Подбаза

В топологии , A предбазой (или подбазисом ) для топологического пространства $X$ с топологией $T$ является поднабором $B$ из $T$ , который генерирует $T$ , в том смысле , что $Т$ является наименьшей топологии , содержащей $B$ . Некоторые авторы используют несколько иное определение, и есть другие полезные эквивалентные формулировки определения; они обсуждаются ниже.

Определение [ править ]

Пусть $X$ топологическое пространство с топологией $Т$ . Подбаза $T$ обычно определяется как подгруппа $B$ из $T,$ удовлетворяющая одному из двух следующих эквивалентных условий:

Поднабором $B$ создает топологию $T$ . Это означает , что $Т$ является наименьшей топологией , содержащая $В$ : любая топология $Т»$ на $X$ , содержащей $B$ должен также содержать $T$ .
Набор открытых множеств , состоящие из всех конечных пересечений элементов $B$ , вместе с множеством $X$ , образует основу для $Т$ . Это означает , что каждое собственное открытое множество в $T$ может быть записано в виде объединения конечных пересечений элементов $B$ . Явно, если задана точка $x$ в открытом множестве $U \subseteq X$ , существует конечное число множеств $S 1, ..., S n$ множества $B$ , такое что пересечение этих множеств содержит $x$ и содержится в $U$ .

(Если мы используем соглашение о нулевом пересечении , тогда нет необходимости включать $X$ во второе определение.)

Для любого поднабора $S$ из множества мощности $P (X)$ , существует единственная топология , имеющая $S$ в качестве подстилающего слоя. В частности, пересечение всех топологий на $X,$ содержащих $S,$ удовлетворяет этому условию. Однако в общем случае для данной топологии не существует уникальной подосновы.

Таким образом, мы можем начать с фиксированной топологии и найти подбазы для этой топологии, а также мы можем начать с произвольной подгруппы набора мощности $P (X)$ и сформировать топологию, порожденную этой подгруппой. Мы можем свободно использовать любое эквивалентное определение, приведенное выше; действительно, во многих случаях одно из двух условий более полезно, чем другое.

Альтернативное определение [ править ]

Иногда, несколько иное определение подоснове дается , который требует, чтобы подоснова $ℬ$ крышки $X$ . ^[1] В этом случае $X$ - это объединение всех множеств, содержащихся в $ℬ$ . Это означает, что не может быть путаницы в отношении использования нулевых пересечений в определении.

Однако это определение не всегда эквивалентно двум приведенным выше определениям. Другими словами, существуют топологические пространства $(Х, Т)$ с подмножеством $ℬ \subseteq т$ , таким образом, что $τ$ является наименьшей топологии , содержащей $ℬ$ , но $ℬ$ не покрывает $X$ (такой пример приведен ниже). На практике это редкость; например, подоснование пространства, которое имеет по крайней мере две точки и удовлетворяет аксиоме разделения T _1, должно быть покрытием этого пространства.

Примеры [ править ]

Топология, порожденная любым подмножеством $𝒮 \subseteq {\emptyset, X}$ (в том числе пустым множеством $𝒮: = \emptyset$ ), равна тривиальной топологии ${\emptyset, X$ }.

Если $τ$ топология на $X$ и $ℬ$ является основой для $т$ , то топология , порожденная $ℬ$ является $τ$ . Таким образом, любой базис $ℬ$ топологии $τ$ также является подбазой $τ$ . Если $𝒮$ любое подмножество $т$ , то топология , порожденная $𝒮$ будет подмножество $т$ .

Обычная топология вещественных чисел имеет подбазу, состоящую из всех полубесконечных открытых интервалов либо вида $(-\infty,$ $a$ $),$ либо $($ $b$ $, \infty)$ , где $a$ и $b$ - действительные числа. Вместе они порождают обычную топологию, поскольку пересечения $($ $a$ $,$ $b$ $) = (-\infty,$ $b$ $) \cap ($ $a$ $, \infty)$ для $a$ $<$ $b$ порождают обычную топологию. Вторая предбаза формируется путем принятия подсемейства , где и $б$ являются рациональными ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ . Вторая подбаза также генерирует обычную топологию, поскольку открытые интервалы $(a, b)$ с рациональными $a$ , $b$ являются базой для обычной евклидовой топологии.

