В математике , более конкретно , абстрактная алгебра и коммутативная алгебра , леммы Накаям - также известные как теорема Крулля-Адзумай [1] - определяют взаимодействие между Jacobson радикала из кольца (обычно коммутативное кольцо ) и его конечно порожденных модулей . Неформально, лемма сразу дает точный смысл, в котором конечно порожденные модули над коммутативным кольцом ведут себя как векторные пространства над полем . Это важный инструмент в алгебраической геометрии , потому что он позволяет локальным данным наалгебраические многообразия в виде модулей над локальными кольцами , которые будут изучаться поточечно как векторные пространства над полем вычетов кольца.
Лемма названа в честь японского математика Тадаси Накаяма и представлена в ее нынешнем виде в Накаяме (1951) , хотя она была впервые обнаружена в частном случае идеалов в коммутативном кольце Вольфгангом Круллем, а затем в целом Горо Адзумая ( 1951 ). . [2] В коммутативном случае лемма является простым следствием обобщенной формы теоремы Кэли – Гамильтона , наблюдения, сделанного Майклом Атьей ( 1969 ). Частный случай некоммутативной версии леммы для правых идеалов появляется у Натана Джекобсона ( 1945 ), и поэтому некоммутативная лемма Накаямы иногда известна как теорема Джекобсона – Адзумая . [1] Последний имеет различные приложения в теории радикалов Джекобсона . [3]
Заявление
Позволять быть коммутативное кольцо с единицей 1. Следующая лемма Накаямы, как указано в Мацумура (1989) :
Утверждение 1. Пустьбыть идеалом в, а также конечно-порожденный модуль над. Если, то существует с участием , такое что .
Это доказано ниже .
Следующее следствие также известно как лемма Накаямы, и именно в таком виде оно встречается чаще всего. [4]
Утверждение 2 : Если является конечно порожденным модулем над , является радикалом Джекобсон из, а также , тогда .
- Доказательство : (с участием как указано выше) находится в радикале Джекобсона, поэтому обратимо.
В более общем смысле, это является излишним подмодуль из когда конечно порожден.
Утверждение 3 : Если- конечно порожденный модуль над R , N - подмодульИ М = N + J , ( R ) М , то М = Н .
- Доказательство : Нанести заявление 2 к M / N .
Следующий результат выражает лемму Накаямы в терминах образующих. [5]
Заявление 4 : Если М является конечно-порожденный модуль над R и образы элементов т 1 , ..., м п о М в М / J ( R ) М порождают М / J ( R ) M как R - модуль , то m 1 , ..., m n также порождают M как R -модуль.
- Доказательство . Примените утверждение 3 к N = Σ i Rm i .
Если вместо этого предполагается , что R является полным и М отделенны по отношению к I -адической топологии для идеала I в R , это последнее утверждение справедливо с I вместо J ( R ) , и не предполагая заранее , что М конечно порождены . [6] Здесь отделимость означает, что I -адическая топология удовлетворяет аксиоме отделимости T 1 и эквивалентна
Последствия
Местные кольца
В частном случае конечно порожденного модуля по местному кольцу с максимальным идеалом , частное векторное пространство над полем . Заявление 4 , то следует , что в основе из лифтов до минимального набора образующих . Наоборот, любой минимальный набор образующихполучается таким образом, и любые два таких набора образующих связаны обратимой матрицей с элементами в кольце.
Геометрическая интерпретация
В таком виде лемма Накаямы приобретает конкретное геометрическое значение. Локальные кольца возникают в геометрии как ростки функций в точке. Конечнопорожденные модули над локальными кольцами возникают довольно часто , как ростки сечений из векторных расслоений . Работая на уровне ростков, а не точек, понятие конечномерного векторного расслоения уступает место понятию когерентного пучка . Неформально лемма Накаямы утверждает, что когерентный пучок все еще можно рассматривать как исходящий в некотором смысле из векторного расслоения. Точнее, пусть быть связным пучком -модули над произвольной схемой . Стебелек из в какой-то момент , обозначаемый , является модулем над локальным кольцом и волокна в это векторное пространство . Из леммы Накаямы следует, что базис слоя лифтов до минимального набора образующих . Это:
- Любая основа волокна связного пучка в какой-то момент происходит из минимальной базы локальных секций.
Переформулируя это геометрически, если является локально бесплатным -модули, представляющие векторное расслоение , а если взять базис векторного расслоения в точке схемы , этот базис можно поднять до базиса сечений векторного расслоения в некоторой окрестности точки. Мы можем организовать эти данные схематично
где является n-мерным векторным пространством, чтобы сказать базис в (который составляет основу разделов связки ) можно поднять на основу секций для какого-то района из .
