Бесплатный модуль

В математике , А свободный модуль является модулем , который имеет основу - то есть, порождающее множество , состоящее из линейно независимых элементов. Каждое векторное пространство является свободным модулем ^[1], но если кольцо коэффициентов не является телом (а не полем в коммутативном случае), то существуют несвободные модули.

Для любого множества S и кольцо R , есть свободный R - модуль с базисом S , который называется свободным модулем на S или модуль формального R - линейные комбинации элементов из S .

Свободная абелева группа именно свободный модуль над кольцом Z от целых чисел .

Определение [ править ]

Для кольца и - модуля набор является основой, если:${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle E \ substeq M}$${\ displaystyle M}$

• ${\ displaystyle E}$является порождающим множеством для ; иными словами, каждый элемент является конечной суммой элементов, умноженных на коэффициенты в ; и${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle R}$
• ${\ displaystyle E}$является линейно независимым , то есть, для каждого подмножества из различных элементов , следует , что (где есть нулевой элемент и является нулевым элементом ).${\ displaystyle \ {e_ {1}, e_ {2}, \ ldots, e_ {n} \}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle r_ {1} e_ {1} + r_ {2} e_ {2} + \ cdots + r_ {n} e_ {n} = 0_ {M}}$${\ displaystyle r_ {1} = r_ {2} = \ cdots = r_ {n} = 0_ {R}}$${\displaystyle 0_{M}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle 0_{R}}$${\displaystyle R}$

Бесплатный модуль - это модуль с базой. ^[2]

Непосредственно вытекает из второй половины определения является то , что коэффициенты в первой половине являются уникальными для каждого элемента М .

Если имеет инвариантный базисный номер , то по определению любые два базиса имеют одинаковую мощность. Мощность любого (а значит, и каждого) базиса называется рангом свободного модуля . Если эта мощность конечна, свободный модуль называется свободным от конечного ранга или свободным от ранга n, если известно, что ранг равен n .${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$

Примеры [ править ]

Пусть R - кольцо.

• R - свободный модуль ранга один над собой (как левый, так и правый модуль); любой единичный элемент является основой.
• В более общем смысле , если R коммутативен, ненулевой идеал я из R свободен тогда и только тогда , когда он является главным идеалом , порожденным nonzerodivisor с генератором быть основой. ^[3]
• Если R коммутативно, кольцо многочленов от неопределенного X является свободным модулем с возможным базисом 1, X , X ² , ....${\displaystyle R[X]}$
• Пусть будет кольцо многочленов над коммутативным кольцом A , F унитарный многочлен степени г там, и образ т в B . Тогда B содержит A как подкольцо и свободен как A -модуль с базисом .${\displaystyle A[t]}$${\displaystyle B=A[t]/(f)}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}}$
• Для любого неотрицательного целого числа п , , то декартово произведение из п копии R как левый R - модуль, является свободным. Если R имеет инвариантный базисный номер (что верно для коммутативного R ), то его ранг равен n .${\displaystyle R^{n}=R\times \cdots \times R}$
• Прямая сумма свободных модулей свободна, в то время как бесконечное декартово произведение свободных модулей , как правило , не свободно (сравните группы Бэра-Шпекер .)
• Теорема Капланского утверждает, что проективный модуль над локальным кольцом свободен.

Формальные линейные комбинации [ править ]

Для множества E и кольца R существует свободный R -модуль, в основе которого лежит E : а именно прямая сумма копий R, индексированных E

${\displaystyle R^{(E)}=\bigoplus _{e\in E}R}$.

Явно, это подмодуль декартового произведения ( R рассматривается как, скажем, левый модуль), который состоит из элементов, которые имеют только конечное число ненулевых компонентов. Можно встроить E в R ^{( E )} как подмножество, отождествив элемент e с элементом R ^{( E ), у} которого e -й компонент равен 1 (единица R ), а все остальные компоненты равны нулю. Тогда каждый элемент R ^{( E )} можно однозначно записать как${\displaystyle \prod _{E}R}$

${\displaystyle \sum _{e\in E}c_{e}e,}$

где только конечное число ненулевых. Это называется формальной линейной комбинацией элементов E .${\displaystyle c_{e}}$

Аналогичное рассуждение показывает, что каждый свободный левый (соответственно правый) R -модуль изоморфен прямой сумме копий R как левого (соответственно правого) модуля.

Другая конструкция [ править ]

Свободный модуль R ^{( E )} также может быть построен следующим эквивалентным способом.

