Стебелек из пучка является математическим построением захвата поведения пучка вокруг заданной точки.
Мотивация и определение
Пучки определены на открытых множествах, но лежащее в основе топологическое пространство состоит из точек. Разумно попытаться изолировать поведение пучка в одной фиксированной точке. из . С концептуальной точки зрения, мы делаем это, рассматривая небольшие окрестности точки. Если мы посмотрим на достаточно малую окрестность, поведение связки в этом небольшом районе должно быть таким же, как поведение в таком случае. Конечно, ни одно соседство не будет достаточно маленьким, поэтому нам придется взять какой-то предел.
Точное определение таково: стебель в , обычно обозначается , является:
Здесь прямой предел индексируется по всем открытым множествам, содержащим, с отношением порядка, индуцированным обратным включением (, если ). По определению (или универсальному свойству ) прямого предела элемент стержня является классом эквивалентности элементов, где два таких участка а также считаются эквивалентными, если ограничения двух секций совпадают в некоторой окрестности точки.
Альтернативное определение
Есть еще один подход к определению стебля, который полезен в некоторых контекстах. Выберите точку из , и разреши - включение одноточечного пространства в . Тогда стебельсовпадает с пучком прообраза. Обратите внимание, что единственные открытые множества одноточечного пространства находятся а также , а по пустому набору данных нет. Надоднако получаем:
Замечания
Для некоторых категорий C прямой предел, используемый для определения ножки, может не существовать. Тем не менее, он существует для большинства категорий, которые встречаются на практике, таких как категория множеств или для большинства категорий алгебраических объектов, таких как абелевы группы или кольца , которые а именно являются соколными .
Есть естественный морфизм для любого открытого набора содержащий : требуется раздел в его ростку , т. е. его классу эквивалентности в прямом пределе. Это обобщение обычного понятия ростка , которое можно восстановить, взглянув на стебли пучка непрерывных функций на.
Примеры
Постоянные шкивы
Постоянная связка связанный с каким-то набором (или группой, кольцом и т. д.). имеет тот же набор или группу, что и стебли в каждой точке: для любой точки , выберите открытый связанный район. Разделы на подключенном открытом равном а карты ограничений - это тождества. Следовательно, прямой предел схлопывается и дает как стебель.
Пучки аналитических функций
Например, в пучке аналитических функций на аналитическом многообразии росток функции в точке определяет функцию в малой окрестности точки. Это связано с тем, что росток записывает разложение функции в степенной ряд , и все аналитические функции по определению локально равны своим степенным рядам. Используя аналитическое продолжение , мы обнаруживаем, что росток в точке определяет функцию на любом связном открытом множестве, где функция может быть определена всюду. (Это не означает, что все отображения ограничения этого пучка инъективны!)
Пучки гладких функций
Напротив, для пучка гладких функций на гладком многообразии ростки содержат некоторую локальную информацию, но их недостаточно для восстановления функции в любой открытой окрестности. Например, пусть- функция выпуклости, которая тождественно равна единице в окрестности начала координат и тождественно нулю вдали от начала координат. В любой достаточно малой окрестности, содержащей начало координат, тождественно единица, поэтому в начале координат она имеет тот же росток, что и постоянная функция со значением 1. Предположим, что мы хотим восстановить из его зародыша. Даже если мы заранее знаем, что- функция выпуклости, росток не сообщает нам, насколько велика его выпуклость. Судя по тому, что говорит нам росток, шишка может быть бесконечно широкой, то есть может равняться постоянной функции со значением 1. Мы даже не можем восстановить на небольшом открытом районе содержащего начало координат, потому что мы не можем сказать, был ли выступ полностью вписывается в или настолько ли оно велико, что идентично один в .
С другой стороны, ростки гладких функций могут различать постоянную функцию со значением один и функцию , потому что последняя функция не является тождественной ни в какой окрестности начала координат. Этот пример показывает, что ростки содержат больше информации, чем разложение функции в степенной ряд, потому что степенной ряд функцииклассно один. (Эта дополнительная информация связана с тем фактом, что стержень пучка гладких функций в начале координат является нётеровым кольцом . Теорема Крулля о пересечении говорит, что этого не может произойти для нётерова кольца.)
Квазикогерентные пучки
По аффинной схеме , стержень квазикогерентного пучка соответствующий -модуль в точке соответствующий простому идеалу это просто локализация .
Сноп небоскреба
В любом топологическом пространстве пучок небоскребов, связанный с замкнутой точкой и группа или кольцо имеет Стебли 0 офф а также в - отсюда и название небоскреб . То же свойство имеет место для любой точкиесли рассматриваемое топологическое пространство является пространством T 1 , поскольку каждая точка пространства T 1 замкнута. Эта особенность является основой построения разрешений Годема , используемых, например, в алгебраической геометрии для получения функториальных инъективных разрешений пучков.
Свойства стебля
Как указано во введении, стебли отражают локальное поведение снопа. Поскольку предполагается, что связка определяется своими локальными ограничениями (см. Аксиому склеивания ), можно ожидать, что стебли захватывают изрядное количество информации, которую кодирует связка. Это действительно правда:
- Морфизм пучков является изоморфизмом , эпиморфизмом или мономорфизмом соответственно тогда и только тогда, когда индуцированные морфизмы на всех слоях обладают одним и тем же свойством. (Однако неверно, что два пучка, все стебли которых изоморфны, тоже изоморфны, потому что между рассматриваемыми пучками может не быть отображения.)
В частности:
- Пучок равен нулю (если мы имеем дело с пучками групп) тогда и только тогда, когда все слои пучка равны нулю. Следовательно, точность данного функтора может быть проверена на стеблях, что часто бывает проще, поскольку можно переходить к все меньшим и меньшим окрестностям.
Оба утверждения неверны для предварительных пучков . Однако стебли снопов и предпучков тесно связаны:
- Учитывая предпучку и его связка стебли а также дать согласие. Это следует из того, что пучок это изображение через левый примыкающий (поскольку функтор пучков сопряжен слева с функтором включения ) и то, что левые сопряжения сохраняют копределы.