Топология продукта

В топологии и смежных областях математики , продукт пространство является декартово произведение семейства топологических пространств , оборудованных естественной топологией называется топологией произведения . Эта топология отличается от другой, возможно, более очевидной топологии, называемой топологией коробки , которая также может быть задана пространству продукта и которая согласуется с топологией продукта, когда продукт охватывает только конечное число пространств. Однако топология продукта «правильная» в том смысле, что она делает пространство продукта категориальным продуктом его факторов, тогда как блочная топология слишком хороша.; в этом смысле топология произведения - это естественная топология декартова произведения.

Определение [ править ]

На всем протяжении будет некоторое непустое множество индексов, и для каждого индекса будет топологическое пространство . Позволять ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle i \ in I,}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$

${\ Displaystyle X: = \ prod _ {я \ in I} X_ {я}}$

быть декартово произведение множеств и обозначают канонические проекции от The топологии произведения , иногда называется топологией Тихоновское , на это определяется как грубая топология (т.е. топология с наименьшим количеством открытых множеств) , для которого все проекции являются непрерывными . Декартово произведение, наделенное топологией произведения, называется пространством произведения . Топологию произведения также называют топологией поточечной сходимости из-за следующего факта: последовательность (или сеть ) в${\ displaystyle X_ {i},}$${\ displaystyle p_ {i}: X \ to X_ {i}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i}}$${\displaystyle X}$сходится тогда и только тогда, когда сходятся все его проекции на пространства . В частности, если рассматривать пространство всех реального нормированных функций по сходимости в топологии произведения является такой же , как точечно сходимости функций. ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{I}}$${\displaystyle I,}$

Открытые множества в топологии произведения являются объединениями (конечными или бесконечными) множеств формы, в которых каждое открыто в конечном числе и только для конечного числа. В частности, для конечного произведения (в частности, для произведения двух топологических пространств) множество всех декартовых произведений между одним базисным элементом из каждого дает основу для топологии продукта. То есть для конечного продукта множество всех, где является элементом (выбранного) базиса, является базой для топологии продукта${\displaystyle \prod _{i\in I}U_{i},}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle U_{i}\neq X_{i}}$${\displaystyle i.}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$${\displaystyle \prod _{i\in I}U_{i},}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle X_{i},}$${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$

Топология продукта на - это топология, генерируемая наборами вида, где и является открытым подмножеством. Другими словами, наборы ${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right),}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle X_{i}.}$

${\displaystyle \left\{p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)~:~i\in I{\text{ and }}U_{i}\subseteq X_{i}{\text{ is open in }}X_{i}\right\}}$

образует псевдобазу для топологии на А подмножестве из открыто тогда и только тогда , когда это (возможно бесконечное) объединения из пересечений конечного числа множеств вида иногда называют открытыми цилиндрами , и их пересечениями являются множеством цилиндров .${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right).}$${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)}$

Продукт топологий каждого образует основу для того, что называется топологией окна на В целом, топология коробки тоньше , чем топология продукта, но и для конечных продуктов они совпадают.${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X.}$

Примеры [ править ]

Если вещественная прямая наделена своей стандартной топологией, то топология произведения на произведении копий равной обычной евклидовой топологии на${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Множество Кантора является гомеоморфно произведением счетного числа экземпляров дискретного пространства и пространства иррациональных чисел гомеоморфно произведения счетного числа копий натуральных чисел , где снова каждый экземпляр несет дискретную топологию.${\displaystyle \{0,1\}}$

Несколько дополнительных примеров приведены в статье о начальной топологии .

Свойства [ править ]

Пространство произведения вместе с каноническими проекциями можно охарактеризовать следующим универсальным свойством : если является топологическим пространством и для каждого является непрерывным отображением, то существует ровно одно непрерывное отображение такое, что для каждой из следующих диаграмм коммутирует :${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to X_{i}}$${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle i\in I}$

Это показывает , что пространство продукта представляет собой продукт в категории топологических пространств . Из вышеприведенного универсального свойства следует, что отображение непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно для всех. Во многих случаях легче проверить непрерывность компонентных функций . Проверить, является ли карта непрерывной, обычно труднее; кто-то пытается использовать тот факт, что они в некотором роде непрерывны.${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle f_{i}=p_{i}\circ f}$${\displaystyle i\in I.}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle p_{i}}$

