Когомологии пучков

В математике , пучковые когомологии является применение гомологической алгебры для анализа глобальных сечений о виде пучка на топологическом пространстве . Вообще говоря, когомологии пучков описывают препятствия на пути к глобальному решению геометрической задачи, когда она может быть решена локально. Центральная работа по изучению когомологий пучков - это работа Гротендика 1957 года Тохоку .

Пучки, когомологии пучков и спектральные последовательности были изобретены Жаном Лере в лагере для военнопленных Офлаг XVII-A в Австрии. ^[1] С 1940 по 1945 год Лерэ и другие заключенные организовали в лагере «Université en captivité».

Определения Лере были упрощены и уточнены в 1950-х годах. Стало ясно, что когомологии пучков - это не только новый подход к когомологиям в алгебраической топологии , но и мощный метод комплексной аналитической геометрии и алгебраической геометрии . Эти предметы часто включают построение глобальных функций с заданными локальными свойствами, и когомологии пучков идеально подходят для таких задач. Многие ранние результаты , такие как теорема Римана-Роха и Ходж теорема была генерализованной или понят лучше , используя пучок когомологий.

Определение [ править ]

Категория пучков абелевых групп на топологическом пространстве X является абелевой категорией , поэтому имеет смысл спросить, когда морфизм пучков f : B → C инъективен ( мономорфизм ) или сюръективен ( эпиморфизм ). Один ответ является то , что F инъективно (соответственно сюръективно) тогда и только тогда , когда ассоциированный гомоморфизм на стеблях В _х → С _х является инъективным (соответственно сюръективно ) для каждой точки х в X . Следует, чтое инъективно тогда и только тогда , когда гомоморфизм В ( U ) → C ( U ) сечений над U инъективна для каждого открытого множества U в X . Сюръективность является более тонким, однако: морфизм F сюръективно тогда и только тогда , когда для каждого открытого множества U в X , каждая секция с из С над U , и каждой точки х в U , существует открытая окрестность V из х в U такой это сограничивается V есть образ некоторой секции B над V . (На словах: каждая секция C поднимается локально до секций B. )

В результате возникает вопрос: если дана сюръекция пучков B → C и сечение s группы C над X , когда s является образом сечения B над X ? Это модель для всех видов геометрических вопросов, связанных с локальным и глобальным. Когомологии пучков дают удовлетворительный общий ответ. А именно, пусть A будет ядром сюръекции B → C , дающей короткую точную последовательность

${\ Displaystyle 0 \ к А \ к В \ к С \ к 0}$

пучков на X . Тогда существует длинная точная последовательность абелевых групп, называемых группами когомологий пучков:

${\ displaystyle 0 \ к H ^ {0} (X, A) \ к H ^ {0} (X, B) \ to H ^ {0} (X, C) \ to H ^ {1} (X, A) \ to \ cdots,}$

где Н ⁰ ( Х , ) является группой ( Х ) глобальных сечений А на X . Например, если группа Н ¹ ( Х , ) равен нулю, то это точная последовательность следует , что каждое глобальное сечение C подъемников к глобальной секции B . В более широком смысле, точная последовательность делает знание групп когомологий более высокого уровня фундаментальным инструментом для понимания сечений пучков.

Определение Гротендика когомологий пучков, ставшее теперь стандартным, использует язык гомологической алгебры. Существенный момент состоит в том, чтобы зафиксировать топологическое пространство X и думать о когомологиях как о функторе от пучков абелевых групп на X к абелевым группам. Более подробно, начнем с функтора E ↦ E ( X ) от пучков абелевых групп на X к абелевым группам. Это точно слева , но в целом неточно справа. Тогда группы H ⁱ ( X , E ) для целых i определяются как правые производные функторыфунктора E ↦ E ( X ). Это делает автоматическим, что H ⁱ ( X , E ) равно нулю для i <0, и что H ⁰ ( X , E ) является группой E ( X ) глобальных секций. Приведенная выше длинная точная последовательность также очевидна из этого определения.

Определение производных функторов основано на том, что категория пучков абелевых групп на любом топологическом пространстве X имеет достаточно инъективов; то есть, для каждого пучка Е есть инъективный пучок I с инъекционной E → I . ^[2] Отсюда следует, что каждый пучок E имеет инъективную резольвенту :

${\displaystyle 0\to E\to I_{0}\to I_{1}\to I_{2}\to \cdots .}$

Тогда группы когомологий пучка H ⁱ ( X , E ) являются группами когомологий (ядром одного гомоморфизма по модулю образа предыдущего) цепного комплекса абелевых групп:

${\displaystyle 0\to I_{0}(X)\to I_{1}(X)\to I_{2}(X)\to \cdots .}$

Стандартные аргументы в гомологической алгебре означают , что эти группы когомологий не зависят от выбора инъективного разрешения E .

Это определение редко используется непосредственно для вычисления когомологий пучков. Тем не менее, он мощный, потому что он работает в очень общем виде (любой пучок абелевых групп в любом топологическом пространстве), и он легко влечет формальные свойства когомологий пучков, такие как длинная точная последовательность выше. Для конкретных классов пространств или пучков существует множество инструментов для вычисления когомологий пучков, некоторые из которых обсуждаются ниже.

Функциональность [ править ]

Для любого непрерывного отображения f : X → Y топологических пространств и любого пучка E абелевых групп на Y существует гомоморфизм обратного образа

${\displaystyle f^{*}\colon H^{j}(Y,E)\to H^{j}(X,f^{*}(E))}$

для каждого целого числа j , где f * ( E ) обозначает пучок обратного изображения или обратный пучок . ^[3] Если е является включение в подпространстве X из Y , F * ( E ) является ограничение на Е к X , часто просто называют Е снова, и отпускание секции с от Y к X называется ограничением s | _X .

Гомоморфизмы отката используются в последовательности Майера – Виеториса , что является важным результатом вычислений. А именно, пусть X топологическое пространство , которое является объединением двух открытых подмножеств U и V , и пусть Й пучок на X . Тогда существует длинная точная последовательность абелевых групп: ^[4]

${\displaystyle 0\to H^{0}(X,E)\to H^{0}(U,E)\oplus H^{0}(V,E)\to H^{0}(U\cap V,E)\to H^{1}(X,E)\to \cdots .}$

Когомологии пучков с постоянными коэффициентами [ править ]

Для топологического пространства X и абелевой группы А , то постоянный пучок _Х означает пучок локально постоянных функций со значениями в А . Группы когомологий пучка H ^j ( X , A _X ) с постоянными коэффициентами часто записываются просто как H ^j ( X , A ), если это не может вызвать путаницу с другой версией когомологий, такой как сингулярные когомологии .

Для непрерывного отображения F : X → Y и абелевой группы А , прообраз пучка F * ( _У ) изоморфна А _X . В результате гомоморфизм поднятия превращает когомологии пучков с постоянными коэффициентами в контравариантный функтор от топологических пространств к абелевым группам.

Для любых пространств X и Y и любой абелевой группы А , два гомотопными отображает е и г из X в Y индуцируют же гомоморфизм на пучок когомологий: ^[5]

${\displaystyle f^{*}=g^{*}:H^{j}(Y,A)\to H^{j}(X,A).}$

Отсюда следует, что два гомотопически эквивалентных пространства имеют изоморфные пучковые когомологии с постоянными коэффициентами.

Пусть Х быть паракомпактным хаусдорфовым , который является локально сжимаемым , даже в слабом смысле , что каждая открытая окрестность U точки х содержит открытую окрестность V из х , таких , что включение V → U гомотопно постоянного отображения. Тогда особые группы когомологий X с коэффициентами в абелевой группе A изоморфны когомологиям пучков с постоянными коэффициентами H * ( X , A _X ). ^[6] Например, это верно дляX топологическое многообразие или комплекс CW .

В результате многие из основных вычислений когомологий пучков с постоянными коэффициентами аналогичны вычислениям сингулярных когомологий. См. Статью о когомологиях когомологий сфер, проективных пространств, торов и поверхностей.

Для произвольных топологических пространств особые когомологии и когомологии пучков (с постоянными коэффициентами) могут быть разными. Это происходит даже при H ⁰ . Сингулярные гомологии Н ⁰ ( Х , Z ) является группой всех функций из множества компонентов пути от X до целых чисел Z , тогда как пучок когомологии Н ⁰ ( Х , Z _Х ) является группой локально постоянных функций из X в Z . Они разные, например, когда X - множество Кантора. Действительно, когомологии пучков H ⁰ ( X , Z _X ) в этом случае являются счетной абелевой группой, а особые когомологии H ⁰ ( X , Z ) - это группа всех функций из X в Z , мощность которой

${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}.}$

Для паракомпактной хаусдорфова пространства X и любого пучка Е абелевых групп на X , группы когомологий Н ^J ( X , E ) равны нулю для J больше , чем охватывающий размерности из X . ^[7] (Это не выполняется в той же общности для особых когомологий: например, существует компактное подмножество евклидова пространства R ^3, которое имеет ненулевые особые когомологии в бесконечном числе степеней. ^[8] ) Накрывающая размерность согласуется с обычной понятие размерности топологического многообразия или комплекса CW.

Дряблые и мягкие снопы [ править ]

Пучок E абелевых групп на топологическом пространстве X называется ациклическим, если H ^j ( X , E ) = 0 для всех j > 0. По длинной точной последовательности когомологий пучка когомологии любого пучка могут быть вычислены из любых ациклических разрешение E (а не инъективное разрешение). Инъективные пучки ациклические, но для вычислений полезно иметь другие примеры ациклических пучков.

Пучок Е на X называется вялым (французский: flasque ) , если каждая секция Е на открытом подмножестве X продолжается до сечения Е на всех X . Дряблые связки ацикличны. ^[9] Годеман определил когомологии пучков через каноническое дряблое разрешение любого пучка; поскольку дряблые пучки ацикличны, определение Годемана согласуется с определением когомологий пучков выше. ^[10]

Пучок Е на паракомпактный хаусдорфова пространства X называется мягким , если каждый участок сужения E на замкнутое подмножество в X продолжается до сечения Е на всех X . Каждая мягкая связка ациклична. ^[11]

Некоторые примеры мягких пучков являются пучком вещественных значных непрерывных функций на любом паракомпактном Хаусдорф пространстве, или пучок гладких ( C ^∞ функций) на любом гладком многообразии . ^[12] Вообще говоря, любой пучок модулей над мягким пучком коммутативных колец является мягким; например, пучок гладких сечений векторного расслоения над гладким многообразием мягкий. ^[13]

Например, эти результаты составляют часть доказательства теоремы де Рама . Для гладкого многообразия X , то Пуанкаре лемма говорит о том , что комплекс де Рама является разрешение постоянного пучка R _X :

${\displaystyle 0\to \mathbf {R} _{X}\to \Omega _{X}^{0}\to \Omega _{X}^{1}\to \cdots ,}$

где Ω _X ^j - пучок гладких j -форм, а отображение Ω _X ^j → Ω _X ^{j +1} - внешняя производная d . По полученным выше результатам пучки Ω _X ^j мягкие и, следовательно, ациклические. Отсюда следует, что пучковые когомологии X с действительными коэффициентами изоморфны когомологиям де Рама X , определенным как когомологии комплекса вещественных векторных пространств :

${\displaystyle 0\to \Omega _{X}^{0}(X)\to \Omega _{X}^{1}(X)\to \cdots .}$

Другая часть теоремы де Рама состоит в отождествлении когомологий пучков и особых когомологий X с действительными коэффициентами; это справедливо в большей степени, как обсуждалось выше .

Когомологии Чеха [ править ]

Когомологии Чеха - это приближение к когомологиям пучков, которые часто используются для вычислений. А именно, пусть быть открытым покрытием топологического пространства X , и пусть E -пучок абелевых групп на X . Пишем открытые множества в крышке , как U _я для элементов я набор I и зафиксирует упорядочение I . Тогда когомологии Чеха определяются как когомологии явного комплекса абелевых групп с j- й группой${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle H^{j}({\mathcal {U}},E)}$

${\displaystyle C^{j}({\mathcal {U}},E)=\prod _{i_{0}<\cdots <i_{j}}E(U_{i_{0}}\cap \cdots \cap U_{i_{j}}).}$

Есть естественный гомоморфизм . Таким образом, когомологии Чеха - это приближение к когомологиям пучков с использованием только сечений E на конечных пересечениях открытых множеств U _i .${\displaystyle H^{j}({\mathcal {U}},E)\to H^{j}(X,E)}$

Если каждое конечное пересечение V открытых множеств в in не имеет высших когомологий с коэффициентами в E , что означает, что H ^j ( V , E ) = 0 для всех j > 0, то гомоморфизм когомологий Чеха в когомологии пучков является изоморфизмом. ^[14]${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle H^{j}({\mathcal {U}},E)}$

Другой подход к связи когомологий Чеха с когомологиями пучков заключается в следующем. Эти группы когомологий Чеха определяется как прямой предел в течение всех открытых покрытий из X (где открытые крышки заказанных уточнений ). Существует гомоморфизм когомологий Чеха в когомологии пучков, который является изоморфизмом для j ≤ 1. Для произвольных топологических пространств когомологии Чеха могут отличаться от когомологий пучков в более высоких степенях. Однако удобно, что когомологии Чеха изоморфны когомологиям пучков для любого пучка на паракомпактном хаусдорфовом пространстве. ^[15]${\displaystyle {\check {H}}^{j}(X,E)}$${\displaystyle H^{j}({\mathcal {U}},E)}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\check {H}}^{j}(X,E)\to H^{j}(X,E)}$

Изоморфизм подразумевает описание H ¹ ( X , E ) для любого пучка Е абелевых групп на топологическом пространстве X : эта группа классифицирует E - торсоры (называемые также основные E -расслоениях ) над X , с точностью до изоморфизма. (Это утверждение обобщается на любой пучок групп G , не обязательно абелевых, используя множество неабелевых когомологий H ¹ ( X , G ).) По определению E -торсор над X${\displaystyle {\check {H}}^{1}(X,E)\cong H^{1}(X,E)}$является пучок S множеств вместе с действием в Е на X таких , что каждая точка в X имеет открытую окрестность , на которой S изоморфна Е , с Й действуют на себе перевод. Например, на кольчатых пространстве ( X , О _Х ), то отсюда следует , что группа Пикара из обратимых пучков на X изоморфна пучок группы когомологий H ¹ ( X , О _Х *), где O_Х * является пучком единиц в O _X .

Относительные когомологии [ править ]

Для подмножества Y топологического пространства X и пучка E абелевых групп на X можно определить группы относительных когомологий : ^[16]

${\displaystyle H_{Y}^{j}(X,E)=H^{j}(X,X-Y;E)}$

для целых j . Другие названия - когомологии X с носителем в Y или (когда Y замкнут в X ) локальные когомологии . Длинная точная последовательность связывает относительные когомологии с когомологиями пучков в обычном смысле:

${\displaystyle \cdots \to H_{Y}^{j}(X,E)\to H^{j}(X,E)\to H^{j}(X-Y,E)\to H_{Y}^{j+1}(X,E)\to \cdots .}$

Когда Y замкнут в X , когомологии с носителем в Y могут быть определены как производные функторы функтора

${\displaystyle H_{Y}^{0}(X,E):=\{s\in E(X):s|_{X-Y}=0\},}$

группа секций Е , которые поддерживаются на Y .

Есть несколько изоморфизмов, известных как вырезание . Например, если X - топологическое пространство с подпространствами Y и U, такое, что замыкание Y содержится внутри U , а E - пучок на X , то ограничение

${\displaystyle H_{Y}^{j}(X,E)\to H_{Y}^{j}(U,E)}$

является изоморфизмом. ^[17] (Таким образом, когомологии с носителем в замкнутом подмножестве Y зависят только от поведения пространства X и пучка E вблизи Y. ) Кроме того, если X - паракомпактное хаусдорфово пространство, которое является объединением замкнутых подмножеств A и B , и E - пучок на X , то ограничение

${\displaystyle H^{j}(X,B;E)\to H^{j}(A,A\cap B;E)}$

является изоморфизмом. ^[18]

Когомологии с компактным носителем [ править ]

Пусть X - локально компактное топологическое пространство. (В этой статье под локально компактным пространством понимается хаусдорфово.) Для пучка E абелевых групп на X можно определить когомологии с компактным носителем H _c ^j ( X , E ). ^[19] Эти группы определяются как производные функторы функтора секций с компактным носителем:

${\displaystyle H_{c}^{0}(X,E)=\{s\in E(X):{\text{there is a compact subset }}K{\text{ of }}X{\text{ with }}s|_{X-K}=0\}.}$

Существует естественный гомоморфизм H _c ^j ( X , E ) → H ^j ( X , E ), который является изоморфизмом для X компактного.

Для пучка E на локально компактном пространстве X когомологии X × R с компактным носителем с коэффициентами в обратном образе E являются сдвигом когомологий X с компактным носителем : ^[20]

${\displaystyle H_{c}^{j+1}(X\times \mathbf {R} ,E)\cong H_{c}^{j}(X,E).}$

Отсюда следует, например, что H _c ^j ( R ⁿ , Z ) изоморфна Z, если j = n, и равна нулю в противном случае.

Когомологии с компактным носителем не функториальны относительно произвольных непрерывных отображений. Однако для правильного отображения f : Y → X локально компактных пространств и пучка E на X существует гомоморфизм обратного образа

${\displaystyle f^{*}\colon H_{c}^{j}(X,E)\to H_{c}^{j}(Y,f^{*}(E))}$

о когомологиях с компактным носителем. Кроме того, для открытого подмножества U локально компактного пространства X и пучка E на X существует прямой гомоморфизм, известный как расширение нулем : ^[21]

${\displaystyle H_{c}^{j}(U,E)\to H_{c}^{j}(X,E).}$

Оба гомоморфизма встречаются в длинной точной последовательности локализации для когомологий с компактным носителем, для локально компактного пространства X и замкнутого подмножества Y : ^[22]

${\displaystyle \cdots \to H_{c}^{j}(X-Y,E)\to H_{c}^{j}(X,E)\to H_{c}^{j}(Y,E)\to H_{c}^{j+1}(X-Y,E)\to \cdots .}$

Изделие из чашки [ править ]

Для любых пучков A и B абелевых групп на топологическом пространстве X существует билинейное отображение, чашечное произведение

${\displaystyle H^{i}(X,A)\times H^{j}(X,B)\to H^{i+j}(X,A\otimes B),}$

для всех i и j . ^[23] Здесь A ⊗ B обозначает тензорное произведение над Z , но если A и B - пучки модулей над некоторым пучком коммутативных колец O _X , то можно отобразить дальше от H ^{i + j} (X, A ⊗ _Z B ) в H ^{i + j} (X, A ⊗ _{O X} B ). В частности, для пучка O _Xкоммутативных колец произведение чашки составляет прямую сумму

${\displaystyle H^{*}(X,O_{X})=\bigoplus _{j}H^{j}(X,O_{X})}$

в градуированно-коммутативное кольцо, что означает, что

${\displaystyle vu=(-1)^{ij}uv}$

для всех u в H ⁱ и v в H ^j . ^[24]

Комплексы пучков [ править ]

Определение когомологий пучка как производного функтора распространяется на когомологии топологического пространства X с коэффициентами в любом комплексе пучков E :

${\displaystyle \cdots \to E_{j}\to E_{j+1}\to E_{j+2}\to \cdots }$

В частности, если комплекс E ограничен снизу (пучок E _j равен нулю при достаточно отрицательном j ), то E имеет инъективную резольвенту I, как и одиночный пучок. (По определению I - ограниченный снизу комплекс инъективных пучков с цепным отображением E → I, которое является квазиизоморфизмом .) Тогда группы когомологий H ^j ( X , E ) определяются как когомологии комплекса абелевых групп

${\displaystyle \cdots \to I_{j}(X)\to I_{j+1}(X)\to I_{j+2}(X)\to \cdots .}$

Когомологии пространства с коэффициентами в комплексе пучков раньше назывались гиперкогомологиями , но теперь обычно просто «когомологиями».

В более общем смысле, для любого комплекса пучков E (не обязательно ограниченного снизу) на пространстве X группа когомологий H ^j ( X , E ) определяется как группа морфизмов в производной категории пучков на X :

${\displaystyle H^{j}(X,E)=\operatorname {Hom} _{D(X)}(\mathbf {Z} _{X},E[j]),}$

где Z _X - постоянный пучок, связанный с целыми числами, а E [ j ] означает комплекс E, сдвинутый на j шагов влево.

Двойственность Пуанкаре и обобщения [ править ]

Центральным результатом в топологии является теорема двойственности Пуанкаре : для замкнутого ориентированного связного топологического многообразия X размерности n и поля k группа H ⁿ ( X , k ) изоморфна k , а чашечное произведение

${\displaystyle H^{j}(X,k)\times H^{n-j}(X,k)\to H^{n}(X,k)\cong k}$

является идеальной парой для всех целых j . То есть результирующее отображение H ^j ( X , k ) в сопряженное пространство H ^{n - j} ( X , k ) * является изоморфизмом. В частности, векторные пространства H ^j ( X , k ) и H ^{n - j} ( X , k ) * имеют одинаковую (конечную) размерность .

На языке когомологий пучков возможно множество обобщений. Если X - ориентированное n -многообразие, не обязательно компактное или связное, и k - поле, то когомологии являются двойственными когомологиям с компактным носителем:

${\displaystyle H^{j}(X,k)\cong H_{c}^{n-j}(X,k)^{*}.}$

Для любого многообразия X и поля k существует пучок o _X на X , ориентационный пучок , который локально (но, возможно, не глобально) изоморфен постоянному пучку k . Одним из вариантов двойственности Пуанкаре для произвольного n -многообразия X является изоморфизм: ^[25]

${\displaystyle H^{j}(X,o_{X})\cong H_{c}^{n-j}(X,k)^{*}.}$

В более общем смысле, если E - локально постоянный пучок k -векторных пространств на n -многообразии X и слои E имеют конечную размерность, то существует изоморфизм

${\displaystyle H^{j}(X,E^{*}\otimes o_{X})\cong H_{c}^{n-j}(X,E)^{*}.}$

Двойственность Пуанкаре с коэффициентами в произвольном коммутативном кольце, а не в поле, естественно формулируется как изоморфизм когомологий в гомологии Бореля – Мура .

Двойственность Вердье - обширное обобщение. Для любого локально компактного пространства X конечной размерности и любого поля k существует объект D _X в производной категории D ( X ) пучков на X, называемый дуализирующим комплексом (с коэффициентами в k ). Одним из случаев двойственности Вердье является изоморфизм: ^[26]

${\displaystyle H^{j}(X,D_{X})\cong H_{c}^{-j}(X,k)^{*}.}$

Для n -многообразия X дуализирующий комплекс D _X изоморфен сдвигу o _X [ n ] ориентационного пучка. В результате двойственность Вердье включает двойственность Пуанкаре как частный случай.

Двойственность Александера - еще одно полезное обобщение двойственности Пуанкаре. Для любого замкнутого подмножества X ориентированного n -многообразия M и любого поля k существует изоморфизм: ^[27]

${\displaystyle H_{X}^{j}(M,k)\cong H_{c}^{n-j}(X,k)^{*}.}$

Это интересно уже для X компактного подмножества M = R ^п , где он говорит , что (грубо говоря) , что когомология R ^п - X является сопряженным пучком когомологий X . В этом утверждении важно рассматривать когомологии пучков, а не особые когомологии, если только не делается дополнительных предположений относительно X, таких как локальная стягиваемость.

Высшие прямые изображения и спектральная последовательность Лере [ править ]

Пусть F : X → Y непрерывное отображение топологических пространств, и пусть E -пучок абелевых групп на X . Прямой пучок изображения F _* E представляет собой пучок на Y определяется

${\displaystyle (f_{*}E)(U)=E(f^{-1}(U))}$

для любого открытого подмножества U из Y . Например, если F является отображение из X в точку, то е _* Е представляет собой пучок на точке , соответствующей группе E ( X ) глобальных сечений Е .

Функтор f _* от пучков на X к пучкам на Y точен слева, но, вообще говоря, не точен справа. В более высокие прямые изображения пучки R ^I F _* Е на Y определяются как правые производные функторы функтора ф _* . Другое описание состоит в том, что R ⁱ f _* E - это пучок, связанный с предпучком.

${\displaystyle U\mapsto H^{i}(f^{-1}(U),E)}$

на Y . ^[28] Таким образом, высшие пучки прямых изображений описывают , грубо говоря, когомологии прообразов малых открытых множеств в Y.

Спектральная последовательность Лере относится когомологию на X к когомологиям на Y . А именно, для любого непрерывного отображения f : X → Y и любого пучка E на X существует спектральная последовательность

${\displaystyle E_{2}^{ij}=H^{i}(Y,R^{j}f_{*}E)\Rightarrow H^{i+j}(X,E).}$

Это очень общий результат. Частный случай, когда f - расслоение, а E - постоянный пучок, играет важную роль в теории гомотопий под названием спектральной последовательности Серра . В этом случае, чем выше прямые пучки изображения локально постоянны, со стеблями когомология волокон F из F , и так спектральной последовательность Серры может быть записана в виде

${\displaystyle E_{2}^{ij}=H^{i}(Y,H^{j}(F,A))\Rightarrow H^{i+j}(X,A)}$

для абелевой группы A .

Простой, но полезный случай спектральной последовательности Лере состоит в том, что для любого замкнутого подмножества X топологического пространства Y и любого пучка E на X , записывая f : X → Y для включения, существует изоморфизм ^[29]

${\displaystyle H^{i}(Y,f_{*}E)\cong H^{i}(X,E).}$

В результате любой вопрос о когомологиях пучков на замкнутом подпространстве может быть переведен на вопрос о пучке прямых изображений на объемлющем пространстве.

Конечность когомологий [ править ]

Имеется сильный результат о конечности когомологий пучков. Пусть X - компактное хаусдорфово пространство, а R - область главных идеалов , например поле или кольцо Z целых чисел. Пусть Е будет пучок R - модулей на X , и предположим , что Е имеет «локально конечно порожденную когомологию», а это означает , что для каждой точки х в X , любого целого J , и каждой открытой окрестности U от х , существует открытая окрестность V ⊂ U от х , таких , что образH ^j ( U , E ) → H ^j ( V , E ) - конечно порожденный R -модуль. Тогда группы когомологий H ^j ( X , E ) являются конечно порожденными R -модулями. ^[30]

Например, для компактного хаусдорфова пространства X, которое является локально стягиваемым (в слабом смысле, рассмотренном выше ), группа когомологий пучка H ^j ( X , Z ) конечно порождена для любого целого числа j .

Один из случаев, когда применим результат о конечности, - это случай конструктивного пучка . Пусть X - топологически стратифицированное пространство . В частности, X имеет последовательность замкнутых подмножеств

${\displaystyle X=X_{n}\supset X_{n-1}\supset \cdots \supset X_{-1}=\emptyset }$

такое, что каждая разность X _i - X _{i −1} является топологическим многообразием размерности i . Пучок Е из R -модулей на X является конструктивны по отношению к данной стратификации , если ограничение Е на каждый слой Х _я - Х _{я -1} локально постоянна, со стеблем конечно порожденный R - модуль. Пучок E на X , конструктивