Полярная топология

В функциональном анализе и смежных областях математики полярная топология , топология 𝒢 -сходимости или топологии равномерной сходимости на множествах 𝒢 является методом определения локально выпуклых топологий на векторных пространствах одного спаривания .

Предварительные мероприятия [ править ]

Спаривание является тройной , состоящий из двух векторных пространств над полем 𝔽 (либо реального или комплексных чисел ) и билинейное отображение б  : X × Y → 𝔽 . Двойная пара или двойная система является спаривание , удовлетворяющих следующим двум аксиомам разделения:${\ displaystyle (X, Y, b)}$ ${\ displaystyle (X, Y, b)}$

1. Y разделяет / различает точки X : для всех ненулевых x ∈ X существует y ∈ Y такой, что b ( x , y ) ≠ 0 , и
2. X разделяет / различает точки Y : для любого ненулевого y ∈ Y существует x ∈ X такой, что b ( x , y ) ≠ 0 .

Полярный [ править ]

Полярный или абсолютный полярная подмножества ⊆ X есть множество ^[1]

${\ Displaystyle A ^ {\ circ}: = \ left \ {y \ in Y: \ sup _ {x \ in A} | b (x, y) | \ leq 1 \ right \}.}$

Соответственно, полярная или абсолютная полярность подмножества B ⊆ Y обозначается B ° и определяется как

${\ Displaystyle B ^ {\ circ}: = \ left \ {x \ in X: \ sup _ {y \ in B} | b (x, y) | \ leq 1 \ right \}.}$

В этом случае абсолютная полярная подмножества B ⊆ Y также называют prepolar из B и может обозначать ° B .

Поляр - это выпуклое сбалансированное множество, содержащее начало координат. ^[2]

Если ⊆ X , то биполярное из А , обозначается через А °° , определяется А °° = ( A ^⊥ ). Аналогичным образом , если B ⊆ Y , то биполярное из B определяется как В °° = (° В ) °. ${\displaystyle {}^{\circ }}$

Слабые топологии [ править ]

Предположим , что спаривание векторных пространств над 𝕂 .${\displaystyle (X,Y,b)}$

Обозначение : для всех x ∈ X пусть b ( x , •): Y → 𝕂 обозначает линейный функционал на Y, определенный как y ↦ b ( x , y ), и пусть b ( X , •) = { b ( x , • ): x ∈ X }.

Аналогично, для всех y ∈ Y пусть b (•, y ): X → 𝕂 определяется как x ↦ b ( x , y ), и пусть b (•, Y ) = { b (•, y ): y ∈ Y }.

Слабая топология на X , индуцированной Y (и б ) является самым слабым TVS топология на X , обозначается или просто делает все карты б (•, у ): X → 𝕂 непрерывной, так как у пробегает Y . ^[3] Точно так же существует двойственное определение слабой топологии на Y, индуцированной X (и b ), которое обозначается или просто : это самая слабая топология TVS на Y, делающая все отображения b${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle \sigma (X,Y),}$${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$${\displaystyle \sigma (Y,X)}$( Х , •): Y → 𝕂 непрерывно, а х пробегает X . ^[3]

Слабая ограниченность и поглощающие поляры [ править ]

Именно из следующей теоремы , что почти всегда предполагаются , что семейство 𝒢 состоит из -ОГРАНИЧЕННЫХ подмножеств X . ^[3]${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

Двойные определения и результаты [ править ]

Каждой паре можно сопоставить соответствующую пару, где по определению ^[3]${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle (Y,X,{\hat {b}})}$${\displaystyle {\hat {b}}(y,x)=b(x,y).}$

В теории двойственности есть повторяющаяся тема: любое определение пары имеет соответствующее двойственное определение пары .${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle (Y,X,{\hat {b}})}$

Соглашение и определение : Для любого определения пары можно получить двойственное определение , применяя его к спариванию. Если определение зависит от порядка X и Y (например, определение «слабой топологии, определенной на X посредством Y »), то по переключая порядок X и Y , это означает, что это определение должно применяться к (например, это дает нам определение «слабой топологии, определенной на Y посредством X »).${\displaystyle (X,Y,b),}$${\displaystyle (Y,X,{\hat {b}}).}$${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle (Y,X,{\hat {b}})}$${\displaystyle \sigma (Y,X)}$