Для кольца R и множества E сначала в качестве набора положим

${\displaystyle R^{(E)}=\{f:E\to R\mid f(x)=0{\text{ for all but finitely many }}x\in E\}.}$

Мы снабжаем его структурой левого модуля так, чтобы сложение определялось следующим образом: для x в E ,

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$

и скалярное умножение на: для r в R и x в E ,

${\displaystyle (rf)(x)=r(f(x))}$

Теперь, будучи R -значной функцией на E , каждая функция f in может быть однозначно записана как${\displaystyle R^{(E)}}$

${\displaystyle f=\sum _{e\in E}c_{e}\delta _{e}}$

где находятся в R и только конечное число из них ненулевое и задается как${\displaystyle c_{e}}$${\displaystyle \delta _{e}}$

${\displaystyle \delta _{e}(x)={\begin{cases}1_{R}\quad {\mbox{if }}x=e\\0_{R}\quad {\mbox{if }}x\neq e\end{cases}}}$

(это вариант Кронекера .) Сказанное означает , что подмножество из является основой . Отображение - это биекция между E и этим базисом. Благодаря этому биекция, является свободным модулем с базисом Е .${\displaystyle \{\delta _{e}\mid e\in E\}}$${\displaystyle R^{(E)}}$${\displaystyle R^{(E)}}$${\displaystyle e\mapsto \delta _{e}}$${\displaystyle R^{(E)}}$

Универсальная собственность [ править ]

Определенное выше отображение включения универсально в следующем смысле. Для произвольной функции из множества E в левый R -модуль N существует единственный гомоморфизм модулей такой, что ; а именно, определяется формулой:${\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}$${\displaystyle f:E\to N}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:R^{(E)}\to N}$${\displaystyle f={\overline {f}}\circ \iota }$${\displaystyle {\overline {f}}}$

${\displaystyle {\overline {f}}\left(\sum _{e\in E}r_{e}e\right)=\sum _{e\in E}r_{e}f(e)}$

и говорят, что он получается продолжением по линейности. Уникальность означает , что каждый R -линейной карта однозначно определяется его ограничение на Е .${\displaystyle {\overline {f}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle R^{(E)}\to N}$

Как обычно для универсальных свойств, это определяет R ^{( E )} до канонический изоморфизм . Также формирование для каждого множества E определяет функтор${\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}$

${\displaystyle R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R-{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}}$,

из категории множеств в категорию левых R -модулей. Это называется свободным функтором и удовлетворяет естественное соотношение: для каждого набора E и левого модуля N ,

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\textbf {Set}}(E,U(N))\simeq \operatorname {Hom} _{R}(R^{(E)},N),\,f\mapsto {\overline {f}}}$

где - функтор забывания , то есть левый сопряженный функтора забывания.${\displaystyle U:R-{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}}$${\displaystyle R^{(-)}}$

Обобщения [ править ]

Многие утверждения о свободных модулях, которые неверны для общих модулей над кольцами, по-прежнему верны для некоторых обобщений свободных модулей. Проективные модули - это прямые слагаемые свободных модулей, поэтому можно выбрать инъекцию в свободный модуль и использовать его базис, чтобы что-то доказать для проективного модуля. Даже более слабые обобщения - это плоские модули , которые по-прежнему обладают тем свойством, что тензор с их помощью сохраняет точные последовательности, и модули без кручения. Если кольцо имеет особые свойства, эта иерархия может разрушиться, например, для любого совершенного локального дедекиндова кольца каждый модуль без кручения также является плоским, проективным и свободным. Конечно порожденный модуль без кручения коммутативного ПИД свободен. Конечно порожденный Z -модуль свободен тогда и только тогда, когда он плоский.

Посмотрите местное кольцо , идеальное кольцо и кольцо Дедекинда .

См. Также [ править ]

• Бесплатный объект
• Проективный объект
• бесплатная презентация
• бесплатное разрешение
• Теорема Квиллена – Суслина
• стабильно бесплатный модуль
• общая свобода

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Эта статья включает материалы из бесплатного векторного пространства поверх набора на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

• Адамсон, Иэн Т. (1972). Элементарные кольца и модули . Университетские математические тексты. Оливер и Бойд. С. 65–66. ISBN 0-05-002192-3. Руководство по ремонту  0345993 .
• Кеун, Р. (1975). Введение в теорию представлений групп . Математика в науке и технике. 116 . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-404250-6. Руководство по ремонту  0387387 .
• Говоров, В.Е. (2001) [1994], "Свободный модуль" , Энциклопедия математики , EMS Press.