База (топология)

В математике , в базе или основах для топологии т о наличии топологического пространства ( X , τ) является семейство B из открытых подмножеств из X таким образом, что каждое открытое множество равно объединением некоторого подсемейства из B ^{[1] [ 2] [3] [4] [5]} (это подсемейство может быть бесконечным, конечным или даже пустым ^{[примечание 1]} ). Например, набор всех открытых интервалов в действительной числовой строке ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$является основой для евклидовой топологии на потому , что каждый открытый интервал является открытым множеством, а также каждое открытое подмножество может быть записано в виде объединения некоторого семейства открытых интервалов. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Базы встречаются повсюду в топологии. Наборы в основе топологии, которые называются базовыми открытыми наборами , часто легче описать и использовать, чем произвольные открытые наборы. ^[6] Многие важные топологические определения, такие как непрерывность и сходимость, можно проверить, используя только базовые открытые множества вместо произвольных открытых множеств. Некоторые топологии имеют базу открытых наборов с определенными полезными свойствами, которые могут облегчить проверку таких топологических определений.

Не все семейства подмножеств составляют основу топологии. Например, поскольку X всегда является открытым подмножеством каждой топологии на X , если семейство подмножеств B должно быть базой для топологии на X, то оно должно покрывать X , что по определению означает, что объединение всех множеств в B должен быть равен X . Если X имеет более одной точки , то существует семейство подмножеств X , которые не покрывают X и , следовательно, они не могут служить основой для любой топологии на X . Семейство B подмножеств Xчто делает служить основой для некоторой топологии на X называется базой для в топологии на X , ^{[1] [2] [3]} и в этом случае это обязательно уникальные топологии, называют его т , как говорят, генерируется B и B следовательно , является основой для в топологии т . Такие семейства наборов часто используются для определения топологий. Более слабое понятие, связанное с базами, - это понятие подосновы топологии. Базы топологий тесно связаны с базами соседства .

Определение и основные свойства [ править ]

База - это набор B открытых подмножеств X, удовлетворяющий следующим свойствам:

1. Базовые элементы покрывают X .
2. Пусть B ₁ , B ₂ - базовые элементы, а I - их пересечение. Тогда для каждого х в I , существует базовый элемент B ₃ , содержащий х , таких , что B ₃ является подмножеством I .

Эквивалентное свойство: любое конечное пересечение ^{[примечание 2]} элементы B может быть записано в виде объединения элементов B . Эти два условия являются именно то , что нужно для того , что множество всех объединений подмножеств B топология на X .

Если коллекция B подмножеств X не удовлетворяют эти свойства, то он не является базой для любой топологии на X . (Однако это подбаза , как и любой набор подмножеств X. ) И наоборот, если B удовлетворяет этим свойствам, то существует единственная топология на X, для которой B является базой; она называется топологией генерируется с помощью B . (Эта топология является пересечением всех топологий на X, содержащих B.) Это очень распространенный способ определения топологий. Достаточным, но не необходимым условием для того, чтобы B порождал топологию на X , является замкнутость B относительно пересечений; тогда мы всегда можем взять B ₃ = I выше.

Например, совокупность всех открытых интервалов в реальной линии образует основу для топологии реальной линии, потому что пересечение любых двух открытых интервалов само по себе является открытым интервалом или пустым. Фактически они являются базой для стандартной топологии действительных чисел .

Однако база не уникальна. Множество разных баз, даже разного размера, могут генерировать одну и ту же топологию. Например, открытые интервалы с рациональными конечными точками также являются базой для стандартной реальной топологии, как и открытые интервалы с иррациональными конечными точками, но эти два набора полностью не пересекаются и оба должным образом содержатся в базе всех открытых интервалов. В отличие от основы из в векторном пространстве в линейной алгебре , не является базой необходимости быть максимальным ; действительно, единственная максимальная база - это сама топология. Фактически, любой открытый набор, сгенерированный базой, может быть безопасно добавлен к базе без изменения топологии. Наименьшая возможная мощность основания называется весом. топологического пространства.