Подбаза, состоящая только из всех полубесконечных открытых интервалов вида $(-\infty, a)$ , где $a$ - действительное число, не порождает обычную топологию. Полученная топология не удовлетворяет аксиоме отделимости T ₁ , поскольку все открытые множества имеют непустое пересечение.

Исходная топология на $X$ определяется семейством функций $F I : X \to Y я$ , где каждый $Y я$ имеет топологию, является грубой топологией на $X$ таким образом, что каждая $F I$ является непрерывным . Поскольку непрерывность может быть определена в терминах прообразов открытых множеств, это означает, что начальная топология на $X$ задается путем взятия всех $f i -1 (U)$ , где $U$ пробегает все открытые подмножества $Y i$ , в качестве подосновы .

Двумя важными частными случаями исходной топологии являются топология продукта , где семейство функций представляет собой набор проекций продукта на каждый фактор, и топология подпространства , где семейство состоит только из одной функции, карты включения .

Компактно-открытая топология на пространстве непрерывных функций из $X$ в $Y$ имеет для предбазы набор функций

{\ Displaystyle V (К, U) = \ {е \ двоеточие X \ к Y \ середине f (K) \ substeq U \}}

где $K \subseteq X$ является компактным и $U$ представляет собой открытое подмножество $Y$ .

Предположим, что $(X, τ)$ - топологическое пространство Хаусдорфа с $X,$ содержащим два или более элементов (например, с евклидовой топологией ). Пусть $Y$ $\in τ$ - любое непустое открытое подмножество $($ $X$ $, τ)$ (например, $Y$ может быть непустым ограниченным открытым интервалом в ), и пусть $ν$ обозначает топологию подпространства на $Y,$ которую $Y$ наследует от $($ $X$ $, τ)$ ( так что $ν \subseteq τ$ ). Тогда топология, порожденная $ν$ ${\ Displaystyle X = \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ на $X$ равно объединению ${X} \cup ν$ (см. эту сноску для объяснения), ^{[примечание 1]} где ${X} \cup ν \subseteq τ$ (поскольку $(X, τ)$ хаусдорфово, равенство будет выполняться тогда и только тогда, когда $Y = X$ ). Заметим , что если $Y$ представляет собой собственное подмножество из $X$ , то ${X} \cup ν$ является наименьшей топологией на $X$ , содержащий $N$ , пока $N$ , не покрывает $X$ (то есть объединение $\cup V \in ν V = Y$ - собственное подмножество $X$ ).

Результаты с использованием подбаз [ править ]

Один приятный факт о суббазах заключается в том, что непрерывность функции нужно проверять только на суббазах диапазона. То есть, если $f : X \to Y$ - отображение между топологическими пространствами и если $ℬ$ - $подбаза$ для $Y$ , то $f : X \to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда $f -1 (B)$ открыто в $X$ для любого $B \in ℬ$ . Нетто (или последовательность) $х • = (х я) я \in Я$ сходится к точке $х$ тогда и только тогда , когда каждый суб базисная окрестность $х$ содержит все $х я$ при достаточно больших $I \in I$ .

Теорема Александра о суббазе [ править ]

Теорема Александра о подбазах - важный результат, касающийся подбаз, который принадлежит Джеймсу Уодделлу Александру II . ^[2] Соответствующий результат для базовых (а не суббазовых) открытых накрытий гораздо проще доказать.

Александер Теорема о суббазе : ^[2] Пусть

(X, τ)

- топологическое пространство. Если

Х

имеет предбазу

𝒮

таким образом, что каждая крышка

X

элементов из

𝒮

имеет конечное подпокрытие, то

X

является компактным .

Верно и обратное к этой теореме, которое доказывается с использованием $𝒮 = τ$ (поскольку каждая топология является подбазой для себя).

Если

X

компактно и

𝒮

является подбазисом для

X

, каждая крышка

X

элементами из

𝒮

имеет конечное подпокрытие.

