Псевдоевклидово пространство

В математике и теоретической физике , псевдоевклидово пространства является конечно- мерного реальным $п$ -пространством вместе с непостоянным вырожденным квадратичной формой $д$ . Такая квадратичная форма при соответствующем выборе базиса $(e 1, ..., e n)$ может быть применена к вектору $x = x 1 e 1 + ... + x n e n$ , давая

{\ displaystyle q (x) = \ left (x_ {1} ^ {2} + \ ldots + x_ {k} ^ {2} \ right) - \ left (x_ {k + 1} ^ {2} + \ ldots + x_ {n} ^ {2} \ right)}

который называется скалярным квадратом вектора

x

. ^[1]^{: 3}

Для евклидовых пространств , $к = п$ , подразумевая , что квадратичная форма положительно определена. ^[2] Когда $0 \neq k \neq n$ , $q$ - изотропная квадратичная форма . Обратите внимание, что если $1 \leq i \leq k$ и $k < j \leq n$ , то $q (e i + e j) = 0$ , так что $e i + e j$ является нулевым вектором. В псевдоевклидовом пространстве с $k \neq n$ , в отличие от евклидова пространства, существуют векторы с отрицательным скалярным квадратом.

Как и в случае с термином « евклидово пространство» , термин « псевдоевклидово пространство» может использоваться для обозначения аффинного пространства или векторного пространства в зависимости от автора, причем последнее альтернативно может называться псевдоевклидовым векторным пространством ^[3] (см. точка-векторное различие ).

Геометрия [ править ]

Геометрия псевдоевклидова пространства согласована, несмотря на то, что некоторые свойства евклидова пространства не применяются, в первую очередь то, что это не метрическое пространство, как объясняется ниже. Аффинная структура не изменяется, и , таким образом , также понятие линии , плоскость , и, вообще, из аффинного подпространства ( плоский ), а также линейных сегментов .

Положительные, нулевые и отрицательные скалярные квадраты [ править ]

п = 3

,

к

равен 1 или 2зависимости от выбора знака из

ц

Вектор нуль - вектор , для которого квадратичная форма равна нулю. В отличие в евклидовом пространстве, такой вектор может быть отличен от нуля, и в этом случае оно само ортогональны . Если квадратичная форма неопределенна, псевдоевклидово пространство имеет линейный конус нулевых векторов, заданных как ${x : q (x) = 0}$ . Когда псевдоевклидово пространство предоставляет модель пространства-времени (см. Ниже ), нулевой конус называется световым конусом начала координат.

Нулевой конус разделяет два открытых множества , ^[4] соответственно, для которых $q (x)> 0$ и $q (x) <0$ . Если $к \geq 2$ , то множество векторов , для которых $д (х)> 0$ будет подключен . Если $k = 1$ , то он состоит из двух непересекающихся частей, одна с $x 1 > 0,$ а другая с $x 1 <0$ . Аналогичные утверждения можно сделать для векторов, для которых $q (x) <0,$ если $k$ заменяется на $n - k$ .

Интервал [ править ]

Квадратичная форма $q$ соответствует квадрату вектора в евклидовом случае. Чтобы определить векторную норму (и расстояние) инвариантным образом, нужно получить квадратные корни из скалярных квадратов, что приводит к возможно мнимым расстояниям; см. квадратный корень из отрицательных чисел . Но даже для треугольника с положительными скалярными квадратами всех трех сторон (у которых квадратные корни действительны и положительны) неравенство треугольника в общем случае не выполняется.

Следовательно, термины норма и расстояние избегаются в псевдоевклидовой геометрии, которые могут быть заменены скалярным квадратом и интервалом соответственно.

Хотя для кривой, у которой все касательные векторы имеют скалярные квадраты одного знака, длина дуги определена. У него есть важные приложения: например, видеть правильное время .

Вращения и сферы [ править ]

Вращения группа такого пространства является неопределенным ортогональной группой $О (д)$ , также обозначается как $O (к, п - K)$ без ссылки на определенную квадратичную форму. ^[5] Такие «повороты» сохраняют форму $q$ и, следовательно, скалярный квадрат каждого вектора, включая положительный, нулевой или отрицательный он.

В то время как евклидово пространство имеет единичную сферу , псевдоевклидово пространство имеет гиперповерхности ${x : q (x) = 1}$ и ${x : q (x) = -1}$ . Такая гиперповерхность, называемая квазисферой , сохраняется соответствующей неопределенной ортогональной группой.

