласно модели Лоренца является распределением Коши.

• В качестве дополнительного распределения для моделирования « толстых хвостов» в вычислительных финансах распределения Коши можно использовать для моделирования VAR ( подверженной риску стоимости ), дающей гораздо большую вероятность экстремального риска, чем распределение по Гауссу . ^[32]

См. Также [ править ]

• Lévy полета и процесс Lévy
• Процесс Коши
• Стабильный процесс
• Распределение слэша

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Распределение Коши" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Раннее использование: запись о распределении Коши содержит некоторую историческую информацию.
• Вайстейн, Эрик В. «Распределение Коши» . MathWorld .
• Научная библиотека GNU - Справочное руководство
• Отношения нормальных переменных Джорджа Марсальи