Двойная система

Это читается как учебник, а не тон энциклопедии или стиль, возможно, не отражают энциклопедический тон, используемый в Википедии . См. Рекомендации в руководстве Википедии по написанию лучших статей . ( Сентябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В области функционального анализа подполе математики , двойственная система , двойственная пара или двойственность над полем ( действительные или комплексные числа) - это тройка, состоящая из двух векторных пространств над и билинейного отображения, такого что для всех ненулевых отображение не является тождественным, а для всех ненулевых отображение не является тождественным 0. Изучение двойственных систем называется теорией двойственности .${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle (X, Y, b)}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle b: X \ times Y \ to \ mathbb {K}}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle у \ mapsto Ь (х, у)}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle y \ in Y}$${\displaystyle x\mapsto b(x,y)}$

По словам Гельмута Х. Шефера , «изучение локально выпуклого пространства в терминах двойственного ему является центральной частью современной теории топологических векторных пространств , поскольку оно дает наиболее глубокие и прекрасные результаты по предмету». ^[1]

Определение, обозначения и соглашения [ править ]

Спаривания или пара над полем является тройным , которые также могут быть обозначены , состоящие из двух векторных пространств и более (что в данной статье предполагается являются либо действительными числами или в комплексных числах ) и являются билинейным отображением , которое называется билинейное отображение, связанное со спариванием ^[2] или просто отображение спаривания / билинейная форма .${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle b(X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }$

Для всех , пусть обозначает линейный функционал на, определенный через и пусть . Точно так же для всех , пусть будет определено и пусть .${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle b(x,\bullet ):Y\to \mathbb {K} }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y\mapsto b(x,y)}$${\displaystyle b(X,\bullet ):=\{b(x,\bullet ):x\in X\}}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle b(\bullet ,y):X\to \mathbb {K} }$${\displaystyle x\mapsto b(x,y)}$${\displaystyle b(\bullet ,Y):=\{b(\bullet ,y):y\in Y\}}$

Обычной практикой является написание вместо , и в этом случае пара часто обозначается значком вместо . Однако в этой статье будет зарезервировано использование для канонической оценочной карты (определенной ниже), чтобы избежать путаницы для читателей, не знакомых с этим предметом.${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\displaystyle b(x,y)}$${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$
${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Спаривание называется двойная системой , а двойная пара , ^[3] или двойственность над если билинейной формой является не- вырожденной , что означает , что она удовлетворяет следующие аксиомы два разделения:${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle b}$

1. ${\displaystyle Y}$разделяет / различает точки${\displaystyle X}$ : если такое, что то ; или, что то же самое, для всех ненулевых , отображение не является тождественным (т. е. существует такое, что ;${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle b(x,\bullet )=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle b(x,\bullet ):Y\to \mathbb {K} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$
2. ${\displaystyle X}$разделяет / различает точки${\displaystyle Y}$ : если такое, что то ; или, что то же самое, для всех ненулевых , отображение не является тождественным (т.е. существует такое, что .${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle b(\bullet ,y)=0}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle b(\bullet ,y):X\to \mathbb {K} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$

В этом случае говорят , что является невырожденной , говорят , что места , и в двойственности (или в отделенной двойственности ), и называется двойственности спаривание из . ^{[2] [3]}${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (X,Y,b)}$

Подмножество из называется общей , если для всех , для всех подразумевает . Общее подмножество определяется аналогично (см. Сноску). ^{[примечание 1]}${\displaystyle S}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle b(x,s)=0}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle X}$

Элементы и являются ортогональными и писать , если . Два набора и являются ортогональными и пишут, если и ортогональны для всех, а while называется ортогональным элементу, если ортогонален . Для определите ортогональный или аннигилятор из быть .${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\perp y}$${\displaystyle b(x,y)=0}$${\displaystyle R\subseteq X}$${\displaystyle S\subseteq Y}$${\displaystyle R\perp S}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \{y\}}$${\displaystyle R\subseteq X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R.y)=\{0\}\}}$

Полярные наборы [ править ]

На протяжении всего спаривания будет окончено . Абсолютная полярная или полярная подмножества из есть множество: ^[4]${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}}$.