Симметричная билинейная форма [ править ]

Квадратичная форма $q$ приводит к симметричной билинейной форме, определяемой следующим образом:

{\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = {\ frac {1} {2}} [q (x + y) -q (x) -q (y)] = \ left (x_ {1} y_ {1) } + \ ldots + x_ {k} y_ {k} \ right) - \ left (x_ {k + 1} y_ {k + 1} + \ ldots + x_ {n} y_ {n} \ right).}

Квадратичная форма может быть выражена в терминах билинейной формы: $д (х) = ⟨ х, х ⟩$ .

При $⟨ х, у ⟩ = 0$ , то $х$ и $у$ являются ортогональными векторами псевдо-евклидовом пространства.

Эту билинейную форму часто называют скалярным произведением , а иногда и «внутренним продуктом» или «скалярным произведением», но она не определяет пространство внутреннего продукта и не обладает свойствами скалярного произведения евклидовых векторов.

Если $х$ и $у$ ортогональны и $д (х) д (у) <0$ , то $х$ является гиперболическим-ортогональным к $у$ .

Стандартный базис вещественного $п$ -пространства является ортогональным . Есть не Орто нормальные базисы в псевдо-евклидово пространство , для которого билинейная форма является неопределенным, поскольку он не может быть использован для определения векторной нормы .

Подпространства и ортогональность [ править ]

Для (положительной размерности) подпространства ^[6] $U$ из псевдо-евклидовом пространстве, когда квадратичная форма $д$ является ограниченным в $U$ , следующие три случая:

$q | U$ либо положительно, либо отрицательно определено . Тогда $U$ по существу евклидово (с точностью до знака $q$ ).
$q | U$ неопределенное, но невырожденное. Тогда $U$ само по себе псевдоевклидово. Это возможно только при $dim U \geq 2$ ; если $dim U = 2$ , что означает, что $U$ является плоскостью , то она называется гиперболической плоскостью .
$q | U$ вырожден.

Одно из самых неприятных свойств (для евклидовой интуиции) псевдоевклидовых векторов и плоскостей - их ортогональность . Когда два ненулевых евклидовых вектора ортогональны, они не коллинеарны . Пересечения любого линейного евклидова подпространства с его ортогональным дополнением - это подпространство {0} . Но из определения из предыдущего пункта сразу следует, что любой вектор $ν$ с нулевым скалярным квадратом ортогонален самому себе. Следовательно, изотропная линия $N = ⟨ N , ⟩$ , порожденным нулевой вектор v , является подмножеством своего ортогонального дополнения $N ⊥$ .

Формальное определение ортогонального дополнения векторного подпространства в псевдоевклидовом пространстве дает совершенно четко определенный результат, который удовлетворяет равенству $dim U + dim U ⊥ = n$ из-за невырожденности квадратичной формы. Это просто условие

U \cap U ⊥ = {0}

или, что то же самое,

U + U ⊥ =

все пространство,

которое может быть нарушено, если подпространство $U$ содержит нулевое направление. ^[7] Хотя подпространства образуют решетку , как и в любом векторном пространстве, эта операция $⊥$ не является ортодополнением , в отличие от пространств внутреннего произведения .

Для подпространства $N,$ полностью состоящего из нулевых векторов (что означает, что скалярный квадрат $q$ , ограниченный до $N$ , равен $0$ ), всегда выполняется:

N \subset N ⊥

или,эквивалентно,

N \cap N ⊥ = N

.

Такое подпространство может иметь до $min (k, n - k)$ размерностей . ^[8]

Для (положительного) евклидова $k$ -подпространства его ортогональным дополнением является $(n - k)$ -мерное отрицательное «евклидово» подпространство, и наоборот. Как правило, для $(d + + d - + d 0)$ -мерного подпространства $U,$ состоящего из $d +$ положительных и $d -$ отрицательных размерностей (см . Закон инерции Сильвестра для пояснения), его ортогональное "дополнение" $U ⊥$ имеет $(k - d + - d 0)$ положительные и $(n - k - d - - d 0)$ отрицательные измерения, а остальные $d 0$ вырождены и образуютпересечение $U \cap U ⊥$ .

Закон параллелограмма и теорема Пифагора [ править ]

Закон параллелограмма принимает вид

{\ displaystyle q (x) + q (y) = {\ frac {1} {2}} (q (x + y) + q (xy)).}

Используя квадрат тождества суммы , для произвольного треугольника можно выразить скалярный квадрат третьей стороны из скалярных квадратов двух сторон и их произведения билинейной формы:

q(x+y)=q(x)+q(y)+2\langle x,y\rangle .

Это демонстрирует, что для ортогональных векторов выполняется псевдоевклидов аналог теоремы Пифагора :

\langle x,y\rangle =0\Rightarrow q(x)+q(y)=q(x+y).

