Граница (топология)

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Март 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Набор (голубой) и его граница (темно-синий).

В топологии и математике в целом, граница подмножества S в виде топологического пространства X есть множество точек , которые можно подойти как с S , и с внешней стороны S . Точнее, это множество точек в замыкании на S , не принадлежащих к внутренней части S . Элемент границы S называется граничной точкой из S . Срок пограничной эксплуатацииотносится к поиску или взятию границы набора. Обозначения, используемые для границы множества S, включают bd ( S ), fr ( S ) и . Некоторые авторы (например, Уиллард в « Общей топологии» ) используют термин граница вместо границы, пытаясь избежать путаницы с другим определением, используемым в алгебраической топологии и теории многообразий . Несмотря на широкое признание значения терминов «граница» и «граница», они иногда использовались для обозначения других множеств. Например, метрические пространства по ET Copson использует термин границу для обозначения Хаусдорфа «с${\displaystyle \partial S}$граница , которая определяется как пересечение набора с его границей. ^[1] Хаусдорф также ввел термин вычет , который определяется как пересечение множества с замыканием границы его дополнения. ^[2]

Компонента связности границы S называется граничной компонентой из S .

Общие определения [ править ]

Существует несколько эквивалентных определений границы подмножества S топологического пространства X :

• замыкание в минус интерьер из : ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \partial S:={\bar {S}}\setminus S^{\circ }}$
• пересечение замыкания с замыканием его дополнения :${\displaystyle S}$${\displaystyle \partial S:={\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}}$
• множество точек , что каждая окрестность из содержит по меньшей мере одну точку и , по меньшей мере , один пункт не :${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \partial S:=\{p\in X\mid \forall O\ni p:O\cap S\neq \emptyset \,{\text{ and }}\,O\cap S^{c}\neq \emptyset \}}$

Примеры [ править ]

Граница гиперболических компонент множества Мандельброта

Рассмотрим вещественную прямую с обычной топологией (т. Е. Топологию, базисные множества которой - открытые интервалы ) и подмножество рациональных чисел (с пустой внутренней частью ). Надо${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• ${\displaystyle \partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}}$
• ${\displaystyle \partial \varnothing =\varnothing }$
• ${\displaystyle \partial \mathbb {Q} =\mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \partial (\mathbb {Q} \cap [0,1])=[0,1]}$

Эти два последних примера иллюстрируют тот факт, что граница плотного множества с пустой внутренней частью является его замыканием.

В пространстве рациональных чисел с обычной топологией ( подпространство топологии в ), границы , где иррационально, пусто.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (-\infty ,a)}$

Граница набора - это топологическое понятие, которое может измениться при изменении топологии. Например, учитывая обычную топологию , граница замкнутого круга является окружающим кругом этого диска: . Если диск рассматривается как набор в своей собственной обычной топологией, т.е. , то граница диска является сам диск: . Если диск рассматривается как собственное топологическое пространство (с топологией подпространства ), то граница диска пуста.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \Omega =\{(x,y)|x^{2}+y^{2}\leq 1\}}$${\displaystyle \partial \Omega =\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \Omega =\{(x,y,0)|x^{2}+y^{2}\leq 1\}}$${\displaystyle \partial \Omega =\Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Свойства [ править ]

• Граница множества замкнута . ^[3]
• Граница внутренней части множества, так же как и граница замыкания множества, оба содержатся в границе множества.
• Множество является границей некоторого открытого множества тогда и только тогда, когда оно замкнуто и нигде не плотно .
• Граница множества является границей дополнения множества: .${\displaystyle \partial S=\partial (S^{c})}$
• Внутренняя часть границы замкнутого множества - это пустое множество.

Следовательно:

• p является граничной точкой множества тогда и только тогда, когда каждая окрестность p содержит хотя бы одну точку в множестве и хотя бы одну точку не в множестве.
• Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит свою границу, и открыто тогда и только тогда, когда оно не пересекается со своей границей.
• Замыкание множества равно объединение множества с его границей: .${\displaystyle {\overline {S}}=S\cup \partial S}$
• Граница набора пуста тогда и только тогда, когда набор одновременно закрытый и открытый (то есть закрытый набор ).
• Внутренняя часть границы замыкания множества - это пустое множество.

Концептуальная диаграмма Венна, показывающая отношения между различными точками подмножества S R ⁿ . A = множество предельных точек S, B = множество граничных точек S, область, заштрихованная зеленым цветом = множество внутренних точек S, область, заштрихованная желтым цветом = множество изолированных точек S, области, заштрихованные черным цветом = пустые множества. Каждая точка S является либо внутренней, либо граничной точкой. Кроме того, каждая точка S является либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Аналогично, каждая граничная точка S является либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Изолированные точки всегда являются граничными точками.

Граница границы [ править ]

Для любого множества S , ∂ S ' ⊇ ∂∂ S , причем равенство тогда и только тогда , когда граница S не имеет внутренних точек, которые будут в случае, например , если S либо закрыто или открыто. Поскольку границы множества замкнут, для любого множества S . Таким образом, граничный оператор удовлетворяет ослабленной идемпотентности .${\displaystyle \partial \partial S=\partial \partial \partial S}$

При обсуждении границ многообразий или симплексов и их симплициальных комплексов часто встречается утверждение, что граница границы всегда пуста. Действительно, построение особых гомологийкритически опирается на этот факт. Объяснение очевидного несоответствия состоит в том, что топологическая граница (предмет этой статьи) - это понятие, немного отличающееся от границы многообразия или симплициального комплекса. Например, граница открытого диска, рассматриваемая как многообразие, пуста, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество самого себя, в то время как его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, представляет собой круг, окружающий диск. И наоборот, граница замкнутого диска, рассматриваемого как многообразие, является ограничивающей окружностью, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, в то время как его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество самого себя, пуста. (В частности, топологическая граница зависит от объемлющего пространства, тогда как граница многообразия инвариантна.)

См. Также [ править ]

• Подробнее см. Обсуждение границы в топологическом многообразии .
• Граничная точка
• Теорема плотности Лебега , для теоретико-меры характеризации и свойств границы
• Поверхность (топология)

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Мункрес, младший (2000). Топология . Прентис-Холл. ISBN 0-13-181629-2.
• Уиллард, С. (1970). Общая топология . Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-08707-3.
• ван ден Дрис, Л. (1998). Ручная топология . ISBN 978-0521598385.