В математике , то группа изометрий из метрического пространства является множество всех биективных изометрии (т.е. биективными, сохраняющим расстояние карты) от метрики пространства на себя, с функцией композицией как групповая операция. Его элементом идентичности является функция идентичности . [1] Элементы группы изометрий иногда называют движениями пространства.
Каждая группа изометрий метрического пространства является подгруппой изометрий. В большинстве случаев он представляет собой возможный набор симметрий объектов / фигур в пространстве или функций, определенных в пространстве. См. Группу симметрии .
Дискретная группа изометрий - это группа изометрий, такая что для каждой точки пространства набор изображений точки при изометриях является дискретным множеством .
В псевдоевклидовом пространстве метрика заменяется изотропной квадратичной формой ; преобразования, сохраняющие эту форму, иногда называют «изометриями», и тогда говорят, что их совокупность образует группу изометрий псевдоевклидова пространства.
Примеры
- Группа изометрий подпространства метрического пространства, состоящего из точек разностороннего треугольника, является тривиальной группой . Аналогичное пространство для равнобедренного треугольника - это циклическая группа второго порядка C 2 . Аналогичное пространство для равностороннего треугольника - это D 3 , группа диэдра порядка 6 .
- Группа изометрий двумерной сферы - это ортогональная группа O (3). [2]
- Группа изометрий n- мерного евклидова пространства - это евклидова группа E ( n ). [3]
- Группа изометрий модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости - это проективная специальная унитарная группа SU (1,1) .
- Группа изометрий модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической плоскости - это PSL (2, R) .
- Группа изометрий пространства Минковского - это группа Пуанкаре . [4]
- Римановы симметрические пространства - важные случаи, когда группа изометрий является группой Ли .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Бураго, Дмитрий; Бураго, Юрий; Иванов, Сергей (2001), Курс метрической геометрии , Аспирантура по математике , 33 , Провиденс, РИ: Американское математическое общество, с. 75, ISBN 0-8218-2129-6, MR 1835418.
- ^ Бергер, Марсель (1987), Геометрия. II , Universitext, Берлин: Springer-Verlag, стр. 281, DOI : 10.1007 / 978-3-540-93816-3 , ISBN 3-540-17015-4, MR 0882916.
- ^ Олвер, Питер Дж. (1999), Классическая теория инвариантов , Тексты студентов Лондонского математического общества, 44 , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 53, DOI : 10.1017 / CBO9780511623660 , ISBN 0-521-55821-2, Руководство по ремонту 1694364.
- ^ Мюллер-Кирстен, Харальд Дж. В.; Видеманн, Армин (2010), Введение в суперсимметрию , World Scientific Lecture Notes in Physics, 80 (2-е изд.), Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., п. 22, DOI : 10,1142 / 7594 , ISBN 978-981-4293-42-6, MR 2681020.