Двойственно, то абсолютное полярная или полярная подмножества из обозначается и определяется${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle B^{\circ }}$

${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}}$.

В этом случае абсолютная полярная подмножества из также называется абсолютным prepolar или prepolar из и могут быть обозначены .${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {}^{\circ }B}$

Поляр обязательно является выпуклым множеством, содержащим, где если сбалансировано, то так и есть, а если является векторным подпространством, то также является векторным подпространством . ^[5]${\displaystyle B^{\circ }}$${\displaystyle 0\in Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{\circ }}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B^{\circ }}$${\displaystyle Y}$

Если затем биполярная из , обозначается , есть множество . Аналогичным образом , если то биполярное из это .${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\circ \circ }}$${\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\perp }\right)}$${\displaystyle B\subseteq Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }}$

Если векторное подпространство , то и это тоже равно реальный полярные из .${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A^{\circ }=A^{\perp }}$${\displaystyle A}$

Двойные определения и результаты [ править ]

Для данной пары определите новую пару, где для всех и всех . ^[2] В целях объяснения следующего соглашения, карта будет называться зеркалом из (это не стандартная терминологии).${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle (Y,X,d)}$${\displaystyle d(y,x):=b(x,y)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle d}$${\displaystyle b}$

В теории двойственности есть повторяющаяся тема: любое определение пары имеет соответствующее двойственное определение пары .${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle (Y,X,d)}$

Соглашение и определение : Имея любое определение пары , можно получить двойное определение , применяя его к паре . Эти соглашения также применимы к теоремам.${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle (Y,X,d)}$

Соглашение : придерживаясь общепринятой практики, если не требуется ясность, всякий раз, когда дается определение (или результат) для пары, в этой статье не упоминается соответствующее двойное определение (или результат), но, тем не менее, используется его.${\displaystyle (X,Y,b)}$

Например, если « различает точки » (соответственно, « является полным подмножеством ») определено, как указано выше, то это соглашение немедленно дает двойное определение « различает точки » (соответственно, « является полным подмножеством ») .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

Следующие ниже обозначения используются почти повсеместно, потому что они позволяют нам не назначать символ зеркалу .${\displaystyle b}$

Соглашение и обозначение : если определение и его обозначение для пары зависят от порядка и (например, определение топологии Макки на ), то, переключая порядок и , то это означает, что определение применяется к (например, фактически обозначает топология ).${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \tau (X,Y,b)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (Y,X,d)}$${\displaystyle \tau (Y,X,b)}$${\displaystyle \tau (Y,X,d)}$

Например, как только определена слабая топология на , которая обозначается , то это определение будет автоматически применяться к спариванию, чтобы получить определение слабой топологии на , где эта топология будет обозначаться вместо .${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle (Y,X,d)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$${\displaystyle \sigma (Y,X,d)}$

Отождествление с${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle (Y,X)}$

Хотя это технически некорректно и является неправильным обозначением, эта статья также будет придерживаться следующего почти повсеместного соглашения:

В этой статье будет использоваться обычная практика обращения с парами как синонимы, а также обозначения посредством .${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle (Y,X,d)}$${\displaystyle (Y,X,d)}$${\displaystyle (Y,X,b)}$

Примеры [ править ]

Ограничение спаривания [ править ]

Предположим, что это спаривание, это векторное подпространство и векторное подпространство . Тогда ограничение на To является спаривание . Если это двойственность, то возможно, что ограничения не будут двойственностью (например, если и ).${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle M\times N}$${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}$${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle Y\neq \{0\}}$${\displaystyle N=\{0\}}$

В этой статье будет использоваться обычная практика обозначения ограничения с помощью .${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}$${\displaystyle (M,N,b)}$

Каноническая двойственность в векторном пространстве [ править ]

Предположим, что это векторное пространство, и пусть обозначает алгебраическое двойственное пространство к (то есть пространство всех линейных функционалов на ). Существует каноническая двойственность где , которая называется оценочной картой или естественным или каноническим билинейным функционалом на . Обратите внимание, в частности, что для любого , это просто еще один способ обозначения ; то есть .${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\#}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$${\displaystyle c\left(x,x^{\prime }\right)=\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}$${\displaystyle X\times X^{\#}}$${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\#}}$${\displaystyle c\left(\bullet ,x^{\prime }\right)}$${\displaystyle x^{\prime }}$${\displaystyle c\left(\bullet ,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\bullet )=x^{\prime }}$