Например, после определения « X различает точки Y » (соответственно, « S является полным подмножеством Y »), как указано выше, то двойственное определение « Y различает точки X » (соответственно, « S является полным подмножеством Y »), как указано выше. X ") получается сразу. Например, если определено, то следует автоматически считать, что он был определен, без упоминания аналогичного определения. То же относится ко многим теоремам.${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle \sigma (Y,X)}$

Соглашение : придерживаясь общепринятой практики, если не требуется ясность, всякий раз, когда для пары дается определение (или результат), упоминание соответствующего двойного определения (или результата) будет опущено, но, тем не менее, его можно использовать.${\displaystyle (X,Y,b)}$

В частности, хотя эта статья будет определять только общее понятие полярных топологий на Y, где 𝒢 является набором -ограниченных подмножеств X , в этой статье, тем не менее, будет использоваться двойственное определение полярных топологий на X, где 𝒢 является набором -ограниченных подмножеств. подмножеств Y .${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle \sigma (Y,X)}$

Отождествление ( X , Y ) с ( Y , X )

Хотя это технически неверно и является неправильным обозначением, следующее соглашение почти повсеместно:

Конвенция : Эта статья будет использовать общую практику лечения спаривания взаимозаменяемого , а также обозначая по${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle \left(Y,X,{\hat {b}}\right)}$${\displaystyle \left(Y,X,{\hat {b}}\right)}$${\displaystyle (Y,X,b).}$

Полярные топологии [ править ]

Повсюду, является спариванием векторных пространств над полем 𝕂 и 𝒢 является непустым набором -ОГРАНИЧЕННЫХ подмножеств X .${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

Для каждого G ∈ 𝒢 и г > 0 , г G ° = г ( G °) является выпуклым и сбалансированным , и потому , что G является -ограниченным, множество Г Г ° является поглощая в Y .${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

Полярная топология на Y определяется (или генерируется) с помощью 𝒢 (и б ), также называемого 𝒢 -топологией на Y или топологии равномерной сходимости на множествах 𝒢 , является уникальным топологическим векторным пространством (ТВС) топология на Y для который

${\displaystyle \left\{rG^{\circ }~:~G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}}$

образует окрестность юг базис в нуле. ^[3] Когда Y наделен этой 𝒢 -топологией, то она обозначается Y _𝒢 .

Если - последовательность положительных чисел, сходящаяся к 0, тогда определяющая подбаза окрестности в 0 может быть заменена на${\displaystyle (r_{i})_{i=1}^{\infty }}$

${\displaystyle \left\{r_{i}G^{\circ }~:~G\in {\mathcal {G}},i=1,2,\ldots \right\}}$

без изменения результирующей топологии.

Когда 𝒢 является направленным множеством относительно включения подмножества (т.е. если для всех G , H ∈ 𝒢 существует некоторый K ∈ 𝒢 такой, что G ∪ H ⊆ K ), то определяющий подбазис окрестности в начале координат фактически образует базис окрестности в 0 . ^[3]

Семинормы, определяющие полярную топологию

Каждая G ∈ 𝒢 определяет полунорму p _G  : Y → ℝ, определяемую равенством

${\displaystyle p_{G}(y)=\sup _{g\in G}|b(g,y)|=\sup |b(G,y)|}$

где G ° = { y ∈ Y  : p _G ( y ) ≤ 1 } и p _G - фактически функционал Минковского группы G ° . По этой причине 𝒢 -топология на Y всегда является локально выпуклой топологией. ^[3]

Модификация 𝒢

Если каждое положительное скалярное кратное множества в 𝒢 содержится в некотором множестве , принадлежащем 𝒢 , то определяющее окрестность предбаза в начале координат может быть заменен

${\displaystyle \left\{G^{\circ }:G\in {\mathcal {G}}\right\}}$

без изменения результирующей топологии.

Следующая теорема дает способы , в которых 𝒢 могут быть изменены без изменения в результате 𝒢 -топология на Y .

Именно из-за этой теоремы многие авторы часто требуют, чтобы 𝒢 также удовлетворяла следующим дополнительным условиям:

• Объединение любых двух множеств A , B ∈ 𝒢 содержится в некотором множестве C ∈ 𝒢 ;
• Все скалярные числа каждого G ∈ 𝒢 принадлежат 𝒢 .

Некоторые авторы ^[4] также предполагают, что каждый x ∈ X принадлежит некоторому множеству G ∈ 𝒢, поскольку этого предположения достаточно для того, чтобы 𝒢 -топология была хаусдорфовой.