Канонические проекции не только непрерывны, но и являются открытыми картами . Это означает, что любое открытое подмножество пространства продукта остается открытым при проецировании вниз на обратное. Обратное неверно: если это подпространство пространства продукта, проекции которого вниз на все открыты, то не обязательно открывать в (рассмотрим, например, ) Канонические проекции обычно не являются замкнутыми отображениями (рассмотрим, например, замкнутое множество , проекции которого на обе оси равны ).${\displaystyle p_{i}:X\to X_{i}}$${\displaystyle X_{i}.}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W=\mathbb {R} ^{2}\setminus (0,1)^{2}.}$${\displaystyle \left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:xy=1\right\},}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$

Предположим , что это произведение произвольных подмножеств, где для каждого Если все будут непустых то есть замкнутое подмножество пространства продукта тогда и только тогда , когда каждый замкнутое подмножество В целом, закрытие продукта произвольных подмножеств в продукте пространство равно произведению замыканий: ^[1]${\displaystyle \prod _{i\in I}S_{i}}$${\displaystyle S_{i}\subseteq X_{i}}$${\displaystyle i\in I.}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle \prod _{i\in I}S_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle X_{i}.}$${\displaystyle \prod _{i\in I}S_{i}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}\left(\prod _{i\in I}S_{i}\right)=\prod _{i\in I}\left(\operatorname {Cl} _{X_{i}}S_{i}\right).}$

Любое произведение пространств Хаусдорфа снова является пространством Хаусдорфа.

Теорема Тихонова , которая эквивалентна выбранной аксиоме , утверждает, что любое произведение компактных пространств является компактным пространством. Специализация теоремы Тихонова, которая требует только леммы об ультрафильтре (а не всей силы выбранной аксиомы), утверждает, что любое произведение компактных хаусдорфовых пространств является компактным пространством.

Если фиксировано, то множество${\displaystyle z=\left(z_{i}\right)_{i\in I}\in X}$

${\displaystyle \left\{x=\left(x_{i}\right)_{i\in I}\in X\colon x_{i}=z_{i}{\text{ for all except at most finitely many }}i\right\}}$

является плотным подмножеством пространства произведения . ^[1]${\displaystyle X}$

Отношение к другим топологическим понятиям [ править ]

Разделение

• Каждое произведение T 0 пространств есть T ₀
• Каждое произведение T 1 пространств равно T ₁
• Каждое произведение хаусдорфовых пространств хаусдорфово ^[2]
• Каждое произведение регулярных пространств регулярно
• Каждое произведение тихоновских пространств тихоново
• Продукт нормальных пространств не обязательно должен быть нормальным

Компактность

• Каждое произведение компактных пространств компактно ( теорема Тихонова )
• Произведение локально компактных пространств не обязательно должно быть локально компактным. Тем не менее, любое произведение локально компактных пространств , где все , кроме конечного числа компактное является локально компактным (Это условие является необходимым и достаточным).

Связность

• Каждое произведение связных (соответственно линейно связных) пространств связно (соответственно линейно связно)
• Каждое произведение наследственно несвязных пространств наследственно отключено.

Метрические пространства

• Счетные произведения метрических пространств - метризуемое пространство

Аксиома выбора [ править ]

Один из многих способов выразить аксиому выбора - сказать, что она эквивалентна утверждению, что декартово произведение набора непустых множеств непусто. ^[3] Доказательство того, что это эквивалентно утверждению аксиомы в терминах функций выбора, является немедленным: нужно только выбрать элемент из каждого набора, чтобы найти представителя в продукте. И наоборот, представителем продукта является набор, который содержит ровно один элемент из каждого компонента.

Аксиома выбора снова встречается при изучении (топологических) пространств произведения; например, теорема Тихонова о компактах является более сложным и тонким примером утверждения, которое эквивалентно выбранной аксиоме ^[4] и показывает, почему топологию произведения можно считать более полезной топологией для декартова произведения.

См. Также [ править ]

• Несвязное объединение (топология)
• Конечная топология  - лучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными
• Начальная топология  - грубейшая топология, делающая определенные функции непрерывными - иногда называемая топологией проективного предела
• Обратный предел
• Поточечная сходимость  - понятие сходимости в математике
• Факторное пространство (топология)
• Подпространство (топология)
• Слабая топология  - топология, в которой сходимость точек определяется сходимостью их образа при непрерывных линейных функционалах.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бурбаки, Николас (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0486434796. Проверено 13 февраля 2013 года .