Если - векторное подпространство, то ограничение на называется каноническим спариванием, где, если это спаривание является двойственностью, то оно вместо этого называется канонической двойственностью . Ясно, что всегда различает точки, так что каноническое спаривание является дуальной системой тогда и только тогда, когда разделяет точки . Следующие обозначения теперь почти повсеместны в теории двойственности.${\displaystyle N}$${\displaystyle X^{\#}}$${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$${\displaystyle X\times N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$

Карта оценки будет обозначена (а не ) и будет написана, а не .${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \langle X,N\rangle }$${\displaystyle (X,N,c)}$

Предположение : как это общепринятая практика, если является векторным пространством и является векторным пространством линейных функционалов на , то, если не указано иное, предполагается, что они связаны с каноническим спариванием .${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \langle X,N\rangle }$

Если является векторным подпространством, то различает точки (или, что эквивалентно, является двойственностью) тогда и только тогда, когда различает точки , или, что эквивалентно, если является полным (т. Е. Для всех подразумевается ). ^[2]${\displaystyle N}$${\displaystyle X^{\#}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle (X,N,c)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n(x)=0}$${\displaystyle n\in N}$${\displaystyle x=0}$

Каноническая двойственность на топологическом векторном пространстве [ править ]

Предположим , это топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывным сопряженным пространством . Тогда ограничение канонической двойственности на × определяет спаривание, для которого разделяются точки . Если разделяет точки (что верно, если, например, хаусдорфово локально выпуклое пространство), то это спаривание образует двойственность. ^[3]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle \left(X,X^{\prime },c{\big \vert }_{X\times X^{\prime }}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Допущение : Как это обычно делается, всякий раз, когда это TVS, тогда, если не указано иное, будет предполагаться без комментариев, что он связан с каноническим спариванием .${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$

Поляры и дуалы ТВС

Следующий результат показывает, что непрерывные линейные функционалы на TVS - это в точности те линейные функционалы, которые ограничены в окрестности начала координат.

Внутренние пространства продукта и комплексно сопряженные пространства [ править ]

Предгильбертово пространство является двойной спаривание тогда и только тогда , когда это векторное пространство над или имеет размерность . При этом предполагается , что форма полуторалинейная является сопряженным однородным в своей второй координате и однородной в ее первой координаты. ${\displaystyle \left(H,\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle H}$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$

• Если - реальное гильбертово пространство, то образует дуальную систему.${\displaystyle \left(H,\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right)}$ ${\displaystyle \left(H,H,\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right)}$
• Если является комплексным гильбертовым пространством, то образует двойственную систему тогда и только тогда, когда . Если нетривиально, то даже не образует пары, поскольку внутренний продукт является полуторалинейным, а не билинейным. ^[2]${\displaystyle \left(H,\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right)}$${\displaystyle \left(H,H,\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right)}$${\displaystyle \operatorname {dim} H=0}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \left(H,H,\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right)}$

Предположим, что это комплексное предгильбертово пространство с умножением, обозначенным сопоставлением или точкой . Определите карту${\displaystyle \left(H,\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right)}$${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle \bullet \perp \bullet :\mathbb {C} \times H\to H}$      по ,      ${\displaystyle c\perp x:={\overline {c}}x}$

где правая часть использует скалярное умножение . Пусть обозначает комплексно - сопряженные векторное пространство из , где обозначает аддитивную группу (так векторного сложения в идентичном сложения векторов в ) , но со скалярным умножением в быть картой , а не скалярное умножением , который наделен. ${\displaystyle H}$${\displaystyle {\overline {H}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\overline {H}}}$${\displaystyle (H,+)}$${\displaystyle {\overline {H}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\overline {H}}}$${\displaystyle \bullet \perp \bullet }$${\displaystyle H}$

