В математической области теории представлений , А восстановительное дуальная пара представляет собой пару подгрупп ( G , G ') от изометрии группы Sp ( W ) от симплектическому векторного пространства W , таким образом, что G является централизатор из G ' в Sp ( W ) и наоборот, и эти группы действуют на W редуктивно . Несколько более свободно о двойственной паре говорят, когда две группы являются взаимными централизаторами в более крупной группе, которая часто является общей линейной группой.. Эта концепция была представлена Роджером Хоу в Howe (1979) . Его сильные связи с классической теорией инвариантов обсуждаются в Howe (1989a) .
Примеры
- Полная симплектическая группа G = Sp ( W ) и двухэлементная группа G ′, центр Sp ( W ), образуют редуктивную двойственную пару. Свойство двойного централизатора ясно из способа определения этих групп: централизатор группы G в G является ее центром, а централизатор центра любой группы - это сама группа. Группа G 'состоит из тождественного преобразования и его негатива и может интерпретироваться как ортогональная группа одномерного векторного пространства. Она возникает из последующего развития теории , что эта пара является первым примером общего семейства двойственных пар , состоящих из симплектической группы и ортогональной группы, которые известны как типа я неприводимый редуктивные сдвоенные пары .
- Пусть X быть п - мерное векторное пространство, Y быть его двойной , и W является прямой суммой в X и Y . Тогда W можно естественным образом преобразовать в симплектическое векторное пространство, так что ( X , Y ) будет его лагранжевой поляризацией. Группа G является линейной группой GL ( X ), который действует на тавтологический X и contragrediently на Y . Центризатором группы G в симплектической группе является группа G ′, состоящая из линейных операторов на W , действующих на X умножением на ненулевой скаляр λ и на Y скалярным умножением на его обратный λ −1 . Тогда централизатор группы G ′ равен G , эти две группы действуют полностью приводимо на W и, следовательно, образуют редуктивную двойственную пару. Группу G ′ можно интерпретировать как общую линейную группу одномерного векторного пространства. Эта пара является членом семейства двойственных пар, состоящих из общих линейных групп, известных как неприводимые редуктивные двойственные пары типа II .
Теория строения и классификация
Понятие редуктивной дуальной пары имеет смысл над любым полем F , которое мы считаем фиксированным всюду. Таким образом , W является симплектическим векторным пространством над F .
Если W 1 и W 2 - два симплектических векторных пространства и ( G 1 , G ′ 1 ), ( G 2 , G ′ 2 ) - две редуктивные дуальные пары в соответствующих симплектических группах, то мы можем сформировать новое симплектическое векторное пространство W = W 1 ⊕ W 2 и пара групп G = G 1 × G 2 , G ′ = G ′ 1 × G ′, 2, действующих на W изометриями. Оказывается, ( G , G ′) редуктивная двойственная пара. Редуктивная двойственная пара называется приводимой, если она может быть получена таким образом из меньших групп, и неприводимой в противном случае. Приводимая пара может быть разложена на прямое произведение неприводимых, и для многих целей достаточно ограничиться рассмотрением неприводимого случая.
Несколько классов редуктивных дуальных пар появились ранее в работах Андре Вейля . Роджер Хоу доказал классификационную теорему, согласно которой в неприводимом случае эти пары исчерпывают все возможности. Неприводимая редуктивная двойственная пара ( G , G ′) в Sp ( W ) называется типом II, если существует лагранжево подпространство X в W , инвариантное как относительно G, так и G ′, и типа I в противном случае.
Архетипическая неприводимая редуктивная дуальная пара типа II состоит из пары общих линейных групп и возникает следующим образом. Пусть U и V - два векторных пространства над F , X = U ⊗ F V - их тензорное произведение, а Y = Hom F ( X , F ) - его двойственное . Тогда прямую сумму W = X ⊕ Y можно снабдить симплектической формой такой, что X и Y являются лагранжевыми подпространствами, а ограничение симплектической формы на X × Y ⊂ W × W совпадает со спариванием между векторным пространством X и сопряженное Y . Если G = GL ( U ) и G ′ = GL ( V ), то обе эти группы действуют линейно на X и Y , действия сохраняют симплектическую форму на W , и ( G , G ′) является неприводимой редуктивной двойственной парой. Заметим, что X - инвариантное лагранжево подпространство, поэтому эта двойственная пара имеет тип II.
Архетипическая неприводимая редуктивная дуальная пара типа I состоит из ортогональной группы и симплектической группы и строится аналогично. Пусть U - ортогональное векторное пространство, V - симплектическое векторное пространство над F , а W = U ⊗ F V - их тензорное произведение. Ключевое наблюдение состоит в том, что W - симплектическое векторное пространство, билинейная форма которого получается из произведения форм на тензорные множители. Более того, если G = O ( U ) и G '= Sp ( V ) являются группы изометрий из U и V , то они действуют на W естественным образом, эти действия являются симплектическими, и ( G , G ') является неприводимая редуктивная двойственная пара типа I.
Эти две конструкций производят все неприводимые редуктивные сдвоенные пары над алгебраически замкнутым полем F , например, поле C из комплексных чисел . В общем, можно заменить векторные пространства над F векторными пространствами над алгеброй с делением D над F и действовать аналогично описанному выше, чтобы построить неприводимую редуктивную двойственную пару типа II. Для типа I мы начинаем с алгебры с делением D с инволюцией τ, эрмитовой формой на U и косоэрмитовой формой на V (обе они невырождены) и формируем их тензорное произведение над D , W = U ⊗ D V . Тогда W естественным образом наделяется структурой симплектического векторного пространства над F , группы изометрий U и V действуют симплектически на W и образуют неприводимую редуктивную двойственную пару типа I. Роджер Хау доказал, что с точностью до изоморфизма любая неприводимая двойная пара возникает таким образом. Явный список для случая F = R появляется в Howe (1989b) .
Смотрите также
- Соответствие Хау между представлениями элементов редуктивной дуальной пары.
- Группа Гейзенберга
- Метаплектическая группа
Рекомендации
- Хоу, Роджер Э. (1979), «θ-ряды и теория инвариантов» (PDF) , в Бореле, Арман ; Кассельман У. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Часть 1 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XXXIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 275–285, ISBN 978-0-8218-1435-2, MR 0546602
- Хау, Roger E. (1989a), "Замечания по классической теории инвариантов", Труды Американского математического общества , Американского математического общества, 313 (2): 539-570, DOI : 10,2307 / 2001418 , JSTOR 2001418.
- Хау, Roger E. (1989b), "Превосходя классическую теорию инвариантной", журнал Американского математического общества , Американское математическое общество, 2 (3): 535-552, DOI : 10,2307 / 1990942 , JSTOR 1990942.
- Гудман, Роу; Уоллах, Нолан Р. (1998), Представления и инварианты классических групп , Cambridge University Press, ISBN 0-521-66348-2.