Примером набора открытых множеств, не являющегося базой, является множество S всех полубесконечных интервалов форм (−∞, a ) и ( a , ∞), где a - действительное число. Тогда S является не основой для любой топологии на R . Чтобы показать это, предположим, что это было так. Тогда, например, (−∞, 1) и (0, ∞) будут в топологии, порожденной S , будучи объединениями одного базового элемента, и, следовательно, их пересечение (0,1) также будет. Но (0, 1) , очевидно , не может быть записано в виде объединения элементов S . Используя альтернативное определение, второе свойство терпит неудачу, поскольку ни один базовый элемент не может «поместиться» внутри этого пересечения.

При наличии базы для топологии, чтобы доказать сходимость сети или последовательности, достаточно доказать, что она в конечном итоге присутствует в каждом множестве в базе, которое содержит предполагаемый предел.

Примеры [ править ]

Множество Γ всех открытых интервалов в ℝ образует базис для евклидовой топологии на ℝ . Каждая топология τ на множестве X является базисом для себя ( т. Е. Τ является базой для τ ). Из-за этого, если предположения теоремы предполагают, что топология τ имеет некоторый базис Γ , то эту теорему можно применить, используя Γ: = τ .

Непустое семейство подмножеств множества X , замкнутые относительно конечных пересечения двух или более множеств, называются π -система на X , обязательно является база для топологии на X тогда и только тогда , когда она охватывает X . По определению, каждая σ-алгебра , каждый фильтр (и, в частности, каждый фильтр окрестностей ) и каждая топология является покрывающей π -системой и, следовательно, также базой для топологии. Фактически, если Γ - фильтр на X, то {∅} ∪ Γ - топология на X и Γэто основа для этого. База топологии не обязательно должна быть замкнутой относительно конечных пересечений, и многие из них этого не делают. Но, тем не менее, многие топологии определяются базами, которые также замкнуты относительно конечных пересечений. Например, каждый из следующих семейств подмножества ℝ замкнуто относительно конечных пересечений и поэтому каждый образует базис некоторой топологии на ℝ :

• Множество Γ всех ограниченных интервалов в ℝ порождает обычную евклидову топологию на ℝ .
• Множество Σ всех ограниченных замкнутых интервалов в ℝ порождает дискретную топологию на ℝ и так евклидовой топологии является подмножеством этой топологии. И это несмотря на то, что Γ не является подмножеством Σ . Следовательно, топология, порожденная Γ , которая является евклидовой топологией на , более грубая , чем топология, порожденная Σ . Фактически, это строго грубее, потому что Σ содержит непустые компактные множества, которые никогда не открываются в евклидовой топологии.
• Множество Γ _ℚ всех интервалов в Γ таких, что оба конца интервала являются рациональными числами, порождает ту же топологию, что и Γ . Это остается верным, если каждый экземпляр символа Γ заменить на Σ .
• Σ _∞ = {[ r , ∞): r ∈ ℝ} порождает строго более грубую топологию, чем топология, порожденная Σ . Ни один элемент из Σ _{∞ не} является открытым в евклидовой топологии на ℝ .
• Γ _∞ = {( r , ∞): r ∈ ℝ} порождает топологию, которая строго грубее, чем евклидова топология и топология, порожденная Σ _∞ . Множества Σ _∞ и Γ _∞ не пересекаются, но тем не менее Γ _∞ является подмножеством топологии, порожденной Σ _∞ .

Объекты, определенные в терминах баз [ править ]

• Топология заказа обычно определяется как топологией , порожденной коллекцией открытого интервала-подобных наборов.
• Метрическая топология обычно определяются как топология , порожденной коллекцией открытых шаров .
• Второе счетное пространство является тот , который имеет счетную базу.
• Дискретная топология имеет синглтоны в качестве основы.
• Проконечная топология на группе определяется, принимая совокупность всех нормальных подгрупп конечного индекса в качестве основы открытых окрестностей единицы.