Карта, определяемая с помощью, является линейной по обеим координатам ^{[примечание 2]} и поэтому образует двойную пару.${\displaystyle b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle b(x,y):=\langle x,y\rangle }$${\displaystyle \left(H,{\overline {H}},\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right)}$

Другие примеры [ править ]

• Допустим , и для всех и . Тогда есть такая пара, которая различает точки , но не различает точки . Кроме того, .${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}$${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\in X}$${\displaystyle \left(x_{1},y_{1},z_{1}\right)\in Y}$${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}}$
• Пусть , , (где есть такая , что ), и . Тогда это дуальная система.${\displaystyle 0<p<\infty }$${\displaystyle X:=L^{p}(\mu )}$${\displaystyle Y:=L^{q}(\mu )}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$${\displaystyle b(f,g):=\int fg\,\mathrm {d} \mu }$${\displaystyle (X,Y,b)}$
• Позвольте и быть векторными пространствами над тем же полем . Тогда билинейная форма размещается и в двойственности. ^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle }$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X^{\#}\times Y^{\#}}$
• Пространство последовательности и его бета - двойная с билинейной картой определяется как для , образуют двойную систему.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y:=X^{\beta }}$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\in X^{\beta }}$

Слабая топология [ править ]

Предположим, что это пара векторных пространств над . Если тогда слабая топология на, индуцированная (и ), является самой слабой топологией TVS на , обозначается или просто , делая все отображения непрерывными, как пробегает . ^[2] Обозначение , или (если не может возникнуть путаницы) просто используется для обозначения наделенной слабой топологией . Если не указано, что такое подмножество , то под слабой топологией на нем подразумевается слабая топология на, индуцированная . Аналогично, если тогда двойственное определение${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle S\subseteq Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle b}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (X,S,b)}$${\displaystyle \sigma (X,S)}$${\displaystyle b(\bullet ,y):X\to \mathbb {K} }$${\displaystyle y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X_{\sigma (X,S,b)}}$${\displaystyle X_{\sigma (X,S)}}$${\displaystyle X_{\sigma }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (X,S,b)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle R\subseteq X}$слабая топология на индуцирована${\displaystyle Y}$${\displaystyle R}$ (и ), которая обозначается или просто (подробности см. в сноске). ^{[примечание 3]} Важно отметить, что слабая топология полностью зависит от функции и обычной топологии на (топология даже не зависит от алгебраических структур и ).${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma (Y,R,b)}$${\displaystyle \sigma (Y,R)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

Определение и обозначение : Если " " присоединяется к топологическому определению (например , -сходится , -ограниченный и т. Д.) , То это означает то определение, когда первое пространство (т.е. ) несет топологию. Упоминание или даже и может быть опущена , если не возникнет никакой путаницы. Так, например, если последовательность в « -сходится» или «слабо сходится», то это означает, что она сходится в, тогда как если бы это была последовательность в, то это означало бы, что она сходится в ).${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}(S)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$

Топология является локально выпуклой, так как она определяется семейством полунорм, определяемым как , как пробегает . ^[2] Если и это чистая в , то -сходится к если сходится к в . ^[2] Сеть -сходится к тогда и только тогда, когда для всех , сходится к . Если - последовательность ортонормированных векторов в гильбертовом пространстве, то слабо сходится к 0, но не сходится по норме к 0 (или любому другому вектору). ^[2]${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle p_{y}:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle p_{y}(x):=|b(x,y)|}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle b\left(x_{i},y\right)}$${\displaystyle b(x,y)}$${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$

Если является парой и является собственным векторным подпространством таких, что является двойственной парой, то строго грубее, чем . ^[2]${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (X,N,b)}$${\displaystyle \sigma (X,N,b)}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

Ограниченные подмножества

Подмножество из IS -ограничен тогда и только тогда , когда для всех , где .${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle \sup _{}|b(S,y)|<\infty }$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle |b(S,y)|:=\{b(s,y):s\in S\}}$

Хаусдорфность

Если это пара, то следующее эквивалентно:${\displaystyle (X,Y,b)}$

1. ${\displaystyle X}$различает точки ;${\displaystyle Y}$
2. Карта определяет инъекцию из в алгебраическое двойственное пространство к ; ^[2]${\displaystyle y\mapsto b(\bullet ,y)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$является Хаусдорф . ^[2]