Сходимость сетей и фильтров

Если является сетью в Y, то в 𝒢 -топологии на Y тогда и только тогда, когда для каждого G ∈ 𝒢 , или на словах, тогда и только тогда, когда для любого G ∈ 𝒢 , сеть линейных функционалов на X сходится равномерно к 0 на G ; здесь для каждого i ∈ I линейный функционал определяется равенством${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i\in I}\to 0}$${\displaystyle p_{G}(y_{i})=\sup _{g\in G}|b(g,y_{i})|\to 0,}$${\displaystyle (b(\cdot ,y_{i}))_{i\in I}}$${\displaystyle b(\cdot ,y_{i})}$${\displaystyle x\mapsto b(x,y_{i}).}$

Если y ∈ Y, то в 𝒢 -топологии на Y тогда и только тогда, когда для всех G ∈ 𝒢 ,${\displaystyle (y_{i})_{i\in I}\to y}$${\displaystyle p_{G}(y_{i}-y)=\sup |b(G,y_{i}-y)|\to 0.}$

Фильтр ℱ на Y сходится к элементу у ∈ Y в 𝒢 -топологией на Y , если ℱ равномерно сходится к у на каждом G ∈ 𝒢 .

Свойства [ править ]

Результаты статьи Топологии пространств линейных отображений могут быть применены к полярным топологиям.

Повсюду, является спариванием векторных пространств над полем 𝕂 и 𝒢 является непустым набором -ОГРАНИЧЕННЫХ подмножеств X .${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

Хаусдорфность

Мы говорим , что 𝒢 покрывает X , если каждая точка X принадлежит некоторому множеству в 𝒢 .

Мы говорим , что 𝒢 в общей сложности в X ^[5] , если линейная оболочка из плотно в X .${\displaystyle \bigcup \nolimits _{G\in {\mathcal {G}}}G}$

Примеры полярных топологий, индуцированных спариванием [ править ]

Всюду будут спариванием векторных пространств над полем 𝕂 и 𝒢 будет непустой набором -ОГРАНИЧЕННЫХ подмножеств X .${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

В следующей таблице не упоминается b . Топологии перечислены в порядке, который примерно соответствует сначала более грубым топологиям, а последним - более тонким топологиям; обратите внимание, что некоторые из этих топологий могут быть не в порядке, например, и топология под ним (то есть топология, порожденная -полными и ограниченными дисками) или if не хаусдорфова. Если более одного набора подмножеств отображается в одной строке в крайнем левом столбце, это означает, что этими наборами генерируется одна и та же полярная топология.${\displaystyle c(X,Y,b)}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

Обозначение : Если 𝛥 ( Y , X , b ) обозначает полярную топологию на Y, то Y, наделенный этой топологией, будет обозначаться Y _{𝛥 ( Y , X , b )} , Y _{𝛥 ( Y , X )} или просто Y _𝛥 (например, если тогда 𝛥 = 𝜎, так что Y _{σ ( Y , X , b )} , Y _{σ ( Y ,}${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$_{X )} и Y _σ все обозначаютYс).${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

𝒢 ⊆ 𝒫 ( X ) («топология равномерной сходимости на ...»)	Обозначение	Имя («топология ...»)	альтернативное имя
конечные подмножества X (или -замкнутые дисковые оболочки конечных подмножеств X )${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$	${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle s(X,Y,b)}$	поточечная / простая сходимость	слабая / слабая * топология
${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-компактные диски	${\displaystyle \tau (X,Y,b)}$		Топология Макки
${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-компактные выпуклые подмножества	${\displaystyle \gamma (X,Y,b)}$	компактная выпуклая сходимость
${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-компактные подмножества (или сбалансированные -компактные подмножества)${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$	${\displaystyle c(X,Y,b)}$	компактная сходимость
${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-полные и ограниченные диски		выпуклая сбалансированная полная ограниченная сходимость
${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-предкомпактные / полностью ограниченные подмножества (или сбалансированные -предкомпактные подмножества)${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$		предкомпактная сходимость
${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$- инфраполные и ограниченные диски		выпуклая сбалансированная инфраполная ограниченная сходимость
${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-ограниченные подмножества	${\displaystyle b(X,Y,b)}$ ${\displaystyle \beta (X,Y,b)}$	ограниченная сходимость	сильная топология сильнейшая полярная топология

