Стандартная основа

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июль 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Каждый вектор a в трех измерениях представляет собой линейную комбинацию стандартных базисных векторов i , j и k .

В математике , то стандартный базис (также называемый естественный базис ) из координат векторного пространства является множество векторов, координаты которых равны нулю, кроме одного , который равен 1. Например, в случае евклидовой плоскости , образованной парами ( х , у ) из действительных чисел , стандартный базис образован векторами

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {x} = (1,0), \ quad \ mathbf {e} _ {y} = (0,1).}$

Точно так же стандартную основу трехмерного пространства составляют векторы

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).}$

Здесь вектор e _x указывает в направлении x , вектор e _y указывает в направлении y , а вектор e _z указывает в направлении z . Существует несколько общих обозначений для векторов стандартного базиса, включая { e _x ,  e _y ,  e _z }, { e ₁ ,  e ₂ ,  e ₃ }, { i ,  j ,  k } и { x ,  y , z }. Эти векторы иногда пишутся шляпой, чтобы подчеркнуть их статус единичных векторов ( стандартных единичных векторов ).

Эти векторы являются базисом в том смысле, что любой другой вектор может быть однозначно выражен как их линейная комбинация . Например, каждый вектор v в трехмерном пространстве можно однозначно записать как

${\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},}$

в скаляры V _х ,  V _у ,  V _г , являющийся скалярные компоненты вектора V .

В n - мерном евклидовом пространстве стандартный базис состоит из n различных векторов${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\},}$

где e _i обозначает вектор с единицей в i- й координате и нулями в другом месте.

Стандартные базисы могут быть определены для других векторных пространств , определение которых включает коэффициенты, такие как полиномы и матрицы . В обоих случаях стандартный базис состоит из таких элементов пространства, что все коэффициенты, кроме одного, равны 0, а ненулевой - 1. Таким образом, для полиномов стандартный базис состоит из мономов и обычно называется мономиальным базисом . Для матриц стандартный базис состоит из m × n -матриц ровно с одним ненулевым элементом, который равен 1. Например, стандартный базис для матриц 2 × 2 формируется четырьмя матрицами.${\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{11}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{12}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{21}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{22}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Свойства [ править ]

По определению, стандартный базис является последовательностью из ортогональных единичных векторов . Другими словами, это упорядоченный и ортонормированный базис.

Однако упорядоченный ортонормированный базис не обязательно является стандартным. Например, два вектора, представляющие поворот на 30 ° стандартного 2D-базиса, описанного выше, т.е.

${\displaystyle v_{1}=\left({{\sqrt {3}} \over 2},{1 \over 2}\right)\,}$

${\displaystyle v_{2}=\left({1 \over 2},{-{\sqrt {3}} \over 2}\right)\,}$

также являются ортогональными единичными векторами, но они не выровнены с осями декартовой системы координат , поэтому базис с этими векторами не соответствует определению стандартного базиса.

Обобщения [ править ]

Существует стандартное основание и для кольца многочленов в п неизвестных над полем , а именно мономы .

Все вышесказанное - частные случаи семьи

${\displaystyle {(e_{i})}_{i\in I}=((\delta _{ij})_{j\in I})_{i\in I}}$

где - любое множество, а - символ Кронекера , равный нулю, если i ≠ j, и равный 1, если i = j . Это семейство является каноническим базисом R -модуля ( свободного модуля )${\displaystyle I}$${\displaystyle \delta _{ij}}$

${\displaystyle R^{(I)}}$

всех семей

${\displaystyle f=(f_{i})}$

от I в кольце R , которые равны нулю для конечного числа индексов , за исключением, если интерпретировать 1 как 1 _R , блок в R .

Другое использование [ править ]

Существование других «стандартных» базисов стало предметом интереса в алгебраической геометрии , начиная с работ Ходжа 1943 г. о грассманианах . Теперь это часть теории представлений, называемая стандартной теорией мономов . Идея стандартного базиса в универсальной обертывающей в виде алгебры Ли устанавливается теоремой Пуанкаре-Биркгофа-Витта .

Базы Грёбнера также иногда называют стандартными.

В физике стандартные базисные векторы для данного евклидова пространства иногда называют версорами осей соответствующей декартовой системы координат.

См. Также [ править ]

• Канонические единицы
• Примеры векторных пространств § Обобщенное координатное пространство

Ссылки [ править ]

• Райан, Патрик Дж. (2000). Евклидова и неевклидова геометрия: аналитический подход . Кембридж; Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-27635-7. (стр.198)

• Шнайдер, Филип Дж .; Эберли, Дэвид Х. (2003). Геометрические инструменты для компьютерной графики . Амстердам; Бостон: Издательство Морган Кауфманн. ISBN 1-55860-594-0. (стр.112)