Теорема о слабом представлении [ править ]

Следующая теорема имеет фундаментальное значение для теории двойственности, поскольку она полностью характеризует непрерывное двойственное пространство .${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$

Ортогоналы, частные и подпространства [ править ]

Если спаривание , то для любого подмножества из :${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle S^{\perp }=(\operatorname {span} S)^{\perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\operatorname {span} S\right)^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }}$и этот набор замкнут; ^[2]${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$
• ${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}\operatorname {span} S\right)}$; ^[2]
  • Таким образом, if является -замкнутым векторным подпространством then .${\displaystyle S}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }}$
• Если - семейство -замкнутых векторных подпространств, то ${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle X}$

  ${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right)}$. ^[2]

• Если - это семейство подмножеств тогда . ^[2]${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i\in I}S_{i}^{\perp }}$

Если нормированное пространство , то при канонической двойственности, является норма замкнуто в и является норма закрыта в . ^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle S^{\perp }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle S^{\perp \perp }}$${\displaystyle X}$

Подпространства

Предположим, что это векторное подпространство и обозначим ограничение на . Слабая топология на идентична топологии подпространства , наследуемой от .${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (M,Y,b)}$${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle M\times Y}$${\displaystyle \sigma (M,Y,b)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$

Кроме того, это парное пространство (где означает ), где определяется как${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$${\displaystyle Y/M^{\perp }}$${\displaystyle Y/\left(M^{\perp }\right)}$${\displaystyle b{\big \vert }_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K} }$

${\displaystyle \left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y)}$.

Топология совпадает с топологией подпространства , наследуемой от . ^[6] Кроме того, если это двойная система, то так и будет . ^[6]${\displaystyle \sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$

Коэффициенты

Предположим, что это векторное подпространство в . Тогда является парным пространством, где определяется${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(X/M,M^{\perp },b/M\right)}$${\displaystyle b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K} }$

${\displaystyle (x+M,y)\mapsto b(x,y)}$.

Топология идентична обычной фактор-топологии, индуцированной on . ^[6]${\displaystyle \sigma \left(X/M,M^{\perp }\right)}$${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$${\displaystyle X/M}$

Полярность и слабая топология [ править ]

Если является локально выпуклым пространством и если является подмножеством непрерывного сопряженного пространства , то является -ограниченным тогда и только тогда, когда для некоторой бочки в . ^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$

Следующие результаты важны для определения полярных топологий.

Если есть пара и , то: ^[2]${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle A\subseteq X}$

1. Полярой , является замкнутым подмножеством .${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\circ }}$${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}$
2. Поляры следующих наборов идентичны: (а) ; (б) выпуклая оболочка ; (с) сбалансированный корпус из ; (d) закрытие ; (е) -замыкание из выпуклого сбалансированного корпуса из .${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle A}$
3. Биполярная теорема : биполярный , , равно -замыкание выпуклого сбалансированного корпуса .${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\circ \circ }}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle A}$
   • В частности, биполярная теорема «является незаменимым инструментом в работе с двойственностями». ^[5]
4. ${\displaystyle A}$является -ограничен тогда и только тогда , когда будет абсорбировать в .${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle A^{\circ }}$${\displaystyle Y}$
5. Если дополнительно выделяет точки , то это - ограничено тогда и только тогда , когда это - вполне ограничено .${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

Если спаривание и локально выпуклая топология , что согласуется с двойственностью, то подмножеством из является бочкой в том и только в том случае является полярным некоторым -ограниченным подмножеством . ^[7]${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$${\displaystyle Y}$

Транспонирует [ править ]

Транспонировать линейную карту относительно пар [ править ]

Позвольте и быть пары над и пусть быть линейным отображением.${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle (W,Z,c)}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle F:X\to W}$

Для всех , пусть будет карта, определенная . Говорят , что ' сек транспонирования или сопряженный хорошо определены , если выполняются следующие условия удовлетворяет:${\displaystyle z\in Z}$${\displaystyle c(F(\bullet ),z):X\to \mathbb {K} }$${\displaystyle x\mapsto c(F(\bullet ),z)}$${\displaystyle F}$