Слабая топология σ ( Y , X ) [ править ]

Для любого x ∈ X базовой -окрестностью x в X называется множество вида:${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$

${\displaystyle \left\{z\in X:|b(z-x,y_{i})|\leq r{\text{ for all }}i\right\}}$

для некоторого вещественного г > 0 и некоторое конечное множество точек у ₁ , ..., у _п в Y . ^[3]

Непрерывное двойственное пространство к есть X , где, точнее, это означает, что линейный функционал f на Y принадлежит этому непрерывному двойственному пространству тогда и только тогда, когда существует некоторый x ∈ X такой, что f ( y ) = b ( x , y ) для всех у ∈ Y . ^[3] Слабая топология - это грубейшая топология TVS на Y, для которой это верно.${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}$

В общем, выпуклая оболочка сбалансирована из -компактного подмножества Y не обязательно должна быть компактной. ^[3]${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$

Если X и Y являются векторными пространствами над комплексными числами (что подразумевает, что b имеет комплексное значение), то пусть и обозначают эти пространства, когда они рассматриваются как векторные пространства над действительными числами ℝ . Обозначим через Re b действительную часть числа b и заметим, что ( X _ℝ , Y _ℝ , Re b ) является спариванием. Слабая топология на Y идентична слабой топологии 𝜎 ( X _ℝ , Y _ℝ , Re b )${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle Y_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$. В конечном итоге это связано с тем, что для любого комплекснозначного линейного функционала f на Y с вещественной частью r  : = Re f , тогда

е = г ( у ) - л ( гу )      для всех у ∈ Y .

Топология Макки τ ( Y , X ) [ править ]

Непрерывное двойственное пространство к есть X (точно так же, как было описано для слабой топологии). Более того, топология Макки - это лучшая локально выпуклая топология на Y, для которой это верно, что и делает эту топологию важной.${\displaystyle (Y,\tau (Y,X,b))}$

Так как в общем случае , выпуклая оболочка сбалансирована из -компактного подмножества Y не должна быть -компактной, ^[3] топология Макки может быть строго грубее топология Поскольку каждое -компактное множество -огранично, топология Макки грубее , чем сильная топология . ^[3]${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$${\displaystyle c(X,Y,b).}$${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$${\displaystyle b(X,Y,b)}$

Сильная топология 𝛽 ( Y , X ) [ править ]

Окрестности базис ( а не только к югу основа) в начале координат для топологии: ^[3]${\displaystyle \beta (Y,X,b)}$

${\displaystyle \left\{A^{\circ }~:~A\subseteq X{\text{ is a }}\sigma (X,Y,b)-{\text{bounded}}{\text{ subset of }}X\right\}.}$

Сильная топология более тонкая, чем топология Макки. ^[3]${\displaystyle \beta (Y,X,b)}$

Полярные топологии и топологические векторные пространства [ править ]

В этом разделе X будет топологическим векторным пространством (TVS) с непрерывным двойственным пространством и будет каноническим спариванием , где по определению векторное пространство X всегда различает / разделяет точки, но может не различать точки X (это обязательно происходит, если, например, X не хаусдорфово), и в этом случае спаривание не является дуальной парой. По теореме Хана-Банаха , если X - хаусдорфово локально выпуклое пространство, то разделяет точки X и, следовательно,${\displaystyle X'}$${\displaystyle (X,X',\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x).}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle (X,X',\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle (X,X',\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ образует дуальную пару.

Свойства [ править ]

