Зародыш (математика)

В математике понятие ростка объекта в / на топологическом пространстве представляет собой класс эквивалентности этого объекта и других объектов того же типа, который фиксирует их общие локальные свойства. В частности, рассматриваемые объекты - это в основном функции (или карты ) и подмножества . В конкретных реализациях этой идеи рассматриваемые функции или подмножества будут обладать некоторым свойством, например аналитичностью или гладкостью, но в общем случае в этом нет необходимости (рассматриваемые функции даже не обязательно должны быть непрерывными ); однако необходимо, чтобы пространство на /, в котором определяется объект, было топологическим пространством, чтобы слово локальное есть смысл.

Название происходит от зародыша злака в продолжение метафоры снопа , поскольку зародыш является (локально) «сердцем» функции, как и зерно.

Формальное определение [ править ]

Основное определение [ править ]

Принимая во внимание точку х топологического пространства X , и две карты (где Y представляет собой любой набор ), то и определяют один и тот же росток в х , если существует окрестность U от х таким образом, что ограничена U , F и г равны; Это означает , что для всех U в U .${\ displaystyle f, g: от X \ до Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$ ${\ Displaystyle е (и) = г (и)}$

Аналогичным образом , если S и Т являются любыми двумя подмножества X , то они определяют один и тот же росток в х , если есть снова окрестность U из й таких , что

${\displaystyle S\cap U=T\cap U\neq \emptyset .}$

Несложно увидеть, что определение одного и того же ростка в точке x является отношением эквивалентности (будь то на отображениях или множествах), а классы эквивалентности называются ростками (ростки карт или ростки множеств соответственно). Отношение эквивалентности обычно записывается

${\displaystyle f\sim _{x}g\quad {\text{or}}\quad S\sim _{x}T.}$

Для отображения f на X его росток в x обычно обозначается [ f  ] _x . Аналогично, росток множества S в точке x записывается как [ S ] _x . Таким образом,

${\displaystyle [f]_{x}=\{g:X\to Y\mid g\sim _{x}f\}.}$

Росток отображения в точке x в X, который отображает точку x в X в точку y в Y , обозначается как

${\displaystyle f:(X,x)\to (Y,y).}$

При использовании этого обозначения, f тогда подразумевается как полный класс эквивалентности карт, используя ту же букву f для любой репрезентативной карты.

Обратите внимание, что два множества ростково-эквивалентны в точке x тогда и только тогда, когда их характеристические функции ростково-эквивалентны в точке x :

${\displaystyle S\sim _{x}T\Longleftrightarrow \mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}.}$

В более общем плане [ править ]

Карты не обязательно должны быть определены для всего X , и, в частности, они не должны иметь один и тот же домен. Однако, если f имеет область определения S, а g имеет область определения T , оба подмножества X , то f и g ростково эквивалентны в x в X, если сначала S и T ростково эквивалентны в x , скажем, а затем, более того , для некоторой меньшей окрестности V с . Это особенно актуально в двух случаях: ${\displaystyle S\cap U=T\cap U\neq \emptyset ,}$${\displaystyle f|_{S\cap V}=g|_{T\cap V}}$${\displaystyle x\in V\subseteq U}$

1. f определено на подмногообразии V в X , и
2. е имеет полюс некоторого рода при х , так что даже не определен х , как, например , рациональной функции, которые были бы определены вне подмногообразия.

Основные свойства [ править ]

Если f и g ростково эквивалентны в x , то они разделяют все локальные свойства, такие как непрерывность, дифференцируемость и т. Д., Поэтому имеет смысл говорить о дифференцируемом или аналитическом ростке и т. Д. Аналогично для подмножеств: если один представитель ростка аналитическое множество, то все его представители, по крайней мере, в некоторой окрестности x .

Алгебраические структуры на мишени Y унаследованы множеством ростков со значениями в Y . Например, если целью Y является группа , то имеет смысл умножить ростки: чтобы определить [ f ] _x [ g ] _x , сначала возьмите представителей f и g , определенных в окрестностях U и V соответственно, и определите [ f ] _x [ g ] _x - росток в x поточечного произведения отображения fg (которое определено на${\displaystyle U\cap V}$). Точно так же, если Y - абелева группа , векторное пространство или кольцо , то то же самое и множество ростков.

Множество ростков в x отображений из X в Y не имеет полезной топологии , кроме дискретной . Поэтому говорить о сходящейся последовательности ростков практически не имеет смысла. Однако, если X и Y являются многообразиями, то пространства струй (ряды Тейлора конечного порядка в точке x отображения (-ростков)) действительно имеют топологию, поскольку их можно отождествить с конечномерными векторными пространствами.${\displaystyle J_{x}^{k}(X,Y)}$

Связь со связками [ править ]

Идея зародышей лежит в основе определения пучков и предпучков. Предпучок из абелевых групп на топологическом пространстве X присваивает абелеву группу для каждого открытого множества U в X . Типичные примеры абелевых групп здесь: вещественная функции на U , дифференциальные формы на U , векторные поля на U , голоморфные функции на U (когда X представляет собой комплексное пространство), постоянные функции на U и дифференциальные оператор на U .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

Если тогда существует карта ограничений, удовлетворяющая определенным условиям совместимости . При фиксированном х , один говорит , что элементы и эквивалентны по й , если существует окрестность из й с Резом _WU ( F ) = Рез _WV ( г ) (оба элемента ). Классы эквивалентности образуют основу в точке x предпучка . Это отношение эквивалентности является абстракцией зародышевой эквивалентности, описанной выше.${\displaystyle V\subseteq U}$${\displaystyle \mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),}$${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle g\in {\mathcal {F}}(V)}$${\displaystyle W\subseteq U\cap V}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(W)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Интерпретация ростков через пучки также дает общее объяснение наличия алгебраических структур на множествах ростков. Причина в том, что образование стеблей сохраняет конечные пределы. Отсюда следует, что если T - теория Ловера, а пучок F - T -алгебра, то любой слой F _x также является T -алгеброй.

Примеры [ править ]

Если и имеют дополнительную структуру, то можно определить подмножества множества всех отображений из X в Y или, в более общем случае, подпучки данного предпучка и соответствующих ростков: ниже приведены некоторые известные примеры .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• Если - оба топологических пространства , то подмножество${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle C^{0}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

из непрерывных функций определяют ростки непрерывных функций .

• Если оба и допускают дифференцируемую структуру , подмножество${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

из раз непрерывно дифференцируемых функций , то подмножество${\displaystyle k}$

${\displaystyle C^{\infty }(X,Y)=\bigcap \nolimits _{k}C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

из гладких функций и подмножества

${\displaystyle C^{\omega }(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

из аналитических функций может быть определена ( здесь является порядковым бесконечности, это злоупотребление нотации , по аналогии с и ), а затем пространства ростков (конечно) дифференцируема , гладкие , аналитические функции могут быть построены.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{\infty }}$

• Если имеет сложную структуру (например, являются подмножествами из комплексных векторных пространств ), голоморфные функции между ними могут быть определены, и , следовательно , пространство ростков голоморфных функций может быть построены.${\displaystyle X,Y}$
• Если они имеют алгебраическую структуру , то между ними могут быть определены регулярные (и рациональные ) функции, а также могут быть определены ростки регулярных функций (а также рациональных ).${\displaystyle X,Y}$
• Росток f  : ℝ →  Y на положительной бесконечности (или просто росток f ) равен . Эти ростки используются в асимптотическом анализе и полях Харди .${\displaystyle \{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}}$

Обозначение [ править ]

Стебель связки на топологическом пространстве в точке из обычно обозначаются как следствие, микробы, составляющие стебли пучков различного вида функций, заимствовать эту схему обозначений:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}.}$

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{0}}$- пространство ростков непрерывных функций в точке .${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{k}}$для каждого натурального числа есть пространство ростков -размерно дифференцируемых функций в точке .${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{\infty }}$- пространство ростков бесконечно дифференцируемых («гладких») функций в точке .${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{\omega }}$- пространство ростков аналитических функций в точке .${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$- пространство ростков голоморфных функций (в комплексной геометрии) или пространство ростков регулярных функций (в алгебраической геометрии) в точке .${\displaystyle x}$

Для ростков множеств и разновидностей обозначения не так хорошо установлены: некоторые обозначения, встречающиеся в литературе, включают:

• ${\displaystyle {\mathfrak {V}}_{x}}$- пространство ростков аналитических многообразий в точке . Когда точка фиксирована и известна (например, когда является топологическим векторным пространством и ), ее можно опустить в каждом из вышеперечисленных символов: также, когда может быть добавлен нижний индекс перед символом. В качестве примера${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \dim X=n}$
• ${\displaystyle {_{n}{\mathcal {C}}^{0}},{_{n}{\mathcal {C}}^{k}},{_{n}{\mathcal {C}}^{\infty }},{_{n}{\mathcal {C}}^{\omega }},{_{n}{\mathcal {O}}},{_{n}{\mathfrak {V}}}}$- пространства ростков, показанные выше, когда - -мерное векторное пространство и .${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x=0}$

Приложения [ править ]

Ключевым словом в приложениях ростков является локальность : все локальные свойства функции в точке могут быть изучены путем анализа ее ростка . Они являются обобщением рядов Тейлора , и действительно ряд Тейлора ростка (дифференцируемой функции) определен: вам нужна только локальная информация для вычисления производных.

Микробы могут быть использованы при определении свойств динамических систем вблизи выбранных точек их фазового пространства : они являются одним из основных инструментов в теории сингулярности и теории катастроф .

Когда топологические пространства , рассматриваемые в римановых поверхностей или в более общем случае комплексно-аналитические многообразия , ростка голоморфных функций на них можно рассматривать как степенной ряд , и , таким образом , множество микробов может быть принято считать аналитическим продолжением из аналитической функции .

Ростки также могут использоваться при определении касательных векторов в дифференциальной геометрии. Касательный вектор можно рассматривать как вывод на алгебре ростков в этой точке. ^[1]

Алгебраические свойства [ править ]

Как отмечалось ранее, наборы ростков могут иметь алгебраическую структуру, например быть кольцами. Во многих случаях кольца ростков не являются произвольными кольцами, а обладают вполне определенными свойствами.

Предположим, что X - какое-то пространство. Часто в каждом x ∈ X кольцо ростков функций в x является локальным кольцом . Так обстоит дело, например, с непрерывными функциями в топологическом пространстве; для k раз дифференцируемых, гладких или аналитических функций на вещественном многообразии (когда такие функции определены); для голоморфных функций на комплексном многообразии; и для регулярных функций на алгебраическом многообразии. Свойство, что кольца ростков являются локальными кольцами, аксиоматизируется теорией локально окольцованных пространств .

Однако типы возникающих локальных колец во многом зависят от рассматриваемой теории. Из подготовительной теоремы Вейерштрасса следует, что кольца ростков голоморфных функций являются нётеровыми кольцами . Также можно показать, что это правильные кольца . С другой стороны, пусть кольцо ростков в нуле гладких функций на R . Это кольцо местное, но не нётерское. Чтобы понять, почему, заметим, что максимальный идеал m этого кольца состоит из всех ростков, которые обращаются в нуль в нуле, а степень m ^k состоит из тех ростков, у которых первые k - 1 производные равны нулю. Если бы это кольцо было нётеровым, то${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbf {R} )}$Из теоремы Крулля о пересечении следует, что гладкая функция, чей ряд Тейлора обращается в нуль, будет нулевой функцией. Но это неверно, как можно увидеть, рассмотрев

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}},&x\neq 0,\\0,&x=0.\end{cases}}}$

Это кольцо также не является уникальной областью факторизации . Это связано с тем, что все UFD удовлетворяют условию восходящей цепочки главных идеалов , но существует бесконечная восходящая цепочка главных идеалов.

${\displaystyle \cdots \subsetneq (x^{-j+1}f(x))\subsetneq (x^{-j}f(x))\subsetneq (x^{-j-1}f(x))\subsetneq \cdots .}$

Включения строгие, потому что x находится в максимальном идеале m .

Кольцо ростков в нуле непрерывных функций на R даже обладает тем свойством, что его максимальный идеал m удовлетворяет условию m ² = m . Любой росток f ∈ m можно записать как${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle f=|f|^{1/2}\cdot {\big (}\operatorname {sgn} (f)|f|^{1/2}{\big )},}$

где sgn - знаковая функция. Поскольку | f | обращается в нуль в начале координат, это выражает f как произведение двух функций от m , откуда и делается вывод. Это связано с установкой почти кольцевой теории .

См. Также [ править ]

• Аналитическое разнообразие
• Теория катастроф
• Аксиома склеивания
• Риманова поверхность
• Пучок
• Стебель

Ссылки [ править ]

• Николя Бурбаки (1989). Общая топология. Главы 1-4 (ред. В мягкой обложке). Springer-Verlag . ISBN 3-540-64241-2., глава I, пункт 6, подпункт 10 « Микробы в точке ».
• Рагхаван Нарасимхан (1973). Анализ на реальных и сложных многообразиях (2-е изд.). Северная Голландия Эльзевир. ISBN 0-7204-2501-8., глава 2, параграф 2.1, « Основные определения ».
• Роберт С. Ганнинг и Хьюго Росси (1965). Аналитические функции нескольких комплексных переменных . Прентис-Холл ., глава 2 « Локальные кольца голоморфных функций », особенно параграф A « Элементарные свойства локальных колец » и параграф E « Ростки многообразий ».
• Ян Р. Портеус (2001) Геометрическая дифференциация , стр. 71, Cambridge University Press ISBN 0-521-00264-8 . 
• Джузеппе Таллини (1973). Varietà Differenziabili e coomologia di De Rham (Дифференцируемые многообразия и когомологии Де Рама) . Edizioni Cremonese. ISBN 88-7083-413-1., Пункт 31, « Джермите ди funzioni differenziabili в ипе Пунто ди (ростки дифференцируемых функций в точке с )${\displaystyle P}$${\displaystyle V_{n}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle V_{n}}$ » (на итальянском).

Внешние ссылки [ править ]

• Чирка, Евгений Михайлович (2001) [1994], «Росток» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Росток гладких функций в PlanetMath .
• Мозырская, Дорота; Бартосевич, Збигнев (2006). «Системы ростков и теоремы нулей в бесконечномерных пространствах». arXiv : математика / 0612355 . Bibcode : 2006math ..... 12355M . Cite journal requires |journal= (help)Препринт исследования, посвященный росткам аналитических многообразий в бесконечномерном пространстве.