Топологии Зариские на спектре кольца имеет основание , состоящее из открытых множеств , которые имеют специфические полезные свойства. Для обычной основы этой топологии каждое конечное пересечение базисных элементов является базисным элементом. Поэтому иногда требуется, чтобы базис был устойчивым благодаря конечному пересечению. ^{[ необходима цитата ]}

• Зариская топология из топология , которая имеет алгебраические множества как замкнутые множества. Он имеет базис, образованный множеством дополнений к алгебраическим гиперповерхностям .${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$
• Топология Зарисского спектра кольца (множества первичных идеалов ) имеет такой базис, что каждый элемент состоит из всех первичных идеалов, не содержащих данный элемент кольца.

Теоремы [ править ]

• Для каждой точки х в открытом множестве U , существует базовый элемент , содержащий х и содержится в U .
• Топология Т ₂ является более тонкой , чем топологии T ₁ тогда и только тогда , когда для каждого х и каждого базового элемента B в T ₁ , содержащего х , существует базовый элемент Т ₂ , содержащего х и содержится в B .
• Если B ₁ , B ₂ , ..., B _n являются базами топологий T ₁ , T ₂ , ..., T _n , то произведение множества B ₁ × B ₂ × ... × B _n является базой для топологии произведения T ₁ × T ₂ × ... × T _n . В случае бесконечного продукта это все еще применяется, за исключением того, что все, кроме конечного числа базовых элементов, должны составлять все пространство.
• Пусть B является базой для X и пусть Y является подпространством в X . Тогда , если мы пересекались каждый элемент B с Y , в результате совокупности множеств является базой для подпространства Y .
• Если функция f  : X → Y отображает каждый базовый элемент X в открытый набор Y , это открытое отображение . Аналогичным образом , если каждый прообраз базового элемента Y открыто в X , то F является непрерывным .
• Набор подмножеств X является топологией на X тогда и только тогда, когда он сам порождает.
• Б является основой для топологического пространства X тогда и только тогда , когда поднабор элементов B , которые содержат х образуют локальную базу по х для любой точки х из X .

База для закрытых сетов [ править ]

Замкнутые множества одинаково хорошо описывают топологию пространства. Следовательно, существует двойственное понятие базы для замкнутых множеств топологического пространства. Для данного топологического пространства X семейство замкнутых множеств F образует базу для замкнутых множеств тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого множества A и каждой точки x не в A существует элемент из F, содержащий A, но не содержащий x .

Легко проверить , что F является базой для замкнутых множеств X тогда и только тогда , когда семейство дополнений членов F является базой открытых множеств X .

Пусть F является базой для замкнутых множеств X . Затем

1. ∩ F = ∅
2. Для каждых F ₁ и F ₂ в F объединение F ₁ ∪ F ₂ является пересечением некоторого подсемейства F (т.е. для любого x, не входящего в F ₁ или F _2, существует F ₃ в F, содержащее F ₁ ∪ F ₂ и не содержащий x ).

Любой набор подмножеств множества X , удовлетворяющее эти свойства образует основу для замкнутых множеств топологии на X . Замкнутые множества этой топологии в точности пересечение членов F .

В некоторых случаях для закрытых множеств удобнее использовать базу, чем для открытых. Например, пространство является полностью регулярным тогда и только тогда, когда нулевые множества образуют основу для замкнутых множеств. Учитывая топологическое пространство X , нулевые множества образуют базу для замкнутых множеств некоторой топологии на X . Эта топология будет лучшей полностью регулярной топологией на X, более грубой, чем исходная. Аналогичным образом топология Зарисского на A ⁿ определяется путем взятия нулевых множеств полиномиальных функций в качестве основы для замкнутых множеств.

Вес и характер [ править ]

Мы будем работать с понятиями, установленными в ( Энгелькинг 1977 , с. 12, с. 127-128).

