Сравнение топологий

В топологии и смежных областях математики набор всех возможных топологий на данном наборе образует частично упорядоченный набор . Это отношение порядка можно использовать для сравнения топологий .

Определение [ править ]

Топология набора может быть определена как совокупность подмножеств, которые считаются «открытыми». Альтернативное определение состоит в том, что это набор подмножеств, которые считаются «закрытыми». Эти два способа определения топологии по существу эквивалентны, потому что дополнение к открытому множеству замкнуто, и наоборот. В дальнейшем не имеет значения, какое определение используется.

Пусть τ ₁ и τ ₂ две топология на множестве X такого , что τ ₁ является содержащимся в т ₂ :

${\ Displaystyle \ тау _ {1} \ substeq \ тау _ {2}}$.

То есть каждый элемент τ ₁ также является элементом τ ₂ . Тогда топология τ ₁ называется более грубой ( более слабой или меньшей ) топологией, чем τ ₂ , а топология τ ₂ называется более тонкой ( более сильной или большей ) топологией, чем τ ₁ .^{[nb 1]}

Если дополнительно

${\ Displaystyle \ тау _ {1} \ neq \ тау _ {2}}$

мы говорим , τ ₁ является строго грубее , чем т ₂ и τ ₂ является строго тоньше , чем т ₁ . ^[1]

Бинарное отношение ⊆ определяет частичное отношение порядка на множестве всех возможных топологий на X .

Примеры [ править ]

Наилучшая топология на X - это дискретная топология ; эта топология делает все подмножества открытыми. Самая грубая топология на X - это тривиальная топология ; эта топология допускает только пустое множество и все пространство как открытые множества.

В функциональных пространствах и пространствах мер часто существует ряд возможных топологий. См. Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве для некоторых сложных отношений.

Все возможные полярные топологии на дуальной паре тоньше слабой и грубее сильной .

Свойства [ править ]

Пусть τ ₁ и Т ₂ две топологии на множестве X . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• τ ₁ ⊆ τ ₂
• тождественное отображение идентификатор _X  : ( X , τ ₂ ) → ( X , τ ₁ ) представляет собой непрерывное отображение .
• тождественное отображение id _X  : ( X , τ ₁ ) → ( X , τ ₂ ) является открытым отображением

Два непосредственных следствия этого утверждения:

• Непрерывное отображение f  : X → Y остается непрерывным, если топология на Y становится грубее или топология на X становится тоньше .
• Открытое (соответственно замкнутое) отображение f  : X → Y остается открытым (соответственно замкнутым), если топология на Y становится более тонкой или топология на X грубее .

Также можно сравнивать топологии с помощью баз соседства . Пусть τ ₁ и τ ₂ - две топологии на множестве X, и пусть B _i ( x ) - локальная база топологии τ _i в точке x ∈ X для i = 1,2. Тогда τ ₁ ⊆ τ ₂ тогда и только тогда, когда для всех x ∈ X каждое открытое множество U ₁ в B ₁ ( x ) содержит некоторое открытое множество U ₂ в B ₂ ( x). Интуитивно это имеет смысл: более тонкая топология должна иметь меньшие окрестности.

Решетка топологий [ править ]

Множество всех топологий на множестве X вместе с отношением частичного порядка ⊆ образует полную решетку, которая также замкнута относительно произвольных пересечений. То есть, любой набор топологий на X имеет встречу (или инфимум ) и присоединиться (или супремум ). Встреча набора топологий - это пересечение этих топологий. Однако соединение обычно не является объединением этих топологий (объединение двух топологий не обязательно должно быть топологией), а скорее топологией, порожденной объединением.

Каждая полная решетка также является ограниченной решеткой , т. Е. Имеет наибольший и наименьший элементы . В случае топологий наибольшим элементом является дискретная топология, а наименьшим элементом является тривиальная топология .

Заметки [ править ]

См. Также [ править ]

• Начальная топология , самая грубая топология на множестве, чтобы сделать семейство отображений из этого множества непрерывным.
• Окончательная топология , лучшая топология на множестве, позволяющая сделать семейство отображений в этом множестве непрерывным.

Ссылки [ править ]