1. ${\displaystyle X}$различает точки (или, что то же самое, отображение из в алгебраический двойственный${\displaystyle Y}$${\displaystyle y\mapsto b(\bullet ,y)}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle X^{\#}}$является инъективным ), и

1. ${\displaystyle c(F(\bullet ),Z)\subseteq b(\bullet ,Y)}$, где .${\displaystyle c(F(\bullet ),Z):=\{c(F(\bullet ),z):z\in Z\}}$

В этом случае для любого существует (по условию 2) единственное (по условию 1) такое, что ), где этот элемент будет обозначаться через . Это определяет линейную карту ${\displaystyle z\in Z}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle c(F(\bullet ),z)=b(\bullet ,y)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {}^{t}F(z)}$

${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$

называется транспонированным из сопряженных по отношению к и (это не должно быть перепутано с эрмитовым сопряженногом ). Легко видеть, что два условия, упомянутые выше (т. Е. «Транспонирование четко определено»), также необходимы для того, чтобы быть четко определенными. Для каждого определяющим условием является ${\displaystyle F}$${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle (W,Z,c)}$${\displaystyle {}^{t}F}$${\displaystyle z\in Z}$${\displaystyle {}^{t}F(z)}$

${\displaystyle c(F(\bullet ),z)=b\left(\bullet ,{}^{t}F(z)\right)}$,

это,

${\displaystyle c(F(x),z)=b\left(x,{}^{t}F(z)\right)}$      для всех .${\displaystyle x\in X}$

По конвенциям , упомянутых в начале этой статьи, это также определяет транспонирование линейных отображений вида , ^{[примечание 4]} , ^{[примечание 5]} , ^{[примечание 6]} , ^{[примечание 7]} и т.д. (см примечания для деталей) .${\displaystyle Z\to Y}$ ${\displaystyle X\to Z}$ ${\displaystyle W\to Y}$ ${\displaystyle Y\to W}$

Свойства транспонирования

На всем протяжении, и будет спариваться и будет линейной картой, транспонирование которой четко определено.${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle (W,Z,c)}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle F:X\to W}$${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$

• ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$является инъективным (то есть ) , если и только если диапазон плотно в . ^[2]${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=\{0\}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \left(W,\sigma \left(W,Z,c\right)\right)}$
• Если помимо четкого определения, транспонирование также четко определено .${\displaystyle {}^{t}F}$${\displaystyle {}^{t}F}$${\displaystyle {}^{tt}F=F}$
• Предположим, что это спаривание и линейное отображение, транспонирование которого корректно определено. Тогда транспонирование , то есть , хорошо определено и .${\displaystyle (U,V,a)}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle E:U\to X}$${\displaystyle {}^{t}E:Y\to V}$${\displaystyle F\circ E:U\to W}$${\displaystyle {}^{t}(F\circ E):Z\to V}$${\displaystyle {}^{t}(F\circ E)={}^{t}E\circ {}^{t}F}$
• Если векторное пространство изоморфизм , то биективен, транспонированная , который , хорошо определены, и , и пусть обозначает абсолютное полярная из , то: ^[2]${\displaystyle F:X\to W}$${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$${\displaystyle F^{-1}:W\to X}$${\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right):Y\to Z}$${\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right)=\left({}^{t}F\right)^{-1}</math{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}*Let<math>S\subseteq X}$${\displaystyle S^{\circ }}$${\displaystyle A}$
  1. ${\displaystyle [F(S)]^{\circ }=\left({}^{t}F\right)^{-1}\left(S^{\circ }\right)}$;
  2. если для некоторых , то ;${\displaystyle F(S)\subseteq T}$${\displaystyle T\subseteq W}$${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}$
  3. если такое что , то ;${\displaystyle T\subseteq W}$${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}$${\displaystyle F(S)\subseteq T^{\circ \circ }}$
  4. если и - слабо замкнутые диски, то тогда и только тогда, когда ;${\displaystyle T\subseteq W}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}$${\displaystyle F(S)\subseteq T}$
  5. ${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=[F(X)]^{\perp }}$.