Зафиксируем X топологическим пространством. Здесь, сеть представляет собой семейство множеств, для которых, для всех точек х и открытых окрестностей U , содержащих х , существует B в течение которого х ∈ B ⊆ U . Обратите внимание, что, в отличие от базиса, наборы в сети не обязательно должны быть открытыми.${\ Displaystyle {\ mathcal {N}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {N}}}$

Определим вес , ш ( X ), в качестве минимальной мощности базиса; мы определяем вес сети , nw ( X ), как минимальную мощность сети; характер точки , в качестве минимальной мощности окрестностей основы для й в X ; и характер из X будет${\ Displaystyle \ чи (х, х)}$

${\ Displaystyle \ чи (X) \ треугольникq \ sup \ {\ чи (х, X): х \ в X \}.}$

Смысл вычисления символа и веса состоит в том, чтобы определить, какие базы и локальные базы могут существовать. У нас есть следующие факты:

• nw ( X ) ≤ w ( X ).
• если X дискретно, то w ( X ) = nw ( X ) = | X |,
• если X хаусдорфово, то nw ( X ) конечно тогда и только тогда, когда X конечно дискретно.
• если B - основа X, то есть основа размера .${\ displaystyle B '\ substeq B}$${\ Displaystyle | В '| \ Leq ш (X)}$
• если N - базис соседства для x в X, то существует базис соседства размера .${\ Displaystyle N '\ substeq N}$${\ Displaystyle | N '| \ Leq \ чи (х, X)}$
• если f  : X → Y - непрерывная сюръекция, то nw ( Y ) ≤ w ( X ). (Просто рассмотрим Y -network для каждого базиса B из X ) .${\ Displaystyle f '' 'B \ треугольник \ {f''U: U \ in B \}}$
• если хаусдорфова, то существует более слабая хаусдорфова топология, так что . Итак, a fortiori , если X также компактно, то такие топологии совпадают и, следовательно, вместе с первым фактом имеем nw ( X ) = w ( X ).${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\tau ')}$${\displaystyle w(X,\tau ')\leq nw(X,\tau )}$
• если f  : X → Y - непрерывное сюръективное отображение компактного метризуемого пространства в хаусдорфово пространство, то Y компактно метризуемо.

Последний факт следует из того, что f ( X ) компактна по Хаусдорфу, а значит (так как компактные метризуемые пространства обязательно являются вторыми счетными); а также тот факт, что компактные хаусдорфовы пространства метризуемы именно в том случае, если они счетны вторыми. (Применение этого, например, состоит в том, что каждый путь в хаусдорфовом пространстве компактно метризуем.)${\displaystyle nw(f(X))=w(f(X))\leq w(X)\leq \aleph _{0}}$

Увеличение цепочек открытых сетов [ править ]

Используя введенные выше обозначения, предположим, что w ( X ) ≤ κ некоторый бесконечный кардинал. Тогда не существует строго возрастающей последовательности открытых множеств (эквивалентно строго убывающей последовательности замкнутых множеств) длины ≥ κ ⁺ .

Чтобы убедиться в этом (без аксиомы выбора), зафиксируйте

${\displaystyle \left\{U_{\xi }\right\}_{\xi \in \kappa },}$

как основа открытых наборов. И предположим per contra , что

${\displaystyle \left\{V_{\xi }\right\}_{\xi \in \kappa ^{+}}}$

были строго возрастающей последовательностью открытых множеств. Это означает

${\displaystyle \forall \alpha <\kappa ^{+}:\qquad V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }\neq \varnothing .}$

Для

${\displaystyle x\in V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi },}$

мы можем использовать базис, чтобы найти некоторый U _γ с x в U _γ ⊆ V _α . Таким образом, мы можем определить отображение f  : κ ⁺ → κ, отображающее каждое α в наименьшее γ, для которого U _γ ⊆ V _α и удовлетворяет

${\displaystyle V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }.}$

Это отображение инъективно, иначе было бы α < β с f ( α ) = f ( β ) = γ , что в дальнейшем влечет U _γ ⊆ V _α, но также удовлетворяет

${\displaystyle V_{\beta }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }\subseteq V_{\beta }\setminus V_{\alpha },}$

противоречие. Но это доказывает, что κ ⁺ ≤ κ ; противоречие.

См. Также [ править ]

• Теорема Есенина-Вольпина
• Аксиома склеивания
• Система соседства
• Подбаза

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]