В математике свойства, которые справедливы для «типичных» примеров, называются общими свойствами . Например, универсальное свойство класса функций - это свойство, которое истинно для «почти всех» этих функций, как в утверждениях «Универсальный многочлен не имеет корня в нуле» или «Универсальная квадратная матрица является обратимый ". В качестве другого примера, общее свойство пространства - это свойство, которое выполняется «почти во всех» точках пространства, как в утверждении: «Если f : M → N - гладкая функция между гладкими многообразиями , то общая точка N не является критическим значением f. "(Это по теореме Сарда .)
В математике существует множество различных понятий «общий» (что означает «почти все») с соответствующими двойственными понятиями «почти ничего» ( незначительное множество ); два основных класса:
- В теории меры общее свойство - это свойство, которое выполняется почти везде , при этом двойственное понятие имеет нулевое множество , что означает «с вероятностью 0».
- В топологии и алгебраической геометрии общее свойство - это свойство, которое сохраняется на плотном открытом множестве или, в более общем смысле, на остаточном множестве , при этом двойственная концепция является нигде не плотным множеством или, в более общем смысле, скудным множеством .
Есть несколько естественных примеров, когда эти понятия не равны. [1] Например, множество чисел Лиувилля является общим в топологическом смысле, но имеет нулевую меру Лебега. [2]
В теории меры
В теории меры общее свойство - это свойство, которое выполняется почти всюду . Двойственная концепция - это нулевой набор , то есть набор нулевой меры.
По вероятности
С вероятностью общее свойство - это событие, которое происходит почти наверняка , что означает, что оно происходит с вероятностью 1. Например, закон больших чисел утверждает, что среднее по выборке почти всегда сходится к среднему по генеральной совокупности. Это определение в случае теории меры, специализирующееся на вероятностном пространстве.
В дискретной математике
В дискретной математике термин « почти все» используется для обозначения кофинитного (все, кроме конечного числа), сосчетного (всех, кроме счетного множества) для достаточно больших чисел или, иногда, асимптотически почти наверняка . Эта концепция особенно важна при изучении случайных графов .
В топологии
В топологии и алгебраической геометрии общее свойство - это свойство, которое выполняется на плотном открытом множестве или, в более общем смысле, на остаточном множестве (счетное пересечение плотных открытых множеств), причем двойственная концепция является замкнутым нигде не плотным множеством , или, в более общем смысле, множество скудный (счетное объединение нигде не плотных замкнутых множеств).
Однако одной плотности недостаточно для характеристики общего свойства. Это можно увидеть даже в действительных числах , где и рациональные числа, и их дополнение, иррациональные числа, плотны. Поскольку нет смысла говорить, что и набор, и его дополнение демонстрируют типичное поведение, и рациональные, и иррациональные числа не могут быть примерами наборов, достаточно больших, чтобы быть типичными. Следовательно, мы полагаемся на более сильное определение, приведенное выше, из которого следует, что иррациональные числа типичны, а рациональные - нет.
Для приложений, если свойство сохраняется в остаточном наборе , оно может не выполняться для каждой точки, но небольшое возмущение, как правило, приведет к попаданию одного свойства внутрь остаточного набора (нигде по плотности компонентов скудного набора), и это, таким образом, самый важный случай, который нужно рассмотреть в теоремах и алгоритмах.
В функциональных пространствах
Свойство является общим в C r, если набор, содержащий это свойство, содержит остаточное подмножество в топологии C r . Здесь С г является функциональным пространством , члены которого являются непрерывными функциями с г непрерывными производными от многообразия М в многообразии N .
Пространство C r ( M , N ) отображений C r между M и N является пространством Бэра , поэтому любое остаточное множество плотно . Это свойство функционального пространства делает общие свойства типичными .
В алгебраической геометрии
Алгебраические многообразия
Свойство неприводимого алгебраического многообразия X называется истинным в общем случае, если оно выполняется, за исключением собственного замкнутого по Зарисскому подмножества X , другими словами, если оно выполняется на непустом открытом по Зарискому подмножестве. Это определение согласуется с приведенным выше топологическим, поскольку для неприводимых алгебраических многообразий любое непустое открытое множество плотно.
Например, по критерию Якоби регулярности общая точка многообразия над полем нулевой характеристики является гладкой. (Это утверждение известно как общая гладкость .) Это верно, потому что критерий Якоби может быть использован для поиска уравнений для негладких точек: это именно те точки, в которых матрица Якоби точки X не имеет полного ранга. . В нулевой характеристике эти уравнения нетривиальны, поэтому они не могут быть верными для каждой точки в многообразии. Следовательно, множество всех нерегулярных точек X является собственным Зарискому-замкнутое подмножество X .
Другой пример. Пусть f : X → Y - регулярное отображение между двумя алгебраическими многообразиями. Для каждой точки y на Y рассмотрим размерность слоя f над y , то есть dim f −1 ( y ). Обычно это число постоянно. Он не обязательно везде постоянный. Если, скажем, X - это раздутие Y в точке, а f - естественная проекция, то относительная размерность f равна нулю, за исключением точки, которая взорвана, где она тусклая Y - 1.
Говорят, что некоторые свойства имеют очень общий характер . Часто это означает, что основное поле несчетно и что это свойство верно за исключением счетного объединения собственных замкнутых по Зарискому подмножеств (т. Е. Свойство выполняется на плотном множестве G δ ). Например, это очень общее понятие возникает при рассмотрении рациональной связности . Однако другие определения очень общего могут встречаться и встречаются в других контекстах.
Общая точка
В алгебраической геометрии общая точка алгебраического многообразия - это точка, координаты которой не удовлетворяют никакому другому алгебраическому соотношению, кроме тех, которым удовлетворяет каждая точка этого многообразия. Например, общая точка аффинного пространства над полем k - это точка, координаты которой алгебраически независимы над k .
В теории схем , где точки являются подмногообразиями, общая точка многообразия - это точка, замыканием которой для топологии Зарисского является все многообразие.
Общее свойство - это свойство общей точки. Для любого разумного свойства оказывается, что свойство истинно в общем на подмногообразии (в смысле истинности на открытом плотном подмножестве) тогда и только тогда, когда свойство истинно в общей точке. Для доказательства таких результатов часто используются методы пределов аффинных схем, разработанные в EGA IV 8.
Общая позиция
Связанное с этим понятие в алгебраической геометрии - это общее положение , точное значение которого зависит от контекста. Например, на евклидовой плоскости три точки общего положения не лежат на одной прямой . Это потому , что свойство не быть коллинеарна является общим свойством конфигурационного пространства трех точек в R 2 .
В вычислимости
В вычислимости и алгоритмическая случайность , бесконечная вереница натуральных чисел называется 1-общим, если для любого в.п. множества , либо имеет начальный сегмент в , или же имеет начальный сегмент так что каждое расширение не входит в W. 1-генерики важны для вычислимости, так как многие конструкции можно упростить, рассматривая подходящие 1-генерики. [3] Некоторые ключевые свойства:
- 1-родовое число содержит каждое натуральное число как элемент;
- Никакая 1-генерика не вычислима (или даже не ограничена вычислимой функцией);
- Все 1-дженерики обобщенно низкие :.
1-типичность связана с топологическим понятием «общий» следующим образом. Пространство Бэра имеет топологию с основными открытыми наборами для каждой конечной строки натуральных чисел . Затем элементявляется 1-общим тогда и только тогда, когда он не находится на границе какого-либо открытого множества. В частности, для каждого плотного открытого множества требуются 1-генерики (хотя это строго более слабое свойство, называемое слабо 1-генерическим ).
Результаты универсальности
- Теорема Сарда : еслиявляется гладкой функцией между гладкими многообразиями , то общая точка N не является критическим значением F - критические значения F представляют собой множество нуля в N .
- Критерий Якоби / общая гладкость : общая точка многообразия над полем нулевой характеристики является гладкой.
- Управляемость и наблюдаемость из линейных стационарных систем являются общими как в топологическом и мере смысла теории. [4]
Рекомендации
- ^ Хант, Брайан Р .; Калошин, Вадим Ю. (2010). Распространенность . Справочник по динамическим системам. 3 . С. 43–87. DOI : 10.1016 / s1874-575x (10) 00310-3 . ISBN 9780444531414.
- ^ Окстоби, Джон С. (1980). Мера и категория | SpringerLink . Тексты для выпускников по математике. 2 . DOI : 10.1007 / 978-1-4684-9339-9 . ISBN 978-1-4684-9341-2.
- ^ Соаре, Роберт И. (2016), «Сводимость по Тьюрингу» , Вычислимость по Тьюрингу , Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 51–78, ISBN 978-3-642-31932-7, получено 01.11.2020
- ^ Полдерман, Ян Виллем; Виллемс, Ян К. (1998). Введение в теорию математических систем | SpringerLink . Тексты по прикладной математике. 26 . DOI : 10.1007 / 978-1-4757-2953-5 . ISBN 978-1-4757-2955-9.
- Виггинс, Стивен (2003), Введение в прикладные нелинейные динамические системы и хаос , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-00177-7
- Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), принципы алгебраической геометрии , библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , DOI : 10.1002 / 9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523