Знак (математика)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Знаковая» математика  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Плюс и минус символы используются для отображения знака числа.

В математике понятие знака происходит из того свойства, что каждое действительное число может быть положительным, отрицательным или нулевым . В зависимости от местных соглашений ноль не считается ни положительным числом, ни отрицательным числом (не имеющим знака или своего собственного знака), либо принадлежащим как отрицательным, так и положительным числам (имеющим оба знака). ^{[ необходима цитата ]} Если не указано иное, эта статья соответствует первому соглашению.

В некоторых случаях имеет смысл рассматривать ноль со знаком (например, представления вещественных чисел с плавающей запятой на компьютерах). В математике и физике фраза «смена знака» связана с генерацией аддитивного обратного (отрицание или умножение на -1 ) любого объекта, который допускает эту конструкцию, и не ограничивается действительными числами. Среди других объектов он применяется к векторам, матрицам и комплексным числам ^[1], которым не предписано быть только положительными, отрицательными или нулевыми. Слово «знак» также часто используется для обозначения других двоичных аспектов математических объектов, которые напоминают положительность и отрицательность, например нечетное и четное ( знак перестановки), направление ориентации или вращения (по часовой стрелке / против часовой стрелки ), односторонние ограничения и другие концепции, описанные в § Другие значения ниже.

Знак числа [ править ]

Числа из различных систем счисления, таких как целые числа , рациональные числа , комплексные числа , кватернионы , октонионы , ... могут иметь несколько атрибутов, которые фиксируют определенные свойства числа. Если система счисления имеет структуру упорядоченного кольца , например, целые числа, она должна содержать число, которое не меняет никакого числа при добавлении к нему (аддитивный элемент идентичности ). Это число обычно обозначается как 0. Из-за общего порядка в этом кольце есть числа больше нуля, называемые положительными.числа. Для других свойств, требуемых внутри кольца, для каждого такого положительного числа существует число меньше 0, которое при добавлении к положительному числу дает результат 0. Эти числа меньше 0 называются отрицательными числами. Числа в каждой такой паре являются соответствующими им аддитивными обратными . Этот атрибут числа, состоящий исключительно из нуля (0) , положительного (+) или отрицательного (-) , называется его знаком и часто кодируется действительными числами 0, 1 и -1,соответственно (аналогично тому, как определяется функция знака ). ^[2] Поскольку рациональные и действительные числа также являются упорядоченными кольцами (четными полями ), эти системы счисления имеют один и тот же атрибут знака .

В то время как в арифметике знак минус обычно рассматривается как представление бинарной операции вычитания, в алгебре он обычно рассматривается как представление унарной операции, дающей аддитивную инверсию (иногда называемую отрицанием ) операнда. В то время как 0 является собственной аддитивной инверсией (-0 = 0), аддитивная инверсия положительного числа отрицательна, а аддитивная инверсия отрицательного числа положительна. Двойное применение этой операции записывается как - (- 3) = 3. Знак плюс в основном используется в алгебре для обозначения бинарной операции сложения и лишь изредка, чтобы подчеркнуть положительность выражения.

В общепринятой цифровой записи (используемой в арифметике и других местах) знак числа часто делается явным, помещая перед числом знак плюс или минус . Например, +3 обозначает «положительную тройку», а −3 обозначает «отрицательную тройку» (алгебраически: аддитивная величина, обратная 3 ). Без определенного контекста (или когда не указан явный знак) число по умолчанию интерпретируется как положительное. Эта запись устанавливает прочную связь знака минус « - » с отрицательными числами и знака плюс «+» с положительными числами.

Знак нуля [ править ]

В рамках соглашения о том, что ноль не является ни положительным, ни отрицательным, конкретное знаковое значение 0 может быть присвоено числовому значению 0 . Это используется в -функции , как определено для действительных чисел. ^[2] В арифметике +0 и -0 обозначают одно и то же число 0 . Как правило, нет опасности спутать значение с его знаком, хотя соглашение о присвоении обоим знакам значения 0 не сразу допускает такое различение. sgn {\ displaystyle \ operatorname {sgn}}

В некоторых контекстах, особенно в вычислительной технике , полезно рассматривать подписанные версии нуля, где нули со знаком относятся к различным представлениям дискретных чисел (подробнее см. Представления чисел со знаком).

Символы +0 и -0 редко используются в качестве замены 0 ⁺ и 0 ^- , используемых в расчетах и математическом анализе для односторонних пределов (правосторонний предел и левосторонний предел, соответственно). ^[3] Это обозначение относится к поведению функции, когда ее реальная входная переменная приближается к 0 вдоль положительных (соответственно отрицательных) значений; эти два ограничения могут не существовать или согласовываться.

Терминология знаков [ править ]

Когда говорят, что 0 не является ни положительным, ни отрицательным, следующие фразы могут относиться к знаку числа:

• Число положительное, если оно больше нуля.
• Число отрицательное, если оно меньше нуля.
• Число является неотрицательным, если оно больше или равно нулю.
• Число не является положительным, если оно меньше или равно нулю.

Когда 0 считается как положительным, так и отрицательным, для обозначения знака числа используются модифицированные фразы:

• Число строго положительно, если оно больше нуля.
• Число строго отрицательное, если оно меньше нуля.
• Число считается положительным, если оно больше или равно нулю.
• Число является отрицательным, если оно меньше или равно нулю.

Например, абсолютное значение действительного числа всегда «неотрицательно», но не обязательно «положительно» в первой интерпретации, тогда как во второй интерпретации оно называется «положительным», хотя и не обязательно «строго положительным». .

Та же терминология иногда используется для функций, которые возвращают действительные или другие значения со знаком. Например, функция будет называться положительной функцией, если ее значения положительны для всех аргументов ее домена, или неотрицательной функцией, если все ее значения неотрицательны.

Комплексные числа [ править ]

Комплексные числа невозможно упорядочить, поэтому они не могут нести структуру упорядоченного кольца и, соответственно, не могут быть разделены на положительные и отрицательные комплексные числа. Однако у них есть общий атрибут с вещественными числами, который называется абсолютным значением или величиной . Величины всегда являются неотрицательными действительными числами, и любому ненулевому числу принадлежит положительное действительное число, его абсолютное значение .

Например, абсолютное значение −3 и абсолютное значение 3 равны 3. Это записывается символами как | −3 | = 3 и | 3 | = 3.

В общем, любое произвольное действительное значение можно определить по его величине и знаку. Используя стандартное кодирование, любое действительное значение дается произведением величины и знака в стандартном кодировании. Это соотношение можно обобщить, чтобы определить знак для комплексных чисел.

Поскольку действительные и комплексные числа образуют поле и содержат положительные действительные числа, они также содержат обратные величины всех ненулевых чисел. Это означает, что любое ненулевое число можно умножить на величину, обратную его величине, то есть разделить на его величину. Непосредственно частное любого ненулевого действительного числа по его величине дает в точности его знак. По аналогии, знак комплексного числа г может быть определен как частное от г и его величина | z | . Поскольку величина комплексного числа делится, получившийся знак комплексного числа в некотором смысле представляет его сложный аргумент. Это нужно сравнивать со знаком действительных чисел, за исключением определения сложной знаковой функции. см. § Комплексную знаковую функцию ниже.${\ displaystyle e ^ {я \ pi} = - 1.}$

Функции подписи [ править ]

При работе с числами часто бывает удобно иметь их знак в виде числа. Это достигается функциями, которые извлекают знак любого числа и сопоставляют его с предопределенным значением, прежде чем сделать его доступным для дальнейших вычислений. Например, было бы полезно сформулировать сложный алгоритм только для положительных значений и позаботиться о знаке только после этого.

Функция реального знака [ править ]

Функция знака или функция знака извлекает знак действительного числа путем сопоставления набора действительных чисел с набором из трех действительных чисел. Его можно определить следующим образом: ^[2]${\ displaystyle \ {- 1, \; 0, \; 1 \}.}$

${\ displaystyle \ operatorname {sgn}: \ mathbb {R} \ to \ {x \ in \ mathbb {R}: | x | = 1 \} \ cup \ {0 \}}$

${\ displaystyle x \ mapsto \ operatorname {sgn} (x) = {\ begin {cases} -1 & {\ text {if}} x <0, \\ ~~ \, 0 & {\ text {if}} x = 0, \\ ~~ \, 1 & {\ text {if}} x> 0. \ end {ases}}}$

Таким образом, sgn ( x ) равен 1, когда x положительный, и sgn ( x ) равен -1, когда x отрицателен. Для ненулевых значений x эту функцию также можно определить по формуле

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}}$,

где | х | это абсолютное значение по х .

Сложная функция знака [ править ]

В то время как действительное число имеет одномерное направление, комплексное число имеет двумерное направление. Для комплексной знаковой функции требуется величина аргумента z = x + iy , которую можно вычислить как

${\displaystyle |z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Аналогично предыдущему, функция комплексного знака извлекает комплексный знак комплексного числа, отображая набор ненулевых комплексных чисел в набор унимодулярных комплексных чисел, а от 0 до 0: Это может быть определено следующим образом:${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}\cup \{0\}.}$

Пусть z также выражается его величиной и одним из аргументов φ как z = | z | ⋅ e ^iφ , тогда ^[4]

${\displaystyle \operatorname {sgn}(z)={\begin{cases}0&&{\text{for }}z=0\\\displaystyle {\frac {z}{|z|}}=e^{i\varphi }&&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Это определение также можно распознать как нормализованный вектор, то есть вектор, направление которого не изменилось, а длина зафиксирована на единице . Если исходное значение было R, θ в полярной форме, то sign (R, θ) равно 1 θ. Расширение sign () или signum () до любого количества измерений очевидно, но это уже было определено как нормализация вектора.

Знаков в соответствии с соглашением [ править ]

В ситуациях, когда существует ровно две одинаковые возможности для атрибута, они часто обозначаются условно как плюс и минус соответственно. В некоторых контекстах выбор этого присвоения (то есть, какой диапазон значений считается положительным, а какой отрицательным) является естественным, тогда как в других контекстах выбор является произвольным, что делает необходимым явное соглашение о знаках, единственное требование - последовательное использование конвенция.

Знак угла [ править ]

Во многих контекстах принято связывать знак с мерой угла , особенно с ориентированным углом или углом поворота . В такой ситуации знак указывает, направлен ли угол по часовой стрелке или против часовой стрелки. Хотя могут использоваться разные соглашения, в математике принято считать, что углы против часовой стрелки считаются положительными, а углы по часовой стрелке считаются отрицательными. ^[5]

Также можно связать знак с углом поворота в трех измерениях, предполагая, что ось вращения ориентирована. В частности, правое вращение вокруг ориентированной оси обычно считается положительным, а левостороннее - отрицательным.

Знак изменения [ править ]

Когда величина x изменяется во времени, изменение значения x обычно определяется уравнением

${\displaystyle \Delta x=x_{\text{final}}-x_{\text{initial}}.}$

Используя это соглашение, увеличение x считается положительным изменением, а уменьшение x считается отрицательным изменением. В исчислении это же соглашение используется при определении производной . В результате любая возрастающая функция имеет положительную производную, а любая убывающая функция имеет отрицательную производную.

Знак направления [ править ]

В аналитической геометрии и физике принято обозначать определенные направления как положительные или отрицательные. В качестве базового примера числовая линия обычно рисуется с положительными числами справа и отрицательными числами слева:

В результате при обсуждении линейного движения , смещения или скорости движение вправо обычно рассматривается как положительное, в то время как подобное движение влево считается отрицательным.

На декартовой плоскости правое и восходящее направления обычно считаются положительными, при этом вправо является положительным направлением по оси x , а вверх - положительным направлением по оси y . Если вектор смещения или скорости разделен на его компоненты вектора , то горизонтальная часть будет положительной для движения вправо и отрицательной для движения влево, а вертикальная часть будет положительной для движения вверх и отрицательной для движения вниз.

Подпись в вычислениях [ править ]

При вычислении целочисленное значение может быть либо со знаком, либо без знака, в зависимости от того, отслеживает ли компьютер знак числа. Ограничивая целочисленную переменную только неотрицательными значениями, можно использовать еще один бит для хранения значения числа. Из-за того, как целочисленная арифметика выполняется в компьютерах, представления чисел со знаком обычно не хранят знак как отдельный независимый бит, вместо этого используя, например, два дополнения .

Напротив, действительные числа хранятся и обрабатываются как значения с плавающей запятой . Значения с плавающей запятой представлены тремя отдельными значениями: мантиссой, показателем степени и знаком. Имея этот отдельный знаковый бит, можно представлять как положительный, так и отрицательный ноль. Большинство языков программирования обычно рассматривают положительный ноль и отрицательный ноль как эквивалентные значения, хотя они предоставляют средства, с помощью которых можно обнаружить различие.

Другие значения [ править ]

Помимо знака действительного числа, слово «знак» также используется по-разному в математике и других науках:

• Слова до знака означает , что, для величины ц , известно , что либо д = Q или Q = - Q для некоторого Q . Это часто выражается как д = ± Q . Для действительных чисел это означает, что только абсолютное значение | q | количество известно. Для комплексных чисел и векторов величина, известная до знака, является более сильным условием, чем величина с известной величиной : помимо Q и - Q, существует много других возможных значений q таких, что | q | = | Q | .
• Знак перестановки определяется положительным , если перестановка четная, и отрицательным , если перестановка нечетная.
• В теории графов , подписан график представляет собой график , в котором каждое ребро было отмечено с положительным или отрицательным знаком.
• В математическом анализе , Заряд является обобщением понятия меры , в котором мера множества может иметь положительные или отрицательные значения.
• В представлении цифр со знаком каждая цифра числа может иметь положительный или отрицательный знак.
• Идеи подписанной области и подписанного объема иногда используются, когда определенные области или объемы удобно считать отрицательными. Это особенно верно в теории детерминант . В (абстрактном) ориентированном векторном пространстве каждый упорядоченный базис векторного пространства может быть классифицирован как положительно или отрицательно ориентированный.
• В физике у любого электрического заряда есть знак, положительный или отрицательный. По соглашению, положительный заряд - это заряд того же знака, что и у протона , а отрицательный заряд - это заряд того же знака, что и у электрона .

См. Также [ править ]

• Знак плюс – минус
• Положительный элемент
• Подпись
• Симметрия в математике

Ссылки [ править ]