• Если ∪G ∈ 𝒢 G покрывает X, тогда каноническое отображение из X вкорректно определено. То есть для всех x ∈ X оценочный функционал,означающий, что отображениенепрерывно на${\displaystyle (X'_{\mathcal {G}})'}$${\displaystyle X'.}$${\displaystyle x'\in X'\mapsto \langle x',x\rangle ,}$${\displaystyle X'_{\mathcal {G}}.}$
  • Если вдобавок разделяет точки на X, то каноническое отображение X в является инъекцией.${\displaystyle X'}$${\displaystyle (X'_{\mathcal {G}})'}$
• Предположим, что u  : E → F - непрерывная линейная функция, а 𝒢 и ℋ - наборы ограниченных подмножеств X и Y соответственно, каждое из которых удовлетворяет аксиомам 𝒢 ₁ и 𝒢 ₂ . Тогда транспонированная из U , является непрерывным , если для любого G ∈ 𝒢 существует некоторая Н ∈ ℋ таким образом, что у ( G ) ⊆ H . ^[6]${\displaystyle {}^{t}u:Y'_{\mathcal {H}}\to X'_{\mathcal {G}}}$
  • В частности, транспонирование u непрерывно, если несет (соответственно ) топологию и любую топологию, более сильную, чем топология (соответственно ).${\displaystyle X'}$${\displaystyle \sigma (X',X)}$${\displaystyle \gamma (X',X),}$ ${\displaystyle c(X',X),}$ ${\displaystyle b(X',X)}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle \sigma (Y',Y)}$${\displaystyle \gamma (Y',Y),}$ ${\displaystyle c(Y',Y),}$ ${\displaystyle b(Y',Y)}$
• Если Х является локально выпуклое хаусдорфово ТВС над полем 𝕂 и 𝒢 представляет собой набор ограниченных подмножеств X , который удовлетворяет аксиомам 𝒢 ₁ и 𝒢 ₂ , то билинейное отображение определяется непрерывно тогда и только тогда , когда Х является нормируемым , а 𝒢 -топология на - сильная дуальная топология .${\displaystyle X\times X'_{\mathcal {G}}\to \mathbb {K} }$${\displaystyle (x,x')\mapsto \langle x',x\rangle =x'(x)}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle b(X',X)}$
• Предположим , что X является пространством Фреше и 𝒢 представляет собой совокупность ограниченных подмножеств X , удовлетворяющее аксиомам 𝒢 ₁ и 𝒢 ₂ . Если 𝒢 содержит все компактные подмножества X , то является полным.${\displaystyle X'_{\mathcal {G}}}$

Полярные топологии на непрерывном двойственном пространстве [ править ]

Всюду, X будет TVS над полем 𝕂 с непрерывным сопряженным пространством и X и будет ассоциироваться с каноническим спариванием. В таблице ниже определены многие из наиболее распространенных полярных топологий на${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'.}$

Обозначение : Если обозначает полярную топологию, то наделенная этой топологией будет обозначена (например, если тогда 𝛥 = 𝜏, а значит, обозначает наделенную ). Если дополнительно, то этот TVS может обозначаться (например ).${\displaystyle \Delta (X',Z)}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'_{\Delta (X',Z)}}$${\displaystyle \tau (X',X'')}$${\displaystyle Z=X''}$${\displaystyle X'_{\tau (X',X'')}}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle \tau (X',X'')}$
${\displaystyle Z=X}$${\displaystyle X'_{\Delta }}$${\displaystyle X'_{\sigma }:=X'_{\sigma (X',X)}}$

𝒢 ⊆ 𝒫 ( X ) («топология равномерной сходимости на ...»)	Обозначение	Имя («топология ...»)	альтернативное имя
конечные подмножества X (или -замкнутые дисковые оболочки конечных подмножеств X )${\displaystyle \sigma (X',Y)}$	${\displaystyle \sigma (X',Y)}$ ${\displaystyle s(X',X)}$	поточечная / простая сходимость	слабая / слабая * топология
компактные выпуклые подмножества	${\displaystyle \gamma (X',X)}$	компактная выпуклая сходимость
компактные подмножества (или сбалансированные компактные подмножества)	${\displaystyle c(X',X)}$	компактная сходимость
${\displaystyle \sigma (X',Y)}$-компактные диски	${\displaystyle \tau (X',X)}$		Топология Макки
предкомпактные / полностью ограниченные подмножества (или сбалансированные предкомпактные подмножества)		предкомпактная сходимость
полные и ограниченные диски		выпуклая сбалансированная полная ограниченная сходимость
инфраполные и ограниченные диски		выпуклая сбалансированная инфраполная ограниченная сходимость
ограниченные подмножества	${\displaystyle b(X',X)}$ ${\displaystyle \beta (X',X)}$	ограниченная сходимость	сильная топология
${\displaystyle \sigma (X'',X')}$-компактные диски в${\displaystyle X'':=(X'_{b})'}$	${\displaystyle \tau (X',X'')}$		Топология Макки

Причина, по которой некоторые из вышеперечисленных наборов (в одной строке) индуцируют одинаковые полярные топологии, связана с некоторыми основными результатами. Замкнутое подмножество полной TVS является полным, а полное подмножество Хаусдорфа и полной TVS закрыто. ^[7] Кроме того, в каждой TVS компактные подмножества полны ^[7] и сбалансированная оболочка компактного (соответственно вполне ограниченного ) подмножества снова компактна (соответственно вполне ограничена). ^[8] Кроме того, банахово пространство может быть полным, но не слабо полным.