Доказательство

Пусть для противоречия , что пространство $X$ не является компактным (так $X$ бесконечное множество), но каждый subbasic покрытие из $𝒮$ имеет конечное подпокрытие. Пусть обозначит множество всех открытых покрытий $X$ , которые не имеют какое - либо конечное подпокрытия $X$ . Частично упорядочить по включению подмножества и использовать лемму Цорна, чтобы найти элемент $𝒞 \in,$ который является максимальным элементом . Обратите внимание: ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$

Так как ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ , по определению , $𝒞$ представляет собой открытое покрытие $X$ и не существует какой - либо конечное подмножество $𝒞$ , что охватывает $Х$ (так , в частности, $𝒞$ бесконечна). ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$
Из максимальности $𝒞$ in следует, что если $V$ - открытое множество в $X$ такое, что $V$ $\notin 𝒞,$ то $𝒞 \cup {$ $V$ $}$ имеет конечное подпокрытие, которое обязательно должно иметь вид ${$ $V$ $} \cup 𝒞$ $V$ для некоторого конечного подмножества $𝒞$ $V$ из $𝒞$ (это конечное подмножество зависит от выбора $V$ ). ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$

Начнем с того, показывая , что $𝒞 \cap 𝒮$ это не кавер - $X$ . Предположим, что $𝒞 \cap 𝒮$ было покрытием $X$ , из чего, в частности, следует, что $𝒞 \cap 𝒮$ является покрытием $X$ элементами из $𝒮$ . Гипотеза теоремы о $𝒮$ следует , что существует конечное подмножество $𝒞 П 𝒮$ , что охватывает $Х$ , который бы одновременно и конечное подпокрытие из $X$ элементами $𝒞$ (с $𝒞 П 𝒮 \subseteq 𝒞$ ). Но это противоречит ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ , что доказывает, что $𝒞 \cap 𝒮$ не покрывает $X$ .

Поскольку $𝒞 \cap 𝒮$ не покрывает $X$ , существует некоторый $x \in X,$ который не покрывается $𝒞 \cap 𝒮$ (то есть $x$ не содержится ни в одном элементе $𝒞 \cap 𝒮$ ). Но так как $𝒞$ делает крышку $X$ , также существует некоторая $U \in 𝒞$ такое , что $х \in U$ . Так как $𝒮$ является порождающим подбазисом $X$ топологии «с, из определения топологии , порожденной $𝒮$ , должен существовать конечный набор subbasic открытых множеств $S 1, ..., S n \in 𝒮$ такой, что

х \in S 1 \cap \cdot\cdot\cdot \cap S п \subseteq U

.

Теперь покажем от противного, что $S i \notin 𝒞$ для любого $i = 1, ..., n$ . Если бы $i$ был таким, что $S i \in 𝒞$ , то также $S i \in 𝒞 \cap 𝒮,$ так что из того факта, что $x \in S i$ , тогда следовало бы, что $x$ покрывается $𝒞 \cap 𝒮$ , что противоречит тому, как был выбран $x$ (напомним, что $x$ был выбран специально, чтобы это не было покрыто $𝒞 \cap 𝒮$ ).

Как упоминалось ранее, максимальность $𝒞$ в означает , что для каждого $я$ $= 1, ...,$ $п$ , существует конечное подмножество $𝒞$ $S$ $я$ из $𝒞$ таким образом, что ${$ $S$ $я$ $} \cup 𝒞$ $S$ $я$ образует конечное покрытие $X$ . Определять ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$

𝒞 F : = 𝒞 S 1 \cup \cdot\cdot\cdot \cup 𝒞 S n

.

которое является конечным подмножеством $𝒞$ . Заметим , что для каждого $я = 1, ..., п$ , ${S я} \cup 𝒞 F$ является конечное покрытие $X$ , так заменим каждый $𝒞 S I$ с $𝒞 F$ .