Подниматься и опускаться
Теорема о повышении по существу является следствием леммы Накаямы. [7] Он утверждает:
- Позволять - целое расширение коммутативных колец, аидеал из. Тогда существует простой идеал в такой, что . Более того, может содержать любое простое число из такой, что .
Модульные эпиморфизмы
Лемма Накаямы имеет тот точный смысл, в котором конечно порожденные модули над коммутативным кольцом подобны векторным пространствам над полем. Следующее следствие леммы Накаямы дает еще одно подтверждение этого утверждения:
- Если конечно порожденный -модуль и сюръективный эндоморфизм, то является изоморфизмом. [8]
О локальном кольце можно сказать больше об эпиморфизмах модулей: [9]
- Предположим, что является локальным кольцом с максимальным идеалом , а также конечно порождены -модули. Если является -линейное отображение такое, что фактор сюръективно, то сюръективно.
Гомологические версии
Лемма Накаямы также имеет несколько версий в гомологической алгебре . Приведенное выше утверждение об эпиморфизмах может использоваться, чтобы показать: [9]
- Позволять - конечно порожденный модуль над локальным кольцом. потомявляется проективным , если и только если она свободна . Это можно использовать для вычисления группы Гротендика любого локального кольца. в виде .
Геометрическим и глобальным аналогом этого является теорема Серра – Свона , связывающая проективные модули и когерентные пучки.
В более общем смысле, есть [10]
- Позволять быть местным кольцом и конечно порожденный модуль над . Тогда проективная размерность из над равна длине каждого минимального свободного разрешения от. Более того, проективная размерность равна глобальной размерности, который по определению является наименьшим целым числом такой, что
- Здесь поле вычетов а также - тор-функтор .
Доказательство
Стандартное доказательство леммы Накаямы использует следующую технику, принадлежащую Атье и Макдональду (1969) . [11]
- Пусть M - R -модуль, порожденный n элементами, а φ: M → M - R -линейное отображение. Если существует идеал I кольца R такой, что φ ( M ) ⊂ IM , то существует унитарный многочлен
- с p k ∈ I k , такое что
- как эндоморфизм М .
Это утверждение является в точности обобщенной версией теоремы Кэли – Гамильтона , и доказательство проводится по тому же пути. На образующих x i матрицы M имеется отношение вида
где IJ ∈ I . Таким образом
Требуемый результат следует из умножения на сопряженную матрицу (φδ ij - a ij ) и применения правила Крамера . Тогда находят det (φδ ij - a ij ) = 0, так что искомый многочлен равен
Для доказательства леммы Накаяма из теоремы Кэли-Гамильтона, предположим , что IM = M и взять ф тождественным на М . Затем определите многочлен p ( x ), как указано выше. потом
имеет необходимое свойство.
Некоммутативный случай
Вариант леммы для правых модулей над некоммутативной униталъными кольцами R . Полученная теорема иногда известна как теорема Джекобсона – Адзумая . [12]
Пусть J ( R ) являются радикалом Джекобсон из R . Если U - правый модуль над кольцом, R и I - правый идеал в R , то определим U · I как множество всех (конечных) сумм элементов вида u · i , где · - просто действие R на U . Обязательно, U · I является подмодуль U .
Если V является максимальный подмодуль в U , то U / V является простым . Итак, U · J ( R ) обязательно является подмножеством V по определению J ( R ) и тому факту, что U / V прост. [13] Таким образом, если U содержит , по меньшей мере , один (собственный) максимальный подмодуль, U · J ( R ) является собственным подмодулем U . Однако это может не выполняться для произвольных модулей U над R , поскольку U не обязательно содержит максимальные подмодули. [14] Естественно, если U - нётеров модуль, это верно. Если R нетеров и U является конечно порожден , то U является нётеровым модулем над R , и вывод выполняется. [15] Несколько примечательно то, что более слабого предположения, а именно того, что U конечно порожден как R -модуль (и отсутствия предположения о конечности R ), достаточно, чтобы гарантировать заключение. По сути, это утверждение леммы Накаямы. [16]
А именно:
- Лемма Накаямы : Пусть U будет конечно порожденный правый модуль над (унитальной) кольца R . Если U является ненулевой модуль, то U · J ( R ) является собственным подмодуль U . [16]
Доказательство
Позволять быть конечным подмножеством , минимальная по свойству, которое она порождает . С не равно нулю, это множество непусто. Обозначим каждый элемент от для . С генерирует ,.
Предполагать , получаем противоречие. Тогда каждый элементможно выразить как конечную комбинацию для некоторых .
Каждый можно далее разложить как для некоторых . Следовательно, мы имеем
.
С является (двусторонним) идеалом в , у нас есть для каждого , и, таким образом, это становится
- для некоторых , .
Положив и применяя дистрибутивность, получаем
- .
Выберите несколько . Если правильный идеал были правильными, то он содержался бы в максимальном правом идеале и оба а также будет принадлежать , что приводит к противоречию (заметим, что по определению радикала Джекобсона). Таким образом а также имеет право обратный в . У нас есть
- .
Следовательно,
- .
Таким образом является линейной комбинацией элементов из . Это противоречит минимальностии устанавливает результат. [17]
Градуированная версия
Существует также градуированная версия леммы Накаямы. Пусть R - кольцо, градуированное упорядоченной полугруппой неотрицательных целых чисел, и пустьобозначают идеал, порожденный положительно градуированными элементами. Тогда если M - градуированный модуль над R, для которогодля достаточно отрицательного i (в частности, если M конечно порождено и R не содержит элементов отрицательной степени) такой, что, тогда . Особенно важен случай, когда R - кольцо многочленов со стандартной градуировкой, а M - конечно порожденный модуль.
Доказательство намного проще, чем в случае без оценки: взять i как наименьшее целое число такое, что, Мы видим, что не появляется в так что либо , либо такого i не существует, т. е..
Смотрите также
- Теория модулей
- Теорема Серра – Свона.
Заметки
- ^ a b Нагата 1962 , §A.2
- ^ Нагаты 1962 , §A.2 ; Мацумура 1989 , стр. 8
- Перейти ↑ Isaacs 1993 , Corollary 13.13, p. 184
- ^ Эйзенбад 1995 , следствие 4,8; Атья и Макдональд (1969 , предложение 2.6)
- ^ Эйзенбад 1995 , следствие 4.8 (б)
- ^ Эйзенбад 1995 , Упражнение 7.2
- ^ Эйзенбад 1993 , §4.4
- ^ Мацумура 1989 , теорема 2.4
- ^ а б Гриффитс и Харрис 1994 , стр. 681
- ^ Эйзенбуд 1993 , следствие 19.5
- Перейти ↑ Matsumura 1989 , p. 7: «Стандартный прием, применимый к конечным A- модулям, - это« детерминантный прием »...» См. Также доказательство, содержащееся в Eisenbud (1995 , §4.1).
- ^ Нагаты 1962 , §A2
- Перейти ↑ Isaacs 1993 , p. 182
- Перейти ↑ Isaacs 1993 , p. 183
- ^ Айзекс 1993 , теорема 12.19, стр. 172
- ^ а б Айзекс 1993 , теорема 13.11, с. 183
- ^ Айзекс 1993 , теорема 13.11, стр. 183; Айзекс 1993 , следствие 13.12, стр. 183
Рекомендации
- Атья, Майкл Ф .; Макдональд, Ян Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , чтение, Массачусетс: Аддисон-Уэсли.
- Адзумая, GORO (1951), "О максимально центральных алгебр", Нагоя математический журнал , 2 : 119-150, DOI : 10,1017 / s0027763000010114 , ISSN 0027-7630 , МР 0040287.
- Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике, 150 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
- Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), принципы алгебраической геометрии , библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , DOI : 10.1002 / 9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике, 52 , Springer-Verlag.
- Айзекс, И. Мартин (1993), Алгебра, выпускной курс (1-е изд.), Brooks / Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
- Jacobson, Натан (1945), "Радикал и пол-простота для произвольных колец", Американский журнал математики , 67 (2): 300-320, DOI : 10,2307 / 2371731 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2371731 , МР 0012271.
- Мацумура, Хидеюки (1989), теория коммутативных колец , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8 (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6, Руководство по ремонту 1011461.
- Нагата, Масаёши (1975), Местные кольца , Роберт Э. Кригер Publishing Co., Хантингтон, Нью-Йорк, ISBN 978-0-88275-228-0, Руководство по ремонту 0460307.
- Накаяма, Tadasi (1951), "Замечание о конечно порожденных модулей", Нагоя математический журнал , 3 : 139-140, DOI : 10,1017 / s0027763000012265 , ISSN 0027-7630 , МР 0043770.
Ссылки
- Как понять лемму Накаямы и ее следствия