Сноп (математика)

В математике , А пучок представляет собой инструмент для систематического отслеживания данных (например, наборы, абелевых группы, кольца) , прикрепленные к открытым множествам одного топологического пространства и определенные локально по отношению к ним. Например, для каждого открытого множества, данные могут быть кольцо из непрерывных функций , определенных на этом открытом множестве. Такие данные имеют хорошее поведение в том смысле, что их можно ограничить меньшими открытыми наборами, а также данные, назначенные открытому набору, эквивалентны всем коллекциям совместимых данных, назначенных коллекциям меньших открытых наборов, охватывающих исходный открытый набор (интуитивно понятно, что каждый данных - это сумма его частей.).

Под связками концептуально понимаются общие и абстрактные объекты. Их правильное определение носит скорее технический характер. Они конкретно определены как связки наборов или связки колец, например, в зависимости от типа данных, назначенных открытым наборам.

Существуют также отображения (или морфизмы ) одного пучка в другой; пучки (определенного типа, например пучки абелевых групп ) с их морфизмами на фиксированном топологическом пространстве образуют категорию . С другой стороны, с каждым непрерывным отображением связан как функтор прямого изображения , переводящий пучки и их морфизмы в области в пучки и морфизмы в области , так и функтор обратного изображения, действующий в противоположном направлении. Эти функторы и некоторые их варианты являются существенной частью теории пучков.

Благодаря своей общей природе и универсальности пучки имеют несколько приложений в топологии, особенно в алгебраической и дифференциальной геометрии . Во-первых, геометрические структуры, такие как структура дифференцируемого многообразия или схемы, могут быть выражены в терминах пучка колец на пространстве. В таких контекстах некоторые геометрические конструкции, такие как векторные расслоения или делители , естественно задаются в терминах пучков. Во-вторых, пучки обеспечивают основу для очень общей теории когомологий , которая охватывает также «обычные» топологические теории когомологий, такие как сингулярные когомологии.. Пучковые когомологии, особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий , обеспечивают мощную связь между топологическими и геометрическими свойствами пространств. Пучки также составляют основу теории D- модулей , которая обеспечивает приложения к теории дифференциальных уравнений . Кроме того, обобщения пучков на более общие параметры, чем топологические пространства, такие как топология Гротендика , предоставили приложения к математической логике и теории чисел .

Определения и примеры [ править ]

Во многих математических ветвях, несколько структур , определенные на топологическом пространстве (например, дифференцируемое многообразие ) , естественно , может быть локализованным или ограниченной для открытых подмножеств : типичные примеры включают в себя непрерывные реальном -значных или сложных -значных функции, раз дифференцируемые (вещественную или комплексная -значные) функции, ограниченные вещественные функции, векторные поля и сечения любого векторного расслоения${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle U \ подмножество X}$ ${\ displaystyle n}$на пространстве. Возможность ограничивать данные меньшими открытыми подмножествами дает начало концепции предварительных пучков. Грубо говоря, связки - это те предварительные пучки, в которых локальные данные могут быть приклеены к глобальным данным.

Preheaves [ править ]

Позвольте быть топологическим пространством. Предпучок множеств на состоит из следующих данных:${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle X}$

• Для каждого открытого множества из , набор . Этот набор иногда также обозначают . Элементы этого множества называются секции из за кадром .${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle F (U)}$${\ displaystyle \ Gamma (U, F)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle U}$
• Для каждого включения открытых множеств - функция . Ввиду многих приведенных ниже примеров морфизмы называются ограничительными морфизмами . Если , то его ограничение часто обозначают по аналогии с ограничением функций.${\ Displaystyle V \ substeq U}$${\ Displaystyle \ OperatorName {res} _ {V, U} \ двоеточие F (U) \ rightarrow F (V)}$${\ displaystyle {\ text {res}} _ {V, U}}$${\ displaystyle s \ in F (U)}$${\displaystyle {\text{res}}_{V,U}(s)}$${\displaystyle s|_{V}}$

Ограничительные морфизмы должны удовлетворять двум дополнительным ( функториальным ) свойствам:

• Для каждого открытого множества из , морфизм ограничения тождественного морфизм на .${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {res} _{U,U}\colon F(U)\rightarrow F(U)}$${\displaystyle F(U)}$
• Если у нас есть три открытых множества , то составной${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}$ ${\displaystyle {\text{res}}_{W,V}\circ {\text{res}}_{V,U}={\text{res}}_{W,U}}$

Неформально вторая аксиома говорит , что это не имеет значения , является ли мы ограничиться W в одном шаге или ограничить сначала V , затем W . Краткая функциональная переформулировка этого определения дается ниже.

Многие примеры предпучков происходят из разных классов функций: любому можно сопоставить набор непрерывных действительных функций на . Карты ограничения затем просто задаются путем ограничения непрерывной функции на меньшее открытое подмножество , которое снова является непрерывной функцией. Две аксиомы предпучка сразу проверяются, что дает пример предпучка. Его можно продолжить до пучка голоморфных функций и пучка гладких функций .${\displaystyle U}$${\displaystyle C^{0}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(-)}$${\displaystyle C^{\infty }(-)}$

Другой распространенный класс примеров присвоения множества постоянных вещественных функций на U . Это Предпучок называется константой Предпучка , связанным с и обозначается .${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}^{psh}}$

Шкивы [ править ]

Учитывая предпучок, естественный вопрос , чтобы спросить, в какую степени его сечение над открытым множеством определяется своими ограничениями на более мелкие открытые множества в качестве открытого покрытия из . Пучок является предпучком который удовлетворяет следующих два дополнительных аксиом:${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle U}$

1. ( Местность ) Если это открытое покрытие открытого множества , и если есть свойство для каждого набора покрытия, то ; а также${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle s,t\in F(U)}$${\displaystyle s|_{U_{i}}=t|_{U_{i}}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle s=t}$
2. ( Склеивание ) Если это открытое покрытие открытого множества , и если для каждого задано такое сечение , что для каждой пары покрытия установлены ограничения и согласованы перекрытия , то есть такое сечение , что для каждого .${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle s_{i}\in F(U_{i})}$${\displaystyle U_{i},U_{j}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle s_{j}}$${\displaystyle s_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$${\displaystyle s\in F(U)}$${\displaystyle s|_{U_{i}}=s_{i}}$${\displaystyle i\in I}$

Секция , существование которой гарантируется аксиомой 2, называется склейкой , конкатенацией или сопоставлением секций s _i . По аксиоме 1 он единственен. Сечения, удовлетворяющие условию аксиомы 2, часто называют совместимыми ; таким образом, аксиомы 1 и 2 вместе утверждают, что совместимые секции могут быть однозначно склеены . Разделен предпучок или monopresheaf , является предпучком удовлетворяющей аксиомы 1. ^[1]${\displaystyle s}$${\displaystyle s_{i}}$

Упомянутый выше предпучок, состоящий из непрерывных функций, является пучком. Это утверждение сводится к проверке того, что для данных непрерывных функций, согласованных на пересечениях , существует единственная непрерывная функция , ограничение которой равно . Напротив, постоянный предпучок обычно не является пучком: если это несвязное объединение двух открытых подмножеств и принимает разные значения, то на U нет постоянной функции , ограничение которой равнялось бы этим двум (различным) постоянным функциям.${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to \mathbf {R} }$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$${\displaystyle f:U\to \mathbf {R} }$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle U=U_{1}\sqcup U_{2}}$${\displaystyle f_{1},f_{2}}$

Предварительные пучки и связки обычно обозначаются заглавными буквами, особенно часто встречается F , предположительно для французского слова, обозначающего связку, faisceau . Также распространено использование каллиграфических букв, таких как .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Можно показать, что для определения связки достаточно указать ее ограничение открытыми наборами основы для топологии нижележащего пространства. Более того, можно также показать, что достаточно проверить указанные выше аксиомы пучка относительно открытых множеств покрытия. Это наблюдение используется для построения другого примера, который имеет решающее значение в алгебраической геометрии, а именно квазикогерентных пучков . Здесь топологическое пространство , в котором идет речь спектр коммутативного кольца R , точки которого являются простыми идеалами р в R . Открытые множества составляют основу топологии Зарисского на этом пространстве. Для R -модуля M${\displaystyle D_{f}:=\{p\subset R,f\notin p\}}$, существует пучок, обозначенный на Spec R , который удовлетворяет${\displaystyle {\tilde {M}}}$

${\displaystyle {\tilde {M}}(D_{f}):=M[1/f],}$локализации из M на F .

Дальнейшие примеры [ править ]

Связка участков непрерывной карты [ править ]

Любая непрерывная карта топологических пространств определяет пучок на , полагая${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle \Gamma (Y/X)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Gamma (Y/X)(U)=\{s:U\to Y,f\circ s=\operatorname {id} _{U}\}.}$

Любое такое , что обычно называют раздел из , и этот пример является причиной того, почему элементы в , как правило , называются секции. Эта конструкция особенно важна при проецировании пучка волокон на его базовое пространство. Например, пучки гладких функций - это сечения тривиального расслоения . Другой пример: связка секций${\displaystyle s}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F(U)}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathbf {C} {\stackrel {\exp }{\to }}\mathbf {C} \setminus \{0\}}$

- пучок, который сопоставляет любому множеству ветвей комплексного логарифма на .${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

Принимая во внимание точку х и абелевой группы S , тем небоскреба пучок S _х определяется следующим образом : Если U представляет собой открытое множество , содержащее х , то S _х ( U ) = S . Если U не содержит x , то S _x ( U ) = 0, тривиальная группа . Карты ограничений являются либо идентичными на S , если оба открытых множества содержат x , либо нулевым отображением в противном случае.

Пучки на многообразиях [ править ]

На n -мерном C ^k -многообразии M существует ряд важных пучков, таких как пучок j- кратно непрерывно дифференцируемых функций (с j ≤ k ). Ее разделы на некотором открытом U являются C ^J -функции U → R . При j = k этот пучок называется структурным пучком и обозначается . Ненулевые функции C ^k также образуют пучок, обозначаемый . Дифференциальные формы (степени${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}^{j}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$р ) также образуют пучок Ом ^р _М . Во всех этих примерах ограничивающие морфизмы задаются ограничивающими функциями или формами.

Присваивание, отправляющее U функциям с компактным носителем на U , не является пучком, поскольку, как правило, нет способа сохранить это свойство, переходя к меньшему открытому подмножеству. Вместо этого это образует пучок , двойную концепцию, в которой карты ограничения идут в противоположном направлении, чем пучки. ^[2] Однако, взяв двойное из этих векторных пространств, действительно дает пучок, пучок распределений .

Предварительные пучки, не являющиеся пучками [ править ]

В дополнение к постоянному предварительному пучку, упомянутому выше, который обычно не является связкой, есть другие примеры предварительных пучков, которые не являются пучками:

• Позвольте быть двухточечным топологическим пространством с дискретной топологией. Определить предпучок следующим образом : F (∅) = {∅}, Р ({ х }) = R , F ({ у }) = R , F ({ х , у }) = R × R × R . Отображение ограничения F ({ x , y }) → F ({ x }) является проекцией R × R × R${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$${\displaystyle F}$на его первую координату, а отображение ограничения F ({ x , y }) → F ({ y }) является проекцией R × R × R на его вторую координату. является предварительным пучком, который не разделен: глобальный раздел определяется тремя числами, но значения этого раздела над { x } и { y } определяют только два из этих чисел. Таким образом, хотя мы можем склеить любые две секции поверх { x } и { y }, мы не можем склеить их однозначно.${\displaystyle F}$
• Позвольте быть действительной прямой , и пусть будет набор ограниченных непрерывных функций на . Это не связка, потому что не всегда можно склеить. Например, пусть U _i будет множеством всех x таких, что | х | < я . Тождественная функция f ( x ) = x ограничена на каждом U _i . Следовательно, мы получаем сечение s _i на U _i . Однако эти участки не склеивают, потому что функция f не ограничена на вещественной прямой. вследствие этого${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle F(U)}$${\displaystyle U}$F - предпучка, но не связка. Фактически, F разделен, потому что это подпучок пучка непрерывных функций.

Мотивирующие пучки из сложных аналитических пространств и алгебраической геометрии [ править ]

Одним из исторических мотивов пучков исходить из изучения комплексных многообразий , ^[3] комплексная аналитическая геометрии , ^[4] и теории схемы из алгебраической геометрии . Это связано с тем, что во всех предыдущих случаях мы рассматриваем топологическое пространство вместе со структурным пучком, придающим ему структуру комплексного многообразия, комплексного аналитического пространства или схемы. Эта перспектива оснащения топологического пространства пучком важна для теории локально окольцованных пространств (см. Ниже).${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Технические проблемы со сложными коллекторами [ править ]

Одной из главных исторических причин введения пучков было создание устройства, отслеживающего голоморфные функции на комплексных многообразиях . Например, на компактном комплексном многообразии (таком как комплексное проективное пространство или множество исчезающих однородных многочленов ) единственные голоморфные функции${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$

- функции констант. ^[5] Это означает, что могут существовать два компактных комплексных многообразия, которые не изоморфны, но, тем не менее, их кольцо глобальных голоморфных функций, обозначенное , изоморфно. Сравните это с гладкими многообразиями, где каждое многообразие может быть вложено внутрь некоторого , следовательно, его кольцо гладких функций происходит от ограничения гладких функций из . Еще одна сложность, когда при рассмотрении кольца голоморфных функций на комплексном многообразии задано достаточно малое открытое множество , голоморфные функции будут изоморфны${\displaystyle X,X'}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(X),{\mathcal {H}}(X')}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{N})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)\cong {\mathcal {H}}(\mathbb {C} ^{n})}$. Пучки - прямой инструмент для решения этой сложности, поскольку они позволяют отслеживать голоморфную структуру на лежащем в основе топологическом пространстве на произвольных открытых подмножествах . Это означает, что по мере усложнения топологии кольцо может быть образовано путем склеивания . Обратите внимание, что иногда этот пучок обозначается или просто , или даже когда мы хотим выделить пространство, с которым связан структурный пучок.${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(U_{i})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Слежение за подмногообразиями со связками [ править ]

Другой распространенный пример пучков можно построить, рассматривая комплексное подмногообразие . Существует ассоциированный пучок, который берет открытое подмножество и дает кольцо голоморфных функций на . Этот вид формализма оказался чрезвычайно мощным и мотивирует многие гомологические алгебры, такие как когомологии пучков, поскольку теория пересечений может быть построена с использованием этих видов пучков из формулы пересечения Серра.${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle U\cap Y}$

Операции со связками [ править ]

Морфизмы [ править ]

Морфизмы пучков, грубо говоря, аналогичны функциям между ними. В отличие от функции между множествами, которая не имеет дополнительной структуры, морфизмы пучков - это те функции, которые сохраняют структуру, присущую пучкам. Эта идея уточняется в следующем определении.

Пусть F и G два пучка на X . Морфизм состоит из морфизма для каждого открытого множества U в X , при условии , что этот морфизм совместим с ограничениями. Другими словами, для каждого открытого подмножества V открытого множества U следующая диаграмма коммутативна .${\displaystyle \varphi :G\to F}$${\displaystyle \varphi _{U}:G(U)\to F(U)}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}G(U)&{\xrightarrow {\quad \varphi _{U}\quad }}&F(U)\\r_{V,U}{\Biggl \downarrow }&&{\Biggl \downarrow }r_{V,U}\\G(V)&{\xrightarrow[{\quad \varphi _{V}\quad }]{}}&F(V)\end{array}}}$

Например, взятие производной дает морфизм пучков на R : действительно, для ( n- кратно непрерывно дифференцируемой) функции (с открытым U в R ) ограничение (на меньшее открытое подмножество V ) ее производной равно производной оф .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {R} }^{n}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {R} }^{n-1}.}$${\displaystyle f:U\to \mathbf {R} }$${\displaystyle f|_{V}}$

С этим понятием морфизма пучки на фиксированном топологическом пространстве X образуют категорию . Таким образом, к пучкам можно применить общие категориальные понятия моно- , эпи- и изоморфизмов . Морфизм пучка является изоморфизмом (соответственно мономорфизмом) тогда и только тогда, когда каждый является биекцией (соответственно инъективным отображением). Более того, морфизм пучков является изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует открытое покрытие такое, что являются изоморфизмами пучков для всех . Это утверждение, которое также верно для мономорфизмов, но не верно для предпучков, является еще одним примером идеи о том, что пучки имеют локальную природу.${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi _{U}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$${\displaystyle \varphi |_{U_{\alpha }}}$${\displaystyle \alpha }$

Соответствующие утверждения не верны для эпиморфизмов (пучков), и их несостоятельность измеряется когомологиями пучков .

Стебли снопа [ править ]

Стебель связки захватов свойств связки «вокруг» точки х ∈ X, обобщающие зародыши функций . Здесь «вокруг» означает, что, концептуально говоря, человек смотрит на все меньшие и меньшие окрестности точки. Конечно, ни одно соседство не будет достаточно маленьким, что требует учета какого-либо ограничения. Точнее, стебель определяется по${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U),}$

прямой предел будучи более всех открытых подмножеств X , содержащих данную точку х . Другими словами, элемент стебля задается участком над некоторой открытой окрестностью точки x , и два таких участка считаются эквивалентными, если их ограничения согласуются с меньшей окрестностью.

Естественный морфизм F ( U ) → F _x переводит сечение s в F ( U ) в его росток в точке x. Это обобщает обычное определение ростка .

Во многих ситуациях знания стеблей снопа достаточно, чтобы управлять самим снопом. Например, на стеблях можно проверить, является ли морфизм пучков мономорфизмом, эпиморфизмом или изоморфизмом. В этом смысле связка определяется ее стеблями, которые являются локальными данными. Напротив, глобальная информация, представленная в связке, т. Е. В глобальных разделах , т. Е. В разделах всего пространства X , обычно несут меньше информации. Например, для компактного комплексного многообразия X глобальные сечения пучка голоморфных функций равны C , поскольку любая голоморфная функция${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$

${\displaystyle X\to \mathbf {C} }$

постоянна по теореме Лиувилля . ^[5]

Превращение предварительного пучка в пучок [ править ]

Часто бывает полезно взять данные, содержащиеся в предпучке, и выразить ее в виде связки. Оказывается, есть лучший способ сделать это. Он принимает предпучок F и производит новый пучок аР назвал sheafification или пучок , ассоциированный с предпучкой F . Например, связка постоянного предпучка (см. Выше) называется постоянным пучком . Несмотря на название, его разделы являются локально постоянными функциями.

Пучок ар может быть построен с использованием этальных пространства из F , а именно как пучок сечений карты

${\displaystyle \mathrm {Spe} (F)\to X.}$

Другая конструкция связки aF осуществляется с помощью функтора L от предпучков к предпучкам, что постепенно улучшает свойства предпучка: для любого предпучка F , LF - это отдельный предпучок, а для любого отделенного предпучка F , LF - это пучок. Соответствующий пучок aF задается LLF . ^[6]

Идея о том, что пучок aF является наилучшим возможным приближением к F пучком, уточняется с помощью следующего универсального свойства : существует естественный морфизм предпучков, так что для любого пучка G и любого морфизма предпучков существует единственный морфизм связки такие что . Фактически a - левый сопряженный функтор к функтору включения (или функтору забывания ) из категории пучков в категорию предпучков, а i - единица присоединения. Таким образом, категория пучков превращается в подкатегорию Жиро${\displaystyle i\colon F\to aF}$${\displaystyle f\colon F\to G}$${\displaystyle {\tilde {f}}\colon aF\rightarrow G}$${\displaystyle f={\tilde {f}}i}$предварительных пучков. Эта категоричная ситуация является причиной того, что функтор пучков появляется при построении коядров морфизмов пучков или тензорных произведений пучков, но не, скажем, для ядер.

Подпучки, фактор-пучки [ править ]

Если K - подпучок пучка F абелевых групп, то фактор-пучок Q - это пучок, связанный с предпучком ; другими словами, фактор-пучок укладывается в точную последовательность пучков абелевых групп;${\displaystyle U\mapsto F(U)/K(U)}$

${\displaystyle 0\to K\to F\to Q\to 0.}$

(это также называется расширением пучка .)

Пусть F , G - пучки абелевых групп. Множество морфизмов пучков из F в G образует абелеву группу (в силу абелевой групповой структуры группы G ). Пучок рупор из F и G , обозначаемый,${\displaystyle \operatorname {Hom} (F,G)}$

${\displaystyle {\mathcal {Hom}}(F,G)}$

- пучок абелевых групп, где - пучок на U, заданный формулой (заметим, что пучкование здесь не требуется). Прямая сумма F и G - это пучок, задаваемый , а тензорное произведение F и G - это пучок, связанный с предпучком .${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} (F|_{U},G|_{U})}$${\displaystyle F|_{U}}$${\displaystyle (F|_{U})(V)=F(V)}$${\displaystyle U\mapsto F(U)\oplus G(U)}$${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes G(U)}$

Все эти операции распространяются на пучки модулей над пучком колец A ; вышесказанное является частным случаем, когда A - постоянный пучок .${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$

Базовая функториальность [ править ]

Поскольку данные (предпучка) зависят от открытых подмножеств базового пространства, пучки на разных топологических пространствах не связаны друг с другом в том смысле, что между ними нет морфизмов. Однако, учитывая непрерывное отображение f  : X → Y между двумя топологическими пространствами, прямой и обратный вызов связывают пучки на X с пучками на Y и наоборот.

Прямое изображение [ править ]

Прямая передача (также известная как прямой образ ) пучка на X - это пучок, определяемый формулой${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})(V)={\mathcal {F}}(f^{-1}(V)).}$

Здесь V - открытое подмножество Y , так что его прообраз открыт в X в силу непрерывности f . Эта конструкция восстанавливает упомянутый выше пучок небоскребов :${\displaystyle S_{x}}$

${\displaystyle S_{x}=i_{*}(S)}$

где - включение, а S рассматривается как пучок на одноэлементном элементе (by .${\displaystyle i:\{x\}\to X}$${\displaystyle S(\{*\})=S,S(\emptyset )=\emptyset }$

Для отображения между локально компактными пространствами , то прямое изображением с компактным носителем является подпучком прямым образом. ^[7] По определению, состоит из тех , чья поддержка является собственным отображением над V . Если f собственно, тогда , но в целом они не согласны.${\displaystyle (f_{!}{\mathcal {F}})(V)}$${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(f^{-1}(V))}$${\displaystyle f_{!}{\mathcal {F}}=f_{*}{\mathcal {F}}}$

Обратное изображение [ править ]

Откат или прообраз идет другим путем: он производит пучок на X , обозначаемый из пучка на Y . Если F является включение открытого подмножества, то прообраз является лишь ограничением, то есть, он задается для открытого U в X . Пучок F (на некотором пространстве X ) называется локально постоянным, если некоторыми открытыми подмножествами, такими, что ограничение F на все эти открытые подмножества постоянно. Один широкий спектр топологических пространств X , такие пучки эквивалентны , чтобы${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})(U)={\mathcal {G}}(U)}$${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$представления о фундаментальных группы .${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Для общих карт f определение более сложное; это подробно описано в функторе обратного изображения . Стебель является важным частным случаем отката ввиду естественной идентификации, где i такое же, как указано выше:${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{x}=i^{-1}{\mathcal {G}}(\{x\}).}$

В общем, стебли удовлетворяют .${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{f(x)}}$

Продление на ноль [ править ]

Для включения открытого подмножества расширение нулем пучка абелевых групп на U определяется как ${\displaystyle j:U\to X}$

${\displaystyle (j_{!}{\mathcal {F}})(V)={\mathcal {F}}(V)}$если и в противном случае.${\displaystyle V\subset U}$${\displaystyle (j_{!}{\mathcal {F}})(V)=0}$

Для пучка на X эта конструкция в некотором смысле дополняет , где - включение дополнения к U :${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle i_{*}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle (j_{!}j^{*}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{x}}$для x в U , и стебель в противном случае равен нулю, в то время как

${\displaystyle (i_{*}i^{*}{\mathcal {G}})_{x}=0}$для x в U и равно в противном случае.${\displaystyle {\mathcal {G}}_{x}}$

Эти функторы, таким образом, полезны для сведения теоретико-пучковых вопросов о X к вопросам о стратах стратификации , т. Е. О разложении X на меньшие, локально замкнутые подмножества.

Дополнения [ править ]

Пучки в более общих категориях [ править ]

В дополнение к (предварительным) шкивам, как описано выше, где это просто набор, во многих случаях важно отслеживать дополнительную структуру на этих участках. Например, сечения пучка непрерывных функций естественным образом образуют вещественное векторное пространство , а ограничение - это линейное отображение между этими векторными пространствами.${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

Предварительные пучки со значениями в произвольной категории C определяются, сначала рассматривая категорию открытых множеств на X, чтобы быть позетальной категорией O ( X ), объектами которой являются открытые множества X и чьи морфизмы являются включениями. Тогда С -значная Предпучок на X такое же , как контравариантный функтор из О ( Х ) в C . Морфизмы в этой категории функторов, также известные как естественные преобразования , такие же, как морфизмы, определенные выше, что можно увидеть, распутав определения.

Если целевая категория C допускает все ограничения , предпучок с C-значением является связкой, если следующая диаграмма является уравнителем :

${\displaystyle F(U)\rightarrow \prod _{i}F(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).}$

Здесь первая карта является продуктом карт ограничений

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i},U}\colon F(U)\rightarrow F(U_{i})}$

а пара стрелок - произведения двух наборов ограничений

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}\colon F(U_{i})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j})}$

а также

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}\colon F(U_{j})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j}).}$

Если C - абелева категория , это условие также можно перефразировать, потребовав наличия точной последовательности

${\displaystyle 0\to F(U)\to \prod _{i}F(U_{i})\xrightarrow {\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}-\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}} \prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).}$

Частный случай этого связочного условия имеет место, когда U является пустым набором, а индексный набор I также пуст. В этом случае пучок условие требует , чтобы быть терминалом объекта в C .${\displaystyle {\mathcal {F}}(\emptyset )}$

Окольцованные пространства и связки модулей [ править ]

В некоторых геометрических дисциплинах, включая алгебраическую геометрию и дифференциальную геометрию , пространства имеют естественный пучок колец, часто называемый структурным пучком и обозначаемый как . Такая пара называется окольцованным пространством . Многие типы пространств можно определить как определенные типы окольцованных пространств. Обычно все стебли структурного пучка являются локальными кольцами , и в этом случае пара называется локально окольцованным пространством .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

Так , например, п - мерное С ^к многообразию М является локально окольцованным пространством, структура которого пучок состоит из -функции на открытых подмножествах М . Свойство быть локально окольцованным пространством означает, что такая функция, отличная от нуля в точке x , также не равна нулю в достаточно малой открытой окрестности точки x . Некоторые авторы фактически определяют вещественные (или комплексные) многообразия как локально окольцованные пространства, локально изоморфные паре, состоящей из открытого подмножества (соответственно ) вместе с пучком C ^k${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}}$(соответственно голоморфные) функции. ^[8] Аналогично, схемы , основополагающее понятие пространств в алгебраической геометрии, являются локально окольцованными пространствами, которые локально изоморфны спектру кольца .

Учитывая окольцованное пространство, пучок модулей является пучком таким образом, что на каждом открытом множестве U из X , является модулем и для каждого включения открытых множеств V ⊆ U , отображение ограничения является совместимым с картой рестрикции O ( U ) → O ( V ): ограничение fs - это ограничение f, умноженное на s, для любых f в O ( U ) и s в F ( U ).${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)\to {\mathcal {M}}(V)}$

Важнейшие геометрические объекты - это связки модулей. Например, существует взаимно-однозначное соответствие между векторными расслоениями и локально свободными пучками из модулей. Эта парадигма применяется к действительным векторным расслоениям, комплексным векторным расслоениям или векторным расслоениям в алгебраической геометрии (где состоит из гладких функций, голоморфных функций или регулярных функций, соответственно). Пучки решений дифференциальных уравнений являются D -модулями , т. Е. Модулями над пучком дифференциальных операторов . В любом топологическом пространстве модули над постоянным пучком аналогичны пучкам абелевых групп в указанном выше смысле.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$

Существует другой функтор прообраза для пучков модулей над пучками колец. Этот функтор обычно обозначается и отличается от . См. Функтор обратного изображения .${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle f^{-1}}$

Условия конечности пучков модулей [ править ]

Условия конечности для модуля над коммутативных колец приводят к аналогичных условиях конечности для пучков модулей: называется конечно порожденным (соотв. Конечно представлены ) , если для каждой точки х из X , существует открытая окрестность U от х , натуральное число п (возможно, зависящий от U ), и сюръективный морфизм пучков (соответственно, дополнительно натуральное число m и точная последовательность ). Параллельно понятию когерентного модуля , называется когерентным пучком${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}\to 0}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$если оно имеет конечный тип и если для каждого открытого множества U и любого морфизма пучков (не обязательно сюръективного) ядро ​​φ имеет конечный тип. является когерентным , если оно когерентно как модуль над самим собой. Как и в случае с модулями, когерентность в общем является более сильным условием, чем конечное представление. Теорема Ока о когерентности утверждает, что пучок голоморфных функций на комплексном многообразии когерентен.${\displaystyle \phi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}\to {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Этальное пространство пучка [ править ]

В приведенных выше примерах было отмечено, что некоторые пучки возникают естественным образом как связки секций. Фактически, все пучки множеств могут быть представлены как пучки секций топологического пространства, называемого пространством étalé , от французского слова étalé[etale] , что означает примерно «распространяться». Еслиесть пучок над, то Этальным пространством изтопологического пространствавместе с местным гомеоморфизмом такимчто пучок сеченийвэто. Пространствообычно очень странное, и даже если пучоквозникает из естественной топологической ситуации, онможет не иметь четкой топологической интерпретации. Например, если- пучок сечений непрерывной функции, тотогда и только тогда, когда- локальный гомеоморфизм .${\displaystyle F\in {\text{Sh}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$${\displaystyle \Gamma (\pi ,-)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle E=Y}$${\displaystyle f}$

Пространство étalé построено из стеблей более чем . Как набор, это их непересекающееся объединение и очевидная карта, которая принимает значение на стебле over . Топология определяется следующим образом. Для каждого элемента и каждого мы получаем росток at , обозначенный или . Эти ростки определяют точки . Для любых и объединение этих точек (для всех ) объявляется открытым в . Обратите внимание, что каждый стержень имеет дискретную топологию.${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle s\in F(U)}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [s]_{x}}$${\displaystyle s_{x}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle U}$${\displaystyle s\in F(U)}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle E}$как топология подпространства. Два морфизма между пучками определяют непрерывное отображение соответствующих пространств этале, которое совместимо с проекционными отображениями (в том смысле, что каждый росток отображается в росток над той же точкой). Это превращает конструкцию в функтор.

Приведенная выше конструкция определяет эквивалентность категорий между категорией пучков множеств на и категорией эталевых пространств над . Построение этального пространства также может быть применено к предварительному пучку, и в этом случае связка секций этального пространства восстанавливает связку, связанную с данным предварительным пучком.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Эта конструкция превращает все пучки в представимые функторы на определенных категориях топологических пространств. Как и выше, пусть - пучок на , пусть - его этальное пространство, и пусть - естественная проекция. Рассмотрим надкатегорию топологических пространств над , то есть категорию топологических пространств вместе с фиксированными непрерывными отображениями в . Каждый объект этой категории является непрерывным отображением , а морфизм из в - это непрерывное отображение, которое коммутирует с двумя отображениями в . Есть функтор${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle {\text{Top}}/X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle Y\to X}$${\displaystyle Z\to X}$${\displaystyle Y\to Z}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Gamma :{\text{Top}}/X\to {\text{Sets}}}$

отправка объекта в . Например, если это включение открытого подмножества, то${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle f^{-1}F(Y)}$${\displaystyle i:U\hookrightarrow X}$

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(U)=F(U)=\Gamma (F,U)}$

а для включения точки , то${\displaystyle i:\{x\}\hookrightarrow X}$

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(\{x\})=F|_{x}}$

это стебель at . Есть естественный изоморфизм${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle (f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )}$,

что показывает, что (для пространства этале) представляет собой функтор .${\displaystyle \pi :E\to X}$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle E}$построено так, что отображение проекции является покрывающим. В алгебраической геометрии естественный аналог накрывающего отображения называется этальным морфизмом . Несмотря на свое сходство с «этале», слово этале${\displaystyle \pi }$[etal] имеет другое значение во французском языке. Можно включитьв схему ив морфизм схем таким образомчтосохраняет то же универсальное свойство, ноэто не в общем этальном морфизмепотому что это не квазиконечный. Однако формально это эталон .${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$

Определение пучков эталевыми пространствами старше, чем определение, данное ранее в статье. Это все еще распространено в некоторых областях математики, таких как математический анализ .

Когомологии пучков [ править ]

В контекстах, где открытое множество U фиксировано, а пучок рассматривается как переменная, множество F ( U ) также часто обозначается${\displaystyle \Gamma (U,F).}$

Как было отмечено выше, этот функтор не сохраняет эпиморфизмы. Вместо этого эпиморфизм пучков - это карта со следующим свойством: для любого сечения существует покрытие, где${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$

${\displaystyle U=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$

открытых подмножеств, таких что ограничение находится в образе . Однако g не обязательно должен быть в образе . Конкретный пример этого явления - экспоненциальное отображение ${\displaystyle g|_{U_{i}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U_{i})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}{\stackrel {\exp }{\to }}{\mathcal {O}}^{\times }}$

между пучком голоморфных функций и ненулевых голоморфных функций. Это отображение является эпиморфизмом, который означает, что любая ненулевая голоморфная функция g ( скажем, на некотором открытом подмножестве в C ) допускает комплексный логарифм локально , т. Е. После ограничения g на подходящие открытые подмножества. Однако g не обязательно иметь глобальный логарифм.

Когомология пучков фиксирует это явление. Точнее, для точной последовательности пучков абелевых групп

${\displaystyle 0\to {\mathcal {F}}_{1}\to {\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}\to 0,}$

(т. е. эпиморфизм с ядром ), существует длинная точная последовательность${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$

${\displaystyle 0\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{1})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{2})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{2})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{2}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to \dots }$

Посредством этой последовательности первая группа когомологий является мерой несюръективности отображения между секциями и .${\displaystyle H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{3}}$

Есть несколько различных способов построения когомологий пучков. Гротендик (1957) ввел их, определив когомологии пучков как производный функтор от . Этот метод теоретически удовлетворителен, но, поскольку он основан на инъективных разрешениях , мало пригоден в конкретных вычислениях. Резолюции Годемента - еще один общий, но практически недоступный подход.${\displaystyle \Gamma }$

Вычисление когомологий пучков [ править ]

Особенно в контексте пучков на многообразиях когомологии пучков часто можно вычислить с использованием разрешений по мягким пучкам , тонким пучкам и дряблым пучкам (также известным как flasque пучки от французского flasque, что означает дряблый). Например, разбиение аргумента единицы показывает, что пучок гладких функций на многообразии мягкий. Высшие группы когомологий для обращаются в нуль для мягких пучков, что дает способ вычисления когомологий других пучков. Например, комплекс де Рама является резольвентой постоянного пучка на любом гладком многообразии, поэтому когомологии пучка равны его когомологиям.${\displaystyle H^{i}(U,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle i>0}$${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$когомологии де Рама .

Другой подход - когомологии Чеха . Когомологии Чеха были первой теорией когомологий, разработанной для пучков, и она хорошо подходит для конкретных вычислений, таких как вычисление когерентных когомологий пучков комплексного проективного пространства . ^[9] Он связывает секции на открытых подмножествах пространства с классами когомологий на пространстве. В большинстве случаев когомологии Чеха вычисляют те же группы когомологий, что и когомологии производных функторов. Однако для некоторых патологических пространств когомологии Чеха будут давать правильные, но неправильные группы высших когомологий. Чтобы обойти это, Жан-Луи Вердье разработал гиперпокрытия.${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle H^{1}}$. Гиперпокрытия не только дают правильные высшие группы когомологий, но также позволяют заменять упомянутые выше открытые подмножества определенными морфизмами из другого пространства. Такая гибкость необходима в некоторых приложениях, таких как строительство Pierre Делинь «s смешанных структур Ходжа .

Многие другие группы когерентных пучков когомологий находятся с помощью вложения пространства в пространство с известными когомологиями, например , или некоторое взвешенное проективное пространство . Таким образом, известные группы когомологий пучков на этих объемлющих пространствах могут быть связаны с пучками , давая . Например, легко найти когомологии когерентных пучков проективных плоских кривых . Одна большая теорема в этом пространстве - разложение Ходжа, найденное с использованием спектральной последовательности, связанной с группами когомологий пучка , доказанная Делинем. ^{[10] [11]} По сути, -страница с терминами${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle i_{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle H^{i}(Y,i_{*}{\mathcal {F}})\cong H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p}(X,\Omega _{X}^{q})}$

когомологии пучка гладкого проективного многообразия вырождены в смысле . Это дает каноническую структуру Ходжа на группах когомологий . Позже было обнаружено, что эти группы когомологий могут быть легко вычислены явно с использованием вычетов Гриффитса . См. Якобианский идеал . Эти виды теорем приводят к одной из самых глубоких теорем о когомологиях алгебраических многообразий - теореме о разложении , прокладывающей путь для смешанных модулей Ходжа .${\displaystyle X}$${\displaystyle E_{1}=E_{\infty }}$${\displaystyle H^{k}(X,\mathbb {C} )}$

Другой чистый подход к вычислению некоторых групп когомологий является теорема Бореля-Ботта-Вейля , который идентифицирует группы когомологий некоторых линейных расслоений на флаговых многообразиях с неприводимых представлений о группах Ли . Эту теорему можно использовать, например, для простого вычисления групп когомологий всех линейных расслоений на проективных пространствах и многообразиях Грассмана .

Во многих случаях существует теория двойственности пучков, обобщающая двойственность Пуанкаре . См Гротендика двойственность и Вердье двойственность .

Производные категории пучков [ править ]

Производная категория категории пучков, скажем, абелевых групп на некотором пространстве X , обозначаемая здесь как , является концептуальным убежищем для когомологий пучков в силу следующего соотношения: ${\displaystyle D(X)}$

${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})=\operatorname {Hom} _{D(X)}(\mathbf {Z} ,{\mathcal {F}}[n]).}$

Присоединение между , которое является левым сопряженным к (уже на уровне пучков абелевых групп), порождает присоединение ${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle f^{-1}:D(Y)\rightleftarrows D(X):Rf_{*}}$(для ),${\displaystyle f:X\to Y}$

где - производный функтор. Этот последний функтор охватывает понятие когомологий пучков, поскольку для .${\displaystyle Rf_{*}}$${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})=R^{n}f_{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

Функторы изображений для пучков
прямое изображение f ∗
прообраз f ∗
прямое изображение с компактной опорой f !
исключительный прообраз Rf !
${\displaystyle f^{*}\leftrightarrows f_{*}}$
${\displaystyle (R)f_{!}\leftrightarrows (R)f^{!}}$
Теоремы о замене базы
v т е

Мол , прямой образ с компактной опорой тоже можно вывести. В силу следующего изоморфизма параметризует когомологий с компактным носителем из волокон из :${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle f_{!}}$${\displaystyle Rf_{!}F}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle (R^{i}f_{!}F)_{y}=H_{c}^{i}(f^{-1}(y),F).}$^[12]

Этот изоморфизм является примером теоремы о замене базы . Есть еще одно примыкание

${\displaystyle Rf_{!}:D(X)\rightleftarrows D(Y):f^{!}.}$

В отличие от всех рассмотренных выше функторов, скрученный (или исключительный) функтор обратного образа в общем случае определяется только на уровне производных категорий , т. Е. Функтор не получается как производный функтор некоторого функтора между абелевыми категориями. Если и X - гладкое ориентируемое многообразие размерности n , то${\displaystyle f^{!}}$${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

${\displaystyle f^{!}{\underline {\mathbf {R} }}\cong {\underline {\mathbf {R} }}[n].}$^[13]

Это вычисление и совместимость функторов с двойственностью (см. Двойственность Вердье ) могут быть использованы для получения подробного объяснения двойственности Пуанкаре . В контексте квазикогерентных пучков на схемах существует аналогичная двойственность, известная как когерентная двойственность .

Извращенные пучки - это определенные объекты , т. Е. Комплексы пучков (но не сами пучки вообще). Они являются важным инструментом для изучения геометрии особенностей . ^[14]${\displaystyle D(X)}$

Производные категории когерентных пучков и группа Гротендика [ править ]

Другое важное применение производных категорий пучков с производной категорией когерентных пучков на схему обозначаемой . Это было использовано Гротендиком в его развитии теории пересечений ^[15] с использованием производных категорий и K-теории , согласно которой продукт пересечения подсхем представлен в K-теории как${\displaystyle X}$${\displaystyle D_{Coh}(X)}$${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$

${\displaystyle [Y_{1}]\cdot [Y_{2}]=[{\mathcal {O}}_{Y_{1}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{Y_{2}}]\in K({\text{Coh(X)}})}$

где - когерентные пучки, определяемые -модулями, заданными их структурными пучками .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y_{i}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Сайты и топои [ править ]

Вейль «s Weil домыслы заявили , что существует теория когомологий для алгебраических многообразий над конечными полями , которые дали бы аналог гипотезы Римана . Когомологии комплексного многообразия можно определить как когомологии пучка локально постоянного пучка в евклидовой топологии, что предполагает определение теории когомологий Вейля в положительной характеристике как когомологии пучка постоянного пучка. Но единственной классической топологией на таком многообразии является топология Зарисского${\displaystyle {\underline {\mathbf {C} }}}$, а топология Зарисского имеет очень мало открытых множеств, настолько мало, что когомологии любого пучка констант Зарисского на неприводимом многообразии равны нулю (кроме нулевой степени). Александр Гротендик решил эту проблему, введя топологии Гротендика , которые аксиоматизируют понятие покрытия . Понимание Гротендика заключалось в том, что определение пучка зависит только от открытых множеств топологического пространства, а не от отдельных точек. Как только он аксиоматизировал понятие покрытия, открытые множества можно было заменить другими объектами. Предварительный пучок переводит каждый из этих объектов в данные, как и раньше, а пучок - это предварительный пучок, который удовлетворяет аксиоме склеивания в отношении нашего нового понятия покрытия. Это позволило Гротендику определить этальные когомологиии ℓ-адические когомологии , которые в конечном итоге были использованы для доказательства гипотез Вейля.

Категория с топологией Гротендика называется сайтом . Категория снопов на участке называется топосом или топосом Гротендика . Понятие топоса позже было абстрагировано Уильямом Ловером и Майлзом Тирни, чтобы определить элементарный топос , имеющий связь с математической логикой .

История [ править ]

Трудно определить первые истоки теории пучков - они могут быть совпадают с идеей аналитического продолжения ^{[ требуется пояснение ]} . Потребовалось около 15 лет, чтобы на основе основополагающей работы по когомологиям появилась узнаваемая, самостоятельная теория пучков .

• 1936 Эдуард Чех вводит конструкцию нерва для связывания симплициального комплекса с открытым покрытием.
• 1938 Хасслер Уитни дает «современное» определение когомологий, резюмируя работу с тех пор, как Дж. В. Александр и Колмогоров впервые определили коцепи .
• 1943 Норман Стинрод публикует статью о гомологиях с локальными коэффициентами .
• 1945 Жан Лере публикует работу, выполненную в качестве военнопленного , мотивированную доказательством теорем о неподвижной точке для применения в теории PDE ; это начало теории пучков и спектральных последовательностей .
• 1947 Анри Картан опровергает теорему де Рама методами пучков в соответствии с Андре Вейлем (см. Теорему де Рама – Вейля ). Лере дает определение связки в своих курсах через замкнутые множества (более поздние панцири ).
• 1948 г. На семинаре Картана впервые сформулирована теория пучков.
• 1950 "Второе издание" теории пучков с семинара Картана: используется определение пространства пучков ( espace étalé ) со стержневой структурой. Вводятся опоры и когомологии с опорами. Непрерывные отображения порождают спектральные последовательности. В то же время Киёси Ока вводит идею (смежную с этой) связки идеалов в нескольких комплексных переменных .
• 1951 На семинаре Картана доказываются теоремы A и B , основанные на работе Оки.
• 1953 Теорема конечности для когерентных пучков в аналитической теории доказана Картаном и Жан-Пьером Серром , как и двойственность Серра .
• Статья Серра 1954 г. « Faisceaux algébriques cohérents» (опубликованная в 1955 г.) вводит пучки в алгебраическую геометрию . Эти идеи немедленно используются Фридрихом Хирцебрухом , который в 1956 году написал большую книгу по топологическим методам.
• 1955 Александр Гротендик в лекциях в Канзасе определяет абелеву категорию и предпучок и, используя инъективные резольвенты, позволяет напрямую использовать когомологии пучков на всех топологических пространствах как производные функторы .
• 1956 Доклад Оскара Зарисского. Теория алгебраических пучков.
• Статья Гротендика 1957 года о Тохоку переписывает гомологическую алгебру ; он доказывает двойственность Гротендика (т. е. двойственность Серра для, возможно, особых алгебраических многообразий).
• 1957 г. и далее: Гротендик расширяет теорию пучков в соответствии с потребностями алгебраической геометрии, вводя: схемы и общие пучки на них, локальные когомологии , производные категории (с Вердье) и топологии Гротендика . Возникает также его влиятельная схематическая идея « шести операций » в гомологической алгебре.
• 1958 г. Опубликована книга Роджера Годемана по теории пучков. Примерно в это же время Микио Сато предлагает свои гиперфункции , которые, как выясняется, имеют теоретико-пучковый характер.

С этого момента пучки стали основной частью математики, и их использование никоим образом не ограничивалось алгебраической топологией . Позже было обнаружено, что логика в категориях пучков является интуиционистской логикой (это наблюдение сейчас часто называют семантикой Крипке – Джояла , но, вероятно, следует приписать ряду авторов). Это показывает, что некоторые аспекты теории пучков можно проследить еще до Лейбница .

См. Также [ править ]

• Связный пучок
• Герб
• Стек (математика)
• Пучок спектров
• Извращенная связка
• Предварительный пучок пространств
• Конструируемая связка

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бредон, Глен Э. (1997), Теория связок , Тексты для выпускников по математике, 170 (2-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94905-5, Руководство по ремонту  1481706 (ориентирована на обычные топологические приложения)
• де Катальдо, Андреа Марк; Мильорини, Лука (2010). "Что такое извращенная сноп?" (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 57 (5): 632–4. arXiv : 1004.2983 . Bibcode : 2010arXiv1004.2983D . Руководство по ремонту  2664042 .
• Годеман, Роджер (2006) [1973], Topologie algébrique и др Théorie де faisceaux , Париж: Hermann, ISBN 2705612521, Руководство по ремонту  0345092
• Гротендик, Александр (1957), "Sur Quelques точки d'algèbre гомологической", Тохоку математический журнал , вторая серия, 9 (2): 119-221, DOI : 10,2748 / TMJ / 1178244839 , ISSN  0040-8735 , MR  0102537
• Хирцебрух, Фридрих (1995), Топологические методы в алгебраической геометрии , Classics in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58663-0, Руководство по ремонту  1335917 (обновленное издание классического произведения, в котором достаточно теории пучков, чтобы продемонстрировать его силу)
• Иверсен, Биргер (1986), когомологии пучков , Universitext, Springer, DOI : 10.1007 / 978-3-642-82783-9 , ISBN 3-540-16389-1, MR  0842190
• Кашивара, Масаки ; Шапира, Пьер (1994), Пучки на многообразиях , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], 292 , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-51861-7, Руководство по ремонту  1299726(продвинутые методы, такие как производная категория и исчезающие циклы на наиболее разумных пространствах)
• Мак Лейн, Сондерс ; Moerdijk, Ieke (1994), Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топоса , Universitext, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97710-2, MR  1300636 (подчеркнута теория категорий и топосы)
• Мартин, Уильям Т .; Черн, Шиинг-Шэнь ; Зарискому, Оскар (1956), "Научный доклад о работе второго Летнего института, несколько комплексных переменных", Бюллетень Американского математического общества , 62 (2): 79-141, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1956-10013-X , ISSN  0002-9904 , MR  0077995
• Раманан, С. (2005), Глобальное исчисление , аспирантура по математике, 65 , Американское математическое общество, DOI : 10.1090 / gsm / 065 , ISBN 0-8218-3702-8, Руководство по ремонту  2104612
• Зеебах, Дж. Артур ; Seebach, Linda A .; Стин, Линн А. (1970), "Что такое Сноп", American Mathematical Monthly , 77 (7): 681-703, DOI : 10,1080 / 00029890.1970.11992563 , MR  0263073
• Серр, Жан-Пьер (1955), "Faisceaux algébriques cohérents" (PDF) , Анналы математики , второй серии 61 (2): 197-278, DOI : 10,2307 / 1969915 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1969915 , MR  0068874
• Свон, Ричард Г. (1964), Теория снопов , Чикагские лекции по математике (3-е изд.), University of Chicago Press , ISBN 9780226783291 (краткие конспекты лекций)
• Теннисон, Барри Р. (1975), теория пучков , серия лекций Лондонского математического общества, 20 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-20784-3, Руководство по ремонту  0404390 (педагогическое лечение)