Угол [ править ]

Как правило, абсолютное значение $| ⟨ Х, у ⟩ |$ билинейной формы на двух векторах может быть больше $\sqrt | q (x) q (y) |$ , равно ему или меньше. Это вызывает аналогичные проблемы с определением угла (см. Точечное произведение § Геометрическое определение ), как это было описано выше для расстояний.

Если $k = 1$ (только один положительный член в $q$ ), то для векторов положительного скалярного квадрата:

|\langle x,y\rangle |\geq {\sqrt {q(x)q(y)}}\,,

который позволяет определять гиперболический угол , аналог угла между этими векторами через обратный гиперболический косинус :

\operatorname {arccosh} {\frac {|\langle x,y\rangle |}{\sqrt {q(x)q(y)}}}\,.

^[9]

Он соответствует расстоянию на $(n - 1)$ -мерном гиперболическом пространстве . В контексте теории относительности, обсуждаемой ниже, это известно как скорость . В отличие от евклидова угла, он принимает значения от $[0, + \infty)$ и равен 0 для антипараллельных векторов.

Нет разумного определения угла между нулевым вектором и другим вектором (нулевым или ненулевым).

Алгебра и тензорное исчисление [ править ]

Как и евклидовы пространства, каждое псевдоевклидово векторное пространство порождает алгебру Клиффорда . В отличие от свойств выше, где замена $q$ на $- q$ изменяет числа, но не геометрию , изменение знака квадратичной формы приводит к отдельной алгебре Клиффорда, поэтому, например, $Cl 1,2 (R)$ и $Cl 2,1 (R)$ являются не изоморфен.

Как и в любом векторном пространстве, существуют псевдоевклидовы тензоры . Как и в случае с евклидовой структурой, существуют операторы повышения и понижения индексов, но, в отличие от случая с евклидовыми тензорами , нет базисов, в которых эти операции не изменяют значения компонентов . Если существует вектор $v β$ , соответствующий ковариантный вектор :

v_{\alpha }=q_{\alpha \beta }v^{\beta }\,,

и со стандартной формой

q_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}I_{k\times k}&0\\0&-I_{(n-k)\times (n-k)}\end{pmatrix}}

первые $k$ компонентов $v α$ численно такие же, как и компоненты $v β$ , но остальные $n - k$ имеют противоположные знаки .

Соответствие между контравариантными и ковариантными тензорами делает тензорное исчисление на псевдоримановых многообразиях обобщением одного на римановых многообразиях.

Примеры [ править ]

Очень важно псевдоевклидово пространство Минковского пространство , которое является математическая постановка , в которой Альберт Эйнштейн теория «S из специальной теории относительности формулируется. Для пространства Минковского $n = 4$ и $k = 3$ ^[10], так что

q(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2},

Геометрия, связанная с этой псевдометрикой, была исследована Пуанкаре . ^[11]^[12] Его группа вращений - это группа Лоренца . Группа Пуанкаре включает также переводы и играет ту же роль, что и евклидовы группы обычных евклидовых пространств.

Другое псевдоевклидово пространство - это плоскость $z = x + yj,$ состоящая из расщепленных комплексных чисел , снабженная квадратичной формой

\lVert z\rVert =zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}.

Это простейший случай неопределенного псевдоевклидова пространства ( $n = 2$ , $k = 1$ ) и единственный, где нулевой конус делит пространство на четыре открытых множества. Группа $SO + (1, 1)$ состоит из так называемых гиперболических вращений .

См. Также [ править ]

Псевдориманово многообразие
Гиперболическое уравнение
Модель гиперболоида
Паравектор

Сноски [ править ]

^ Эли Картана (1981), Теория спиноров , Dover Publications , ISBN 0-486-64070-1
^ Евклидовы пространства рассматриваются как псевдоевклидовы пространства - см., Например, Рафаля Абламовича; П. Лунесто (2013), Алгебры Клиффорда и спинорные структуры , Springer Science & Business Media , стр. 32.
^ Рафаль Абламович; П. Лунесто (2013), Алгебры Клиффорда и спинорные структуры , Springer Science & Business Media , стр. 32 [1]
^ Предполагается стандартная топология на $R n$ .
^ Что такое «группа вращений», зависит от точного определения вращения. Группы "O" содержат неправильные повороты . Преобразования, сохраняющие ориентацию, образуют группу $SO (q)$ или $SO (k, n - k)$ , но она также не является связной, если и $k,$ и $n - k$ положительны. Группа $SO + (q)$ , сохраняющая ориентацию на положительных и отрицательных скалярных квадратах по отдельности, является (связным) аналогом евклидовой группы вращений $SO (n)$ . В самом деле, все эти группы являются группами Ли размерности $1 / 2 п (п - 1)$ .
^ Предполагается линейное подпространство , но те же выводы верны для аффинной плоскости с той лишь сложностью, что квадратичная форма всегда определяется на векторах, а не на точках.
^ На самом деле $U \cap U ⊥$ не равно нулю, только еслиограниченная на $U$ квадратичная форма $q$ вырождена.
^ Томас Э. Сесил (1992) геометрия сферы Ли , страница 24, Universitext Springer ISBN 0-387-97747-3
^ Обратите внимание, что $cos (i arccosh s) = s$ , поэтому при $s > 0$ их можно понимать как мнимые углы.
^ Другой устоявшихся представление использует $к = 1$ и координируют индексыначиная с $0$ (отсюда $д (х) = х 02 - х 12 - х 22 - х 32$ ), но они эквивалентны с точностью до знака из $ц$ . См. Соглашение о подписи § Метрическая подпись .
^ Х. Пуанкаре (1906) О динамике электрона , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo
^ BA Розенфельд (1988) История неевклидовой геометрии , стр. 266, Исследования по истории математики и физических наук # 12, Springer ISBN 0-387-96458-4

Ссылки [ править ]

Картан Эли (1981) [1938], Теория спиноров , Нью-Йорк: Dover Publications , с. 3, ISBN 978-0-486-64070-9, MR 0631850
Вернер Грой (1963) Линейная алгебра , 2-е издание, §12.4 Псевдоевклидовы пространства, стр. 237–49, Springer-Verlag.
Уолтер Нолл (1964) «Евклидова геометрия и хронометрия Минковского», American Mathematical Monthly 71: 129–44.
Новиков, СП; Фоменко АТ; [пер. с русского М. Цаплиной] (1990). Основные элементы дифференциальной геометрии и топологии . Дордрехт; Бостон: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-1009-8.
Секерес, Питер (2004). Курс современной математической физики: группы, гильбертово пространство и дифференциальная геометрия . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-82960-7.
Шафаревич И.Р . ; А.О. Ремизов (2012). Линейная алгебра и геометрия . Springer . ISBN 978-3-642-30993-9.

Внешние ссылки [ править ]

Д.Д. Соколов (составитель), Псевдоевклидово пространство , Математическая энциклопедия.

[1] Эли Картана (1981), Теория спиноров , Dover Publications , ISBN 0-486-64070-1

[2] Евклидовы пространства рассматриваются как псевдоевклидовы пространства - см., Например, Рафаля Абламовича; П. Лунесто (2013), Алгебры Клиффорда и спинорные структуры , Springer Science & Business Media , стр. 32.

[3] Рафаль Абламович; П. Лунесто (2013), Алгебры Клиффорда и спинорные структуры , Springer Science & Business Media , стр. 32 [1]

[4] Предполагается стандартная топология на $R n$ .

[5] Что такое «группа вращений», зависит от точного определения вращения. Группы "O" содержат неправильные повороты . Преобразования, сохраняющие ориентацию, образуют группу $SO (q)$ или $SO (k, n - k)$ , но она также не является связной, если и $k,$ и $n - k$ положительны. Группа $SO + (q)$ , сохраняющая ориентацию на положительных и отрицательных скалярных квадратах по отдельности, является (связным) аналогом евклидовой группы вращений $SO (n)$ . В самом деле, все эти группы являются группами Ли размерности $1 / 2 п (п - 1)$ .

[6] Предполагается линейное подпространство , но те же выводы верны для аффинной плоскости с той лишь сложностью, что квадратичная форма всегда определяется на векторах, а не на точках.

[7] На самом деле $U \cap U ⊥$ не равно нулю, только еслиограниченная на $U$ квадратичная форма $q$ вырождена.

[8] Томас Э. Сесил (1992) геометрия сферы Ли , страница 24, Universitext Springer ISBN 0-387-97747-3

[9] Обратите внимание, что $cos (i arccosh s) = s$ , поэтому при $s > 0$ их можно понимать как мнимые углы.

[10] Другой устоявшихся представление использует $к = 1$ и координируют индексыначиная с $0$ (отсюда $д (х) = х 02 - х 12 - х 22 - х 32$ ), но они эквивалентны с точностью до знака из $ц$ . См. Соглашение о подписи § Метрическая подпись .

[11] Х. Пуанкаре (1906) О динамике электрона , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo

[12] BA Розенфельд (1988) История неевклидовой геометрии , стр. 266, Исследования по истории математики и физических наук # 12, Springer ISBN 0-387-96458-4

[1]