Патологический (математика)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Патологическая» математика  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Функция Вейерштрасса не является непрерывной всюду , но дифференцируема нигде.

В математике патологический объект - это объект, который обладает отклоняющимся, нерегулярным или противоречащим интуиции свойством, что отличает его от того, что задумано как типичный объект той же категории. Противоположность патологии - это хорошее поведение . ^{[1] [2] [3]}

В анализе [ править ]

Классическим примером патологической структуры является функция Вейерштрасса , которая везде непрерывна, но нигде не дифференцируется . ^[2] Сумма дифференцируемой функции и функции Вейерштрасса снова непрерывна, но нигде не дифференцируема; так что таких функций как минимум столько же, сколько и дифференцируемых функций. Фактически, с помощью теоремы Бэра о категории можно показать, что непрерывные функции в общем случае нигде не дифференцируемы. ^[4]

С точки зрения непрофессионала, большинство функций нигде невозможно дифференцировать, и относительно немногие из них могут быть описаны или изучены. В общем, наиболее полезные функции также имеют какую-то физическую основу или практическое применение, что означает, что они не могут быть патологическими на уровне сложной математики или логики; за исключением некоторых предельных случаев, таких как дельта-распределение , они, как правило, довольно корректны и интуитивно понятны. Процитирую Анри Пуанкаре :

Логика иногда создает монстров. За полвека мы наблюдаем массу причудливых функций, которые, кажется, вынуждены как можно меньше походить на честные функции, служащие какой-то цели. Больше преемственности или меньше преемственности, больше производных и так далее. В самом деле, с точки зрения логики, эти странные функции являются самыми общими; с другой стороны, те, которые встречаются, не ища их, и которые следуют простым законам, оказываются частным случаем, который составляет не более чем небольшой угол.

В прежние времена, когда изобретали новую функцию, это было для практических целей; сегодня их изобретают специально, чтобы выявить недостатки в рассуждениях наших отцов, и из них выводят только это.

Если бы логика была единственным руководством учителя, необходимо было бы начать с самых общих функций, то есть с самых причудливых. Именно новичку придется столкнуться с этим тератологическим музеем.

-  Анри Пуанкаре , 1899 ^{[ неясно ]}

Это подчеркивает тот факт, что термин « патологический» (и, соответственно, слово « хорошее поведение» ) является субъективным, контекстно-зависимым и подверженным устареванию. ^[1] Его значение в любом конкретном случае принадлежит сообществу математиков, а не обязательно самой математике. Кроме того, цитата показывает, как математика часто прогрессирует через контрпримеры к тому, что кажется интуитивным или ожидаемым. Например, упомянутое «отсутствие производных» тесно связано с текущими исследованиями событий магнитного пересоединения в солнечной плазме . ^{[ необходима цитата ]}

В топологии [ править ]

Один из самых известных патологий в топологии является Александр рогатой сферы , контрпример , показывающим , что топологический вложение сферы S ² в R ³ может не разделять пространство чисто. В качестве контрпримера он мотивировал дополнительное условие приручения , которое подавляет дикое поведение, которое демонстрирует рогатая сфера. ^[5]

Подобно многим другим патологиям, рогатая сфера в некотором смысле играет на бесконечно тонкой рекурсивно генерируемой структуре, которая в пределе нарушает обычную интуицию. В этом случае топология постоянно нисходящей цепочки взаимосвязанных петель непрерывных частей сферы в пределе полностью отражает топологию общей сферы, и можно было бы ожидать, что внешняя часть ее после вложения будет работать так же. Однако это не так: это не может быть просто связано .

Для основной теории см теорему Джордана – Шенфлиса .

Хорошее поведение [ править ]

Математики (и специалисты в смежных науках) очень часто говорят о том, является ли математический объект - функция , множество , пространство того или иного вида - «хорошо управляемым» . Хотя у этого термина нет фиксированного формального определения, он обычно относится к качеству выполнения списка преобладающих условий ^[6], которые могут зависеть от контекста, математических интересов, моды и вкуса. Чтобы гарантировать, что объект «ведет себя хорошо», математики вводят дополнительные аксиомы, чтобы сузить область изучения. Это облегчает анализ, но приводит к потере общности любых сделанных выводов. Например,когда-то считалось, что неевклидовы геометрии плохо себя ведут, но с тех пор стали обычными объектами изучения, начиная с XIX века. ^[7]

Как в чистой, так и в прикладной математике (например, оптимизация , численное интегрирование , математическая физика ) хорошее поведение также означает отсутствие нарушения каких-либо допущений, необходимых для успешного применения любого обсуждаемого анализа. ^[6]

Противоположный случай обычно называют «патологическим». Нередко возникают ситуации, в которых большинство случаев (с точки зрения мощности или меры ) являются патологическими, но патологические случаи не возникают на практике - если они не построены намеренно.

Термин «хорошо себя ведет» обычно применяется в абсолютном смысле - либо что-то хорошо ведет себя, либо нет. Например:

• В алгоритмическом выводе статистика с хорошим поведением является монотонной, четко определенной и достаточной .
• В теореме Безу два многочлена ведут себя хорошо, и, таким образом, формула, данная теоремой для числа их пересечений, верна, если их наибольший общий делитель полинома является константой.
• Мероморфны функция представляет собой отношение двух хорошо себя функций, в том смысле этих двух функций , являющихся голоморфна .
• Условия Каруша – Куна – Таккера являются необходимыми условиями первого порядка для того, чтобы решение хорошо управляемой задачи нелинейного программирования было оптимальным; проблема называется хорошо выполненной, если выполняются некоторые условия регулярности.
• С точки зрения вероятности , события, содержащиеся в соответствующей сигма-алгебре вероятностного пространства, ведут себя хорошо, как и измеримые функции.

Как ни странно, этот термин может применяться и в сравнительном смысле:

• В исчислении :
  • Аналитические функции ведут себя лучше, чем общие гладкие функции .
  • Гладкие функции ведут себя лучше, чем общие дифференцируемые функции.
  • Непрерывные дифференцируемые функции ведут себя лучше, чем общие непрерывные функции. Чем больше раз функция может быть дифференцирована, тем лучше она будет работать.
  • Непрерывные функции ведут себя лучше, чем функции, интегрируемые по Риману на компактах.
  • Функции, интегрируемые по Риману, ведут себя лучше, чем функции, интегрируемые по Лебегу .
  • Функции, интегрируемые по Лебегу, ведут себя лучше, чем функции общего вида.
• В топологии , непрерывные функции лучше , чем себя разрывных из них.
  • Евклидово пространство ведет себя лучше, чем неевклидова геометрия .
  • Привлекательные неподвижные точки ведут себя лучше, чем отталкивающие неподвижные точки.
  • Топологии Хаусдорфа ведут себя лучше, чем топологии произвольной общей топологии .
  • Борелевские лучше себя ведет , чем произвольные наборы из действительных чисел .
  • Пространства с целочисленной размерностью ведут себя лучше, чем пространства с фрактальной размерностью .
• В абстрактной алгебре :
  • Группы ведут себя лучше, чем магмы и полугруппы .
  • Абелевы группы ведут себя лучше, чем неабелевы группы.
  • Конечно порожденные абелевы группы ведут себя лучше, чем неконечно порожденные абелевы группы.
  • Конечное - одномерные векторные пространства лучше вели себя , чем бесконечные мерными них.
  • Поля ведут себя лучше, чем тела или общие кольца .
  • Разделимые расширения поля ведут себя лучше, чем неразделимые.
  • Нормированные алгебры с делением ведут себя лучше, чем общие композиционные алгебры.

Патологические примеры [ править ]

Эта статья, возможно, содержит оригинальные исследования . Пожалуйста, улучшите его , проверив сделанные утверждения и добавив встроенные цитаты . Заявления, содержащие только оригинальные исследования, следует удалить. ( Август 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Патологические примеры часто обладают некоторыми нежелательными или необычными свойствами, которые затрудняют их содержание или объяснение в рамках теории. Такое патологическое поведение часто побуждает к новым исследованиям и исследованиям, которые приводят к новой теории и более общим результатам. Вот некоторые важные исторические примеры этого:

• Открытие иррациональных чисел школой Пифагора в Древней Греции; например, длина диагонали единичного квадрата , то есть .${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$
• Открытие комплексных чисел в 16 веке с целью найти корни полиномиальных функций кубической и четвертой степени .
• Мощность из рациональных чисел равна мощности из целых чисел .
• Некоторые числовые поля имеют кольца целых чисел, которые не образуют уникальной области факторизации , например, поле .${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-5}})}$
• Открытие фракталов и других «грубых» геометрических объектов (см. Размерность Хаусдорфа ).
• Функция Вейерштрасса , вещественнозначная функция на действительной прямой , непрерывная везде, но нигде не дифференцируемая . ^[2]
• Тестовые функции в реальном анализе и теории распределения, которые являются бесконечно дифференцируемыми функциями на вещественной прямой, равными 0 всюду за пределами заданного ограниченного интервала . Примером такой функции является тестовая функция,

${\ displaystyle \ varphi (t) = {\ begin {cases} e ^ {- 1 / (1-t ^ {2})}, & - 1 <t <1, \\ 0, & {\ text {иначе }}. \ end {case}}}$

• Канторово множество является подмножеством интервала [0, 1] , который имеет меру нуль , но является несчетное .
• Кривая, заполняющая пространство Пеано, является непрерывной сюръективной функцией, которая отображает единичный интервал [0, 1] на [0, 1] × [0, 1].
• Функция Дирихле , которая является индикаторной функцией для рациональных чисел, является ограниченной функцией, которая не интегрируема по Риману .
• Функция Кантора - это монотонная непрерывная сюръективная функция, которая отображает [0,1] на [0,1], но почти всюду имеет нулевую производную .
• Классы удовлетворенности , содержащие «интуитивно ложные» арифметические операторы могут быть построены для счетных , рекурсивно насыщенными моделями из арифметики Пеано . ^{[ необходима цитата ]}

Во время их открытия каждый из них считался крайне патологическим; сегодня каждый из них ассимилирован современной математической теорией. Эти примеры побуждают наблюдателей исправить свои убеждения или интуиции, а в некоторых случаях требуют переоценки основных определений и концепций. На протяжении истории они привели к более правильной, более точной и более мощной математике. Например, функция Дирихле интегрируема по Лебегу, а свертка с пробными функциями используется для приближения любой локально интегрируемой функции гладкими функциями. ^{[Примечание 1]}

Является ли поведение патологическим, по определению зависит от личной интуиции. Патологии зависят от контекста, подготовки и опыта, и то, что является патологическим для одного исследователя, вполне может быть стандартным поведением для другого.

Патологические примеры могут показать важность предположений в теореме. Например, в статистике , то распределение Кошей не удовлетворяет центральную предельную теорему , хотя ее симметричный колокол-форма выглядит похожей на многие дистрибутивы , которые делают; он не соответствует требованию наличия среднего и стандартного отклонения, которые существуют и являются конечными.

Некоторые из наиболее известных парадоксов , таких как Банаха-Тарского парадокс и Хаусдорфа парадокс , основаны на существовании не-измеримых множеств . Математики, если они не занимают позицию меньшинства, отрицая аксиому выбора , в целом смиряются с жизнью с такими множествами. ^{[ необходима цитата ]}

Информатика [ править ]

В информатике , патологическая имеет несколько иной смысл в отношении к изучению алгоритмов . Здесь вход (или набор входов) называется патологическим, если он вызывает нетипичное поведение алгоритма, такое как нарушение его средней сложности случая или даже его правильности. Например, хеш-таблицы обычно имеют патологические входные данные: наборы ключей, которые сталкиваются с хеш-значениями. Быстрая сортировка обычно имеет временную сложность O (n log n), но ухудшается до O (n ² ), когда ей дают входные данные, вызывающие неоптимальное поведение.

Этот термин часто используется уничижительно, как способ отвергнуть такие входные данные, как специально разработанные, чтобы нарушить рутину, которая в остальном разумна на практике (сравните с византийскими ). С другой стороны, важна осведомленность о патологических входах, поскольку они могут быть использованы для организации атаки отказа в обслуживании в компьютерной системе. Кроме того, термин в этом смысле является предметом субъективного суждения, как и в случае с другими его значениями. При наличии достаточного времени выполнения, достаточно большое и разнообразное сообщество пользователей (или другие факторы), вход , который может быть отклонен как патологическая на самом деле может иметь место (как видно в первом испытательном полете на Ariane 5 ).

Исключения [ править ]

Сходным, но отличным от других явлением является феномен исключительных объектов (и исключительных изоморфизмов ), который возникает, когда существует «небольшое» количество исключений из общего шаблона (например, конечный набор исключений из бесконечного правила). Напротив, в случаях патологии часто большинство или почти все случаи явления являются патологическими (например, почти все действительные числа иррациональны).

Субъективно исключительные объекты (такие как икосаэдр или отдельные простые группы ) обычно считаются «красивыми», неожиданными примерами теории, в то время как патологические явления часто считаются «уродливыми», как следует из названия. Соответственно, теории обычно расширяются за счет включения исключительных объектов. Например, исключительные алгебры Ли включены в теорию полупростых алгебр Ли : аксиомы считаются хорошими, исключительные объекты - неожиданными, но действительными.

Напротив, вместо этого используются патологические примеры, чтобы указать на недостаток аксиом, требуя более сильных аксиом, чтобы их исключить. Например, требование ручности вложения шара в задаче Шенфлиса . В общем, можно изучать более общую теорию, включая патологии, которые могут давать свои собственные упрощения (действительные числа имеют свойства, очень отличные от рациональных, и аналогично непрерывные карты имеют свойства, сильно отличающиеся от гладких), но также и более узкие. теория, из которой были взяты оригинальные примеры.

См. Также [ править ]

• Фрактальная кривая
• Список математического жаргона

Ссылки [ править ]

Заметки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Патологические структуры и фракталы - выдержка из статьи Фримена Дайсона , «Характеризуя нерегулярность», Science, май 1978 г.

Эта статья включает в себя материал из патологического материала PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .