Ориентация (векторное пространство)

Левосторонняя ориентация показана слева, а правая - справа.

В математике , ориентация является геометрическим понятием , что в двух измерениях позволяет сказать , когда цикл идет вокруг по часовой стрелке или против часовой стрелки, а в трех измерениях , когда цифра левая рука или правая рука. В линейной алгебре понятие ориентации имеет смысл в произвольной конечной размерности. В этом случае ориентация упорядоченного базиса представляет собой своего рода асимметрию, из-за которой отражение невозможно воспроизвести с помощью простого вращения.. Таким образом, в трех измерениях невозможно превратить левую руку человеческой фигуры в правую, применяя только вращение, но можно сделать это, отразив фигуру в зеркале. В результате в трехмерном евклидовом пространстве две возможные базисные ориентации называются правой и левой (или право-киральной и лево-киральной).

Ориентация в реальном векторном пространстве - это произвольный выбор того, какие упорядоченные базы ориентированы «положительно», а какие «отрицательно». В трехмерном евклидовом пространстве правые основания обычно объявляются положительно ориентированными, но выбор является произвольным, так как им также может быть присвоена отрицательная ориентация. Векторное пространство с выбранной ориентацией называется ориентированным векторным пространством, а пространство без выбранной ориентации называется неориентированным .

Определение [ править ]

Пусть V будет конечномерен вещественное векторное пространство , а б ₁ и б ₂ два заказанные основания для V . Стандартным результатом линейной алгебры является то, что существует единственное линейное преобразование A : V → V, которое переводит b ₁ в b ₂ . Говорят, что основания b ₁ и b ₂ имеют одинаковую ориентацию (или последовательно ориентированы), если A имеет положительный определитель; в противном случае они имеют противоположную ориентацию . Свойство иметь ту же ориентацию , определяет отношение эквивалентности на множестве всех упорядоченных оснований для V . Если V не равно нулю, существует ровно два класса эквивалентности, определяемых этим соотношением. Ориентации на V является назначение +1 к одному классу эквивалентности и -1 к другому. ^[1]

Каждый упорядоченный базис живет в том или ином классе эквивалентности. Таким образом, любой выбор привилегированного упорядоченного базиса для V определяет ориентацию: класс ориентации привилегированного базиса объявляется положительным.

Например, стандартный базис на R ⁿ обеспечивает стандартную ориентацию на R ⁿ (в свою очередь, ориентация стандартного базиса зависит от ориентации декартовой системы координат, на которой он построен). Любой выбор линейного изоморфизма между V и R ^п будет затем обеспечить ориентацию на V .

Порядок элементов в основе имеет решающее значение. Два основания с разным порядком будут отличаться некоторой перестановкой . Они будут иметь одинаковую / противоположную ориентацию в зависимости от того, равна ли сигнатура этой перестановки ± 1. Это потому, что определитель матрицы перестановки равен сигнатуре связанной перестановки.

Аналогично, пусть A - неособое линейное отображение векторного пространства R ⁿ в R ⁿ . Это отображение сохраняет ориентацию, если его определитель положительный. ^[2] Например, в R ³ поворот вокруг декартовой оси Z на угол α сохраняет ориентацию:

\mathbf {A} _{1}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}

в то время как отражение от декартовой плоскости XY не сохраняет ориентацию:

\mathbf {A} _{2}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}

Нульмерный случай [ править ]

В нульмерном случае понятие ориентации вырождается. Нульмерное векторное пространство имеет только одну точку - нулевой вектор. Следовательно, единственным базисом нульмерного векторного пространства является пустое множество . Следовательно, существует единственный класс эквивалентности упорядоченных базисов, а именно класс , единственным членом которого является пустое множество. Это означает, что ориентация нульмерного пространства является функцией $\emptyset$ $\{\emptyset \}$

\{\{\emptyset \}\}\to \{\pm 1\}.

Следовательно, можно сориентировать точку двумя разными способами: положительно и отрицательно.

Поскольку существует только один упорядоченный базис , нульмерное векторное пространство совпадает с нульмерным векторным пространством с упорядоченным базисом. Выбор или, следовательно, выбор ориентации каждого базиса любого нульмерного векторного пространства. Если всем нульмерным векторным пространствам присвоена эта ориентация, то, поскольку все изоморфизмы среди нульмерных векторных пространств сохраняют упорядоченный базис, они также сохраняют ориентацию. Это отличается от случая многомерных векторных пространств, где нет способа выбрать ориентацию так, чтобы она сохранялась при всех изоморфизмах. $\emptyset$ $\{\emptyset \}\mapsto +1$ $\{\emptyset \}\mapsto -1$

Однако бывают ситуации, когда желательно по-разному ориентировать разные точки. Например, рассмотрим фундаментальную теорему исчисления как пример теоремы Стокса . Отрезок $[a, b]$ - это одномерное многообразие с краем , а его границей является множество ${a, b$ }. Чтобы получить правильную формулировку основной теоремы исчисления, точка $b$ должна быть ориентирована положительно, а точка $a$ - отрицательно.

В строке [ править ]

Одномерный случай имеет дело с линией, которую можно пересечь в одном из двух направлений. У линии есть две ориентации, как есть две ориентации у круга. В случае линейного сегмента (связанного подмножества линии) две возможные ориентации приводят к ориентированным линейным сегментам . Ориентируемая поверхность иногда имеет выбранную ориентацию, обозначенную ориентацией линии, перпендикулярной поверхности.

Альтернативные точки зрения [ править ]

Полилинейная алгебра [ править ]

Для любого п - мерного вещественного векторного пространства V мы можем образовать K Th- внешней силы из V , обозначается Л ^К V . Это реальное векторное пространство размерности . Следовательно, векторное пространство Λ ⁿ V (называемое верхней внешней степенью ) имеет размерность 1. То есть Λ ⁿ V - это просто вещественная прямая. Нет никакого априорного выбора того, какое направление на этой линии является положительным. Ориентация - как раз такой выбор. Любая ненулевая линейная форма ω на Λ ⁿ V определяет ориентацию V ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} объявив, что x находится в положительном направлении, когда ω ( x )> 0. Чтобы связать с базисной точкой зрения, мы говорим, что положительно ориентированные базы - это те, на которых ω оценивается в положительное число (поскольку ω является n - форму мы можем оценить его на упорядоченном наборе из n векторов, давая элемент R ). Форма ω называется формой ориентации . Если { e _i } - привилегированный базис для V и { e _i^∗ } - двойственный базис, то форма ориентации, задающая стандартную ориентацию, - это e ₁^∗ ∧ e ₂^∗ ∧… ∧ e _n^∗ .

Связь этого с детерминантной точкой зрения такова: детерминант эндоморфизма можно интерпретировать как индуцированное воздействие на верхнюю внешнюю силу. $T:V\to V$

Теория групп Ли [ править ]

Пусть B множество всех упорядоченных оснований для V . Тогда полная линейная группа GL ( V ) действует на B свободно и транзитивно . (На причудливом языке B - это GL ( V ) - торсор ). Это означает , что в качестве коллектора , B представляет собой (неканонически) гомеоморфно в GL ( V ). Обратите внимание, что группа GL ( V ) не является связной , а имеет две компоненты связности в зависимости от того, является ли определитель преобразования положительным или отрицательным (за исключением GL ₀, которая является тривиальной группой и, следовательно, имеет одну компоненту связности; это соответствует канонической ориентации в нульмерном векторном пространстве). Компонент идентичности GL ( V ) обозначается GL ⁺ ( V ) и состоит из преобразований с положительным определителем. Действие GL ⁺ ( V ) на B является не транзитивно: есть две орбиты , которые соответствуют компонентам связности B . Эти орбиты являются в точности упомянутыми выше классами эквивалентности. Поскольку Bне имеет выделенного элемента (т.е. привилегированной основы); нет естественного выбора, какой компонент является положительным. Сравните это с GL ( V ), у которого есть привилегированный компонент: компонент идентичности. Конкретный выбор гомеоморфизма между B и GL ( V ) эквивалентен выбору привилегированного базиса и, следовательно, определяет ориентацию.

Более формально: и многообразие Штифеля из п -реперное в это - торсером , так это торсером над , т.е. его 2 балла, и выбор одного из них является ориентация. $\pi _{0}(\operatorname {GL} (V))=(\operatorname {GL} (V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)=\{\pm 1\}$ $V$ $\operatorname {GL} (V)$ $V_{n}(V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)$ $\{\pm 1\}$

Геометрическая алгебра [ править ]

Параллельные плоские сегменты с одинаковым положением, величиной и ориентацией, соответствующие одному и тому же бивектору a ∧ b . ^[3]

Различные объекты геометрической алгебры имеют три атрибута или характеристики : отношение, ориентацию и величину. ^[4] Например, вектор имеет положение, определяемое параллельной ему прямой линией, ориентацию, определяемую его смыслом (часто обозначаемым стрелкой), и величиной, определяемой его длиной. Точно так же у бивектора в трех измерениях есть положение, заданное семейством связанных с ним плоскостей (возможно, заданное нормальной линией, общей для этих плоскостей ^[5] ), ориентация (иногда обозначаемая изогнутой стрелкой на плоскости), указывающая выбор смысла прохождения его границы (егоциркуляции ), а величина определяется площадью параллелограмма, определяемой двумя его векторами. ^[6]

Ориентация на многообразиях [ править ]

Ориентацию объема можно определить по ориентации на его границе, обозначенной вращающимися стрелками.

Каждая точка p на n -мерном дифференцируемом многообразии имеет касательное пространство T _p M, которое является n -мерным вещественным векторным пространством. Каждому из этих векторных пространств можно присвоить ориентацию. Некоторые ориентации «плавно меняются» от точки к точке. Из-за определенных топологических ограничений это не всегда возможно. Многообразие, допускающее плавный выбор ориентации касательных пространств, называется ориентируемым .

См. Также [ править ]

Подписать соглашение
Формализмы вращения в трех измерениях
Хиральность (математика)
Правило правой руки
Четные и нечетные перестановки
Декартова система координат
Псевдовектор - Псевдовекторы являются следствием ориентированных пространств.
Ориентация - Обсуждение возможности ориентации в пространстве.
Ориентация векторного расслоения

Ссылки [ править ]

^ W., Weisstein, Эрик. «Ориентация в векторном пространстве» . mathworld.wolfram.com . Проверено 8 декабря 2017 .
^ W., Weisstein, Эрик. «Сохранение ориентации» . mathworld.wolfram.com . Проверено 8 декабря 2017 .
^ Лео Дорст; Даниэль Фонтийне; Стивен Манн (2009). Геометрическая алгебра для компьютерных наук: объектно-ориентированный подход к геометрии (2-е изд.). Морган Кауфманн. п. 32. ISBN 978-0-12-374942-0. Алгебраический бивектор не имеет конкретной формы; геометрически это количество ориентированной площади в определенной плоскости, вот и все.
^ В Jancewicz (1996). «Таблицы 28.1 и 28.2 в разделе 28.3: Формы и псевдоформы » . В Уильяме Эрике Бейлисе (ред.). Клиффордовы (геометрические) алгебры с приложениями к физике, математике и технике . Springer. п. 397. ISBN. 0-8176-3868-7.
^ Уильям Энтони Гранвилл (1904). «§178 Нормальная линия к поверхности». Элементы дифференциального и интегрального исчисления . Джинн и компания. п. 275 .
^ Дэвид Хестенес (1999). Новые основы классической механики: фундаментальные теории физики (2-е изд.). Springer. п. 21. ISBN 0-7923-5302-1.

Внешние ссылки [ править ]

"Ориентация" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

[1] W., Weisstein, Эрик. «Ориентация в векторном пространстве» . mathworld.wolfram.com . Проверено 8 декабря 2017 .

[2] W., Weisstein, Эрик. «Сохранение ориентации» . mathworld.wolfram.com . Проверено 8 декабря 2017 .

[Dorst-3] Лео Дорст; Даниэль Фонтийне; Стивен Манн (2009). Геометрическая алгебра для компьютерных наук: объектно-ориентированный подход к геометрии (2-е изд.). Морган Кауфманн. п. 32. ISBN 978-0-12-374942-0. Алгебраический бивектор не имеет конкретной формы; геометрически это количество ориентированной площади в определенной плоскости, вот и все.

[Jancewicz1-4] В Jancewicz (1996). «Таблицы 28.1 и 28.2 в разделе 28.3: Формы и псевдоформы » . В Уильяме Эрике Бейлисе (ред.). Клиффордовы (геометрические) алгебры с приложениями к физике, математике и технике . Springer. п. 397. ISBN. 0-8176-3868-7.

[Granville-5] Уильям Энтони Гранвилл (1904). «§178 Нормальная линия к поверхности». Элементы дифференциального и интегрального исчисления . Джинн и компания. п. 275 .

[Hestenes-6] Дэвид Хестенес (1999). Новые основы классической механики: фундаментальные теории физики (2-е изд.). Springer. п. 21. ISBN 0-7923-5302-1.

[1]