Пусть $\cup 𝒞 F$ обозначим объединение всех множеств в $𝒞 F$ (что открытое подмножество $X$ ) и пусть $Z$ обозначают дополнения $\cup 𝒞 F$ в $X$ . Заметим , что для любого подмножества $\subseteq$ $X$ , ${$ $} \cup 𝒞$ $F$ охватывает $X$ тогда и только тогда , когда $Z$ $\subseteq$ $A$ . В частности, для любого $i$ $= 1, ...,$ $n$ из того факта, что ${$ $S$ $i$ $} \cup 𝒞$ $F$ покрывает $X,$ следует, что $Z \subseteq S я$ . Поскольку $i$ произвольно, имеем $Z \subseteq S 1 \cap \cdot\cdot\cdot \cdot S n$ . Ссылаясьчто $S 1 \cap \cdot\cdot\cdot \cap S п \subseteq U$ , мытаким образоместь $Z \subseteq U$ , которое эквивалентно ${U} \cup 𝒞 F$ является крышка $X$ . Более того, ${U} \cup 𝒞 F$ является конечным покрытием $X$ с ${U} \cup F \subseteq$ . Таким образом $𝒞$ имеет конечное подпокрытие в $X$ , что противоречит тому, что ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ . Следовательно, исходное предположение, что $X$ не компактно, должно быть неверным, что доказывает, что $X$ компактно. ∎

Хотя это доказательство использует лемму Цорна , доказательство не требует полной силы выбора. Вместо этого он основан на принципе промежуточного ультрафильтра . ^[2]

Используя эту теорему с подбазой для выше, можно дать очень простое доказательство того, что ограниченные отрезки в компактны. В более общем смысле теорема Тихонова , которая утверждает, что произведение непустых компактных пространств компактно, имеет краткое доказательство, если используется теорема Александера о суббазе. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Доказательство

Топология произведения на $\prod i X i$ по определению имеет подбазу, состоящую из множеств цилиндров, которые являются обратными проекциями открытого множества в один фактор. Учитывая суббазовое семейство $C$ продукта, которое не имеет конечного подпокрытия, мы можем разбить $C = \cup i C i$ на подсемейства, которые состоят именно из тех цилиндрических множеств, соответствующих данному фактор-пространству. По условию, если $C я \neq \emptyset$ , то $C я$ вовсе не имеет конечное подпокрытие. Будучи множествами цилиндров, это означает, что их проекции на $X i$ не имеет конечного подпокрытия, и поскольку каждое $X i$ компактно, мы можем найти точку $x i \in X i,$ которая не покрывается проекциями $C i$ на $X i$ . Но тогда $(х я) я \in П я X я$ не покрывается $C$ . ∎

Обратите внимание, что на последнем шаге мы неявно использовали аксиому выбора (которая фактически эквивалентна лемме Цорна ), чтобы гарантировать существование $(x i) i$ .

См. Также [ править ]

База (топология)

Заметки [ править ]

^ Так $как ν$ является топологией на $Y$ и $Y$ представляет собой открытое подмножество $(X, т)$ , то легко проверитьчто ${X} \cup ν$ является топология на $X$ . Поскольку $ν$ не является топологией на $X$ ,очевидно, что ${X} \cup ν$ наименьшая топология на $X,$ содержащая $ν$ ).

Ссылки [ править ]

^ Меррифилд, Ричард Э .; Симмонс, Ховард Э. (1989). Топологические методы в химии . Джон Вили и сыновья. п. 17 . ISBN 0-471-83817-9. Проверено 13 июня 2013 года . Коллекция $S$ подмножеств , что удовлетворяет критерию (я) называется предбаза для топологии на $X$ .
^ a b c Мугер, Майкл (2020). Топология для рабочего математика .

Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Верхний Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 .
Бурбаки, Николас (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 .
Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 .
Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Дуврские книги по математике (Первое изд.). Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .

[2] Так $как ν$ является топологией на $Y$ и $Y$ представляет собой открытое подмножество $(X, т)$ , то легко проверитьчто ${X} \cup ν$ является топология на $X$ . Поскольку $ν$ не является топологией на $X$ ,очевидно, что ${X} \cup ν$ наименьшая топология на $X,$ содержащая $ν$ ).

[1] Меррифилд, Ричард Э .; Симмонс, Ховард Э. (1989). Топологические методы в химии . Джон Вили и сыновья. п. 17 . ISBN 0-471-83817-9. Проверено 13 июня 2013 года . Коллекция $S$ подмножеств , что удовлетворяет критерию (я) называется предбаза для топологии на $X$ .

[Muger2020-3] Мугер, Майкл (2020). Топология для рабочего математика .

[1]