Если B ⊆ X ограничено , то B ° является поглощая в (обратите внимание , что , будучи поглощая является необходимым условием для B ° окрестностью нуля в любой TVS топологии ). ^[2] Если Х является локально выпуклым пространством и В ° поглощают в том B ограниченно в X . Кроме того, подмножество S ⊆ X слабо ограничено тогда и только тогда , когда S ° является поглощающей в${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'.}$По этой причине, обычно ограничиться рассмотрением семейств ограниченных подмножеств X .

Слабая / слабая * топология σ (X ' , X) [ править ]

Топология обладает следующими свойствами:${\displaystyle \sigma (X',Y)}$

• Банах-Алаогл : Каждое эквинепрерывно подмножествомявляется относительно компактным для. ^[9]${\displaystyle X'}$${\displaystyle \sigma (X',Y)}$
  • отсюда следует, что -замкнутость выпуклой сбалансированной оболочки равностепенно непрерывного подмножества является равностепенно непрерывной и -компактной.${\displaystyle \sigma (X',Y)}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle \sigma (X',Y)}$
• Теорема (С. Банах): Предположим, что X и Y являются пространствами Фреше или что они двойственны рефлексивным пространствам Фреше, и это непрерывное линейное отображение. Тогда у сюръективно тогда и только тогда , когда транспонированная ц , является один-к-одному и спектр слабо замкнуто в .${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle {}^{t}u:Y'\to X',}$${\displaystyle {}^{t}u}$${\displaystyle X'_{\sigma (X',X)}}$
• Предположим, что X и Y - пространства Фреше, Z - хаусдорфово локально выпуклое пространство и является отдельно непрерывным билинейным отображением. Тогда непрерывно.${\displaystyle u:X'_{\sigma }\times Y'_{\sigma }\to Z'_{\sigma }}$${\displaystyle u:X'_{b}\times Y'_{b}\to Z'_{b}}$
  • В частности, любые отдельно непрерывные билинейные отображения из произведения двух двойственных рефлексивных пространств Фреше в третье непрерывны.
• ${\displaystyle X'_{\sigma (X',X)}}$нормируем тогда и только тогда, когда X конечномерно.
• Когда X бесконечномерно, топология на строго более грубая, чем сильная двойственная топология .${\displaystyle \sigma (X',Y)}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle b(X',X)}$
• Предположим, что X - локально выпуклое хаусдорфово пространство, и это его пополнение. Если то строго мельче, чем .${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle X\neq {\hat {X}}}$${\displaystyle \sigma (X',{\hat {X}})}$${\displaystyle \sigma (X',Y)}$
• Любое равностепенно непрерывное подмножество, двойственное к сепарабельному хаусдорфовому локально выпуклому векторному пространству, метризуемо в топологии.${\displaystyle \sigma (X',Y)}$
• Если X локально выпукло , то подмножество H из является -ограничен тогда и только тогда , когда существует ствол B в X таким образом, что Н ⊆ B ° . ^[3]${\displaystyle X'}$${\displaystyle \sigma (X',Y)}$

Компактно-выпуклая сходимость γ (X ' , X) [ править ]

Если X - пространство Фреше, то топологии γ ( X ' , X ) = c ( X ' , X ) .

Компактная сходимость c (X ' , X) [ править ]

Если X - пространство Фреше или LF-пространство, то оно полно.${\displaystyle c(X',X)}$

Предположим, что X - метризуемое топологическое векторное пространство и что если пересечение с каждым равностепенно непрерывным подмножеством является слабо открытым, то открыто в .${\displaystyle W'\subseteq X'.}$${\displaystyle W'}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle W'}$${\displaystyle c(X',X)}$

Предкомпактная конвергенция [ править ]

Теорема Банаха – Алаоглу : равностепенно непрерывное подмножество K изимеет компактное замыкание в топологии равномерной сходимости на предкомпактных множествах. Кроме того, эта топология на K совпадает стопологией.${\displaystyle X'}$${\displaystyle \sigma (X',Y)}$

Топология Макки τ ( X ' , X ) [ править ]

Если обозначить 𝒢 множеством всех выпуклых сбалансированных слабо компактных подмножеств X , мы получим топологию Макки на или топологию равномерной сходимости на выпуклых сбалансированных слабо компактных множествах , которая обозначается и с этой топологией обозначается .${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle \tau (X',X)}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'_{\tau (X',X)}}$

Сильная двойственная топология b (X ' , X) [ править ]

Ввиду важности этой топологии непрерывное двойственное пространство к обычно обозначается просто как Следовательно,${\displaystyle X'_{b}}$${\displaystyle X''.}$${\displaystyle (X'_{b})'=X''.}$

Топология обладает следующими свойствами:${\displaystyle b(X',X)}$

• Если X локально выпукло, то эта топология тоньше , чем все остальные 𝒢 -топологий на при рассмотрении только 𝒢 «s, множества являются подмножествами X .${\displaystyle X'}$
• Если X является борнологическим пространством (например: метризуемый или LF-пространство ) , то завершено.${\displaystyle X'_{b(X',X)}}$
• Если X - нормированное пространство, то сильная двойственная топология на может быть определена нормой где . ^[10]${\displaystyle X'}$${\displaystyle \|X'\|=\sup _{x\in X,\|x\|=1}|\langle x',x\rangle |,}$${\displaystyle x'\in X'}$
• Если X является LF-пространством, которое является индуктивным пределом последовательности пространств (для ), то является пространством Фреше тогда и только тогда, когда все они нормируемы.${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle k=0,1\dots }$${\displaystyle X'_{b(X',X)}}$${\displaystyle X_{k}}$
• Если X - пространство Монтеля, то
  • ${\displaystyle X'_{b(X',X)}}$обладает свойством Гейне – Бореля (т.е. каждое замкнутое и ограниченное подмножество компактно в )${\displaystyle X'_{b(X',X)}}$${\displaystyle X'_{b(X',X)}}$
  • На ограниченных подмножествах сильная и слабая топологии совпадают (а значит, и все другие топологии более тонкие и грубые ).${\displaystyle X'_{b(X',X)},}$${\displaystyle \sigma (X',Y)}$${\displaystyle b(X',X)}$
  • Каждая слабо сходящаяся последовательность в сильно сходится.${\displaystyle X'}$

Топология Макки τ ( X , X ' ' ) [ править ]

Если обозначить ' ' , то множество всех выпуклых сбалансированных слабо компактных подмножеств будет иметь топологию Макки на, индуцированную посредством, или топологию равномерной сходимости на выпуклых сбалансированных слабо компактных подмножествах , которая обозначается и с этой топологией обозначается${\displaystyle X''=(X'_{b})',X'}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X''}$${\displaystyle X''}$${\displaystyle \tau (X',X'')}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'_{\tau (X',X'')}.}$

• Эта топология лучше и, следовательно, тоньше чем .${\displaystyle b(X',X)}$${\displaystyle \tau (X',X)}$

Полярные топологии, индуцированные подмножествами непрерывного двойственного пространства [ править ]

Всюду, X будет TVS над полем 𝕂 с непрерывным сопряженным пространством и каноническим спариванием будет связана с X и В таблице ниже , определяет многие из наиболее распространенных полярных топологий на X .${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'.}$

Обозначение : Если 𝛥 ( X , X ' ) обозначает полярную топологию на X, то X, наделенный этой топологией, будет обозначаться или (например, для 𝜎 ( X , X ' ) мы будем иметь 𝛥 = 𝜎, так что и оба обозначают X с наделенным 𝜎 ( X , X ' ) ).${\displaystyle X_{\Delta (X,X')}}$${\displaystyle X_{\Delta }}$${\displaystyle X_{\sigma (X,X')}}$${\displaystyle X_{\sigma }}$

𝒢 ⊆ 𝒫 ( X ) («топология равномерной сходимости на ...»)	Обозначение	Имя («топология ...»)	альтернативное имя
конечных подмножеств (или -замкнутых дисковых оболочек конечных подмножеств )${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \sigma (X',Y)}$${\displaystyle X'}$	𝜎 ( X , X ' ) s ( X , X ' )	поточечная / простая сходимость	слабая топология
равностепенно непрерывные подмножества (или равностепенно непрерывные диски) (или слабо- * компактные равностепенно непрерывные диски)	${\displaystyle \varepsilon (X,X')}$	равностепенная сходимость
слабые * диски	т ( Х , Х ' )		Топология Макки
слабо- компактные выпуклые подмножества	у ( Х , Х ' )	компактная выпуклая сходимость
* слабые * компактные подмножества (или сбалансированные * * слабые компактные подмножества)	с ( Х , Х ' )	компактная сходимость
* слабые ограниченные подмножества	Ь ( Х , Х ' ) 𝛽 ( Х , Х ' )	ограниченная сходимость	сильная топология

