Нигде плотный набор

В математике , подмножество из топологического пространства называется нигде не плотным или редким ^[1] , если его замыкание имеет пустую внутренность . В очень широком смысле это набор, элементы которого нигде не плотно сгруппированы (как определено топологией пространства). Порядок операций важен. Например, множество рациональных чисел , как подмножество действительных чисел , ℝ , обладает тем свойством , что его интерьер имеет пустое замыкание , но не нигде не плотно; на самом деле он плотныйв ℝ .

Окружающее пространство вопросы: множество могут быть нигде не плотными , если рассматривать как подмножество топологического пространства X , но не тогда , когда рассматриваются как подмножество другого топологического пространства Y . Примечательно, что множество всегда плотно в своей собственной топологии подпространства .

Счетное объединение нигде не плотных множеств называется скудным множеством . Скудные множества играют важную роль в формулировке теоремы Бэра о категориях .

Характеристики [ править ]

Подмножество из топологического пространства называется нигде не плотно или редко в случае любого из следующих эквивалентных условий:${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

1. Определение: внутренняя часть закрытия из (как принято в ) пусто; то есть,${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {int} _ {X} \ left (\ operatorname {cl} _ {X} S \ right) = \ varnothing.}$
   • Иначе говоря , замыкание в в не содержит непустое открытое подмножество${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
2. ${\displaystyle S}$является подмножеством границы (взятой в ) некотором открытом подмножестве то есть, существует некоторое открытое подмножество из таких , что${\displaystyle X}$${\displaystyle X;}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq \operatorname {bd} _{X}U.}$
3. Замыкание равно границе некоторого открытого подмножества , то есть существует некоторое открытое подмножество из таких , что${\displaystyle S}$${\displaystyle X;}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\operatorname {bd} _{X}U.}$
   • Если замкнуто в, то нигде не плотно в тогда и только тогда, когда оно равно его границе в ^[1]${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$
4. Замыкание из нигде не плотно в (по любому определяющему условию , отличной от указанного). ^[1]${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$
   • Это потому, что подмножество имеет пустую внутреннюю часть тогда и только тогда, когда его дополнение является плотным подмножеством${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
5. Дополнение к замыканию смысла является плотным подмножеством ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle X\setminus \left(\operatorname {cl} _{X}S\right),}$${\displaystyle X.}$
   • Таким образом , нигде не является плотным в том и только в том случае, если является подмножеством границы некоторого плотного открытого подмножества (в частности, оно будет подмножеством границы плотного открытого подмножества ).${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\setminus \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)}$
6. Там не существует каких - либо непустое открытое подмножество из таких , что является плотное подмножество в${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\cap U}$${\displaystyle U.}$
7. Каждое непустое открытое подмножество из содержит непустое открытое подмножество из таких , что ^[1]${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\cap U=\varnothing .}$

Свойства и достаточные условия [ править ]

• Предполагать ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq X.}$
  • Если нигде не плотно, то нигде не плотно.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$
  • Если нигде не плотно в и является открытым подмножеством, то нигде не плотно в ^[1]${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B.}$
• Каждое подмножество нигде не плотное множество нигде не плотно. ^[1]
• Объединение из конечного числа нигде не плотных множеств нигде не плотно.

Таким образом, нигде не плотные множества образуют идеал множеств , подходящее понятие незначительного множества .

Однако объединение счетного числа нигде не плотных множеств не обязательно должно быть нигде не плотным. (Таким образом, нигде не плотные множества не обязательно образуют сигма-идеал .) Вместо этого такое объединение называется скудным множеством или множеством первой категории .

Примеры [ править ]

• Граница любого открытого множества и каждого замкнутого множества нигде не является плотной. ^[1]
• Пустое множество нигде не является плотным, а в дискретном пространстве пустое множество - единственное нигде не плотное подмножество. ^[1]
• В пространстве T 1 любое одноэлементное множество, не являющееся изолированной точкой , нигде не является плотным.
• ℝ нигде не плотно в ℝ ² . ^[1]
• ℤ нигде не плотно в ℝ но рациональные ℚ являются не . ^[1]
• S = {1 / n  : n ∈ ℕ } нигде не плотно в ℝ : хотя точки становятся сколь угодно близкими к 0, замыкание множества - это S ∪ {0 }, которое имеет пустую внутренность (и, таким образом, также нигде не плотно в ℝ ). ^[1]
• ℤ ∪ [( , б ) ∩ ℚ] пока не нигде не плотно в ℝ : оно плотно в интервале [ , Ь ] , и , в частности , внутренняя часть его закрытия является ( , б ) .
• Векторное подпространство топологического векторного пространства либо плотно, либо нигде не плотно. ^[1]

Открытые и закрытые [ править ]

• Нигде не плотное множество не обязательно должно быть замкнутым (например, множество {1 / n  : n ∈ ℕ } нигде не плотно в вещественных числах), но должным образом содержится в нигде не плотном замкнутом множестве, а именно в его закрытии (которое добавило бы к набор примеров). В самом деле, множество нигде не является плотным тогда и только тогда, когда его замыкание нигде не плотно.${\displaystyle 0}$
• Дополнением замкнутого нигде не плотного множества является плотным открытым множеством , и , таким образом , дополнение нигде не плотное множество является множеством с плотной внутренней .
• Граница каждого открытого множества замкнуто и нигде не плотно.
• Каждое замкнутое нигде не плотное множество является границей открытого множества.

Нигде не плотные множества с положительной мерой [ править ]

Нигде не плотный набор не обязательно пренебрежимо мал во всех смыслах. Например, если это единичный интервал [0,1] , не только возможно иметь плотное множество нулевой меры Лебега (например, множество рациональных чисел), но также возможно иметь нигде не плотное множество с положительными мера.${\displaystyle X}$

В одном примере (вариант набора Кантора ) удалите из [0,1] все двоичные дроби , то есть дроби формы a / 2 ⁿ в младших членах для положительных целых чисел a и n , и интервалы вокруг них: ( a / 2 ⁿ  - 1/2 ^{2 n +1} , a / 2 ⁿ  + 1/2 ^{2 n +1} ) . Поскольку для каждого n это удаляет интервалы в сумме не более 1/2 ^{n +1}, нигде не плотное множество, оставшееся после того, как все такие интервалы были удалены, имеет меру не менее 1/2 (на самом деле чуть более 0,535 ... из-за перекрытий) и поэтому в некотором смысле представляет собой большую часть окружающего пространства [0, 1 ] . Это множество нигде не является плотным, так как оно замкнуто и имеет пустую внутренность: любой интервал ( a , b ) не содержится в наборе, поскольку двоичные дроби в ( a , b ) были удалены.

Обобщая этот метод, можно построить в единичном интервале нигде не плотные множества любой меры меньше 1, хотя мера не может быть точно 1 (иначе дополнение ее замыкания было бы непустым открытым множеством с нулевой мерой, что невозможно).

См. Также [ править ]

• Пространство Бэра
• Набор Fat Cantor

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . 936 . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370 .
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .

Внешние ссылки [ править ]

• Некоторые нигде не плотные множества положительной меры