В математике , А порождающее множество G из модуля M над кольцом R представляет собой подмножество М такое , что наименьший подмодуль М , содержащей G является М сам по себе (наименьший подмодуль содержит подмножество есть пересечение всех подмодулей , содержащих множество). Множество G затем сказал , чтобы генерировать М . Например, кольцо R порождается единичным элементом 1 как левый R -модуль над собой. Если существует конечное порождающее множество, то модуль называется конечно порожденным .
Это относится к идеалам , которые являются подмодулями самого кольца. В частности, главный идеал - это идеал, имеющий порождающую совокупность, состоящую из одного элемента.
Явно, если G является порождающим множеством модуля M , то каждый элемент M является (конечной) R -линейной комбинацией некоторых элементов G ; т.е. для каждого x в M существуют r 1 , ..., r m в R и g 1 , ..., g m в G такие, что
Другими словами, есть сюрприз
где мы написали r g для элемента в g -й компоненте прямой суммы. (По совпадению, поскольку порождающий набор всегда существует; например, сам M , это показывает, что модуль является частным от свободного модуля, полезный факт.)
Порождающий набор модуля называется минимальным, если никакое собственное подмножество набора не порождает модуль. Если R - поле , то минимальная порождающая совокупность - это то же самое, что и базис . Если модуль не является конечно порожденным , минимального набора порождающих может не существовать. [1]
Мощность минимального порождающего множества не обязательно должна быть инвариантом модуля; Z порождается как главный идеал единицей, но он также порождается, скажем, минимальным порождающим множеством {2, 3 }. Что однозначно определяется модулем, так это точная нижняя грань номеров образующих модуля.
Пусть R - локальное кольцо с максимальным идеалом m и полем вычетов k и M конечно порожденный модуль. Тогда лемма Накаямы утверждает, что M имеет минимальное порождающее множество, мощность которого равна. Если M плоский, то этот минимальный порождающий набор линейно независим (значит, M свободен). См. Также: минимальное разрешение .
Более точная информация получается, если рассматривать отношения между генераторами; ср. бесплатное представление модуля .
Смотрите также
Рекомендации
- Даммит, Дэвид; Фут, Ричард. Абстрактная алгебра .