Замыкание равностепенно непрерывного подмножества является слабо- * компактным и равностепенно непрерывным, и, кроме того, выпуклая сбалансированная оболочка равностепенно непрерывного подмножества равностепенно непрерывна.${\displaystyle X'}$

Слабая топология 𝜎 ( X , X ' ) [ править ]

Предположим, что X и Y - хаусдорфовы локально выпуклые пространства с метризуемым X, и это линейное отображение. Тогда непрерывно тогда и только тогда, когда u: 𝜎 ( X , X ' ) → 𝜎 ( Y , Y ' непрерывно. То есть непрерывно, когда X и Y несут свои заданные топологии, тогда и только тогда, когда u непрерывно, когда X и Y несут свои слабые топологии.${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u:X\to Y}$

Сходимость на равностепенно непрерывных множествах 𝜀 ( X , X ' ) [ править ]

Если бы было множество всех выпуклых сбалансированных слабо компактных равностепенно непрерывных подмножеств, то та же самая топология была бы индуцирована.${\displaystyle {\mathcal {G}}'}$${\displaystyle X',}$

Если X является локально выпуклым и хаусдорфовым, то заданная топология X (т. Е. Топология, с которой X начиналось) в точности . То есть для X хаусдорфова и локально выпуклого, если тогда E равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда E ° равностепенно непрерывно, и, более того, для любого S ⊆ X , S является окрестностью 0 тогда и только тогда, когда S ° равностепенно непрерывно.${\displaystyle \varepsilon (X,X')}$${\displaystyle E\subset X'}$

Важно отметить, что множество непрерывных линейных функционалов Н на TVS X эквинепрерывно тогда и только тогда , когда он содержится в полярном некоторых окрестностях U из 0 в X (т.е. H ⊆ U ° ). Поскольку топология TVS полностью определяется открытыми окрестностями начала координат, это означает, что посредством операции взятия полярности набора набор равностепенно непрерывных подмножеств «кодирует» всю информацию о топологии X (т. Е. Различные топологии TVS на Икс${\displaystyle X'}$создавать различные наборы равностепенно непрерывных подмножеств, и для любого такого набора можно восстановить исходную топологию TVS, взяв поляры наборов в коллекции). Таким образом, равномерная сходимость на наборе равностепенно непрерывных подмножеств по сути является «сходимостью по топологии X ».

Топология Макки τ ( X , X ' ) [ править ]

Предположим, что X - локально выпуклое хаусдорфово пространство. Если X является метризуемым или бочкообразным, то исходная топология X идентична топологии Макки τ ( X , X ' ) . ^[11]

Топологии, совместимые с парами [ править ]

Пусть X векторное пространство и пусть Y векторное подпространство алгебраически сопряженное к X , которая разделяет точки на X . Если τ любых другие локально выпуклое хаусдорфово топологического векторного пространства топологии на X , то τ является совместимым с двойственностью между X и Y , если когда X оснащен т , то есть Y в качестве непрерывного сопряженного пространства. Если X задана слабая топология, то X _{𝜎 ( X , Y )}${\displaystyle \sigma (X,Y)}$является хаусдорфовым локально выпуклым топологическим векторным пространством (TVS) и согласовано с двойственностью между X и Y (т.е. ). Возникает вопрос: какие все локально выпуклые хаусдорфовы топологии TVS, которые могут быть размещены на X , совместимы с двойственностью между X и Y ? Ответ на этот вопрос называется теоремой Макки – Аренса .${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle X_{\sigma (X,Y)}'=\left(X_{\sigma (X,Y)}\right)'=Y}$

См. Также [ править ]

• Двойная топология
• Список топологий
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Полярное множество  - подмножество всех точек, которые ограничены некоторой заданной точкой дуального (в двойном паре)
• Топологии на пространствах линейных отображений
• Топология согласуется с двойственностью
• Топологическое векторное пространство  - Векторное пространство с понятием близости.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Робертсон, AP; Робертсон, В. (1964). Топологические векторные пространства . Издательство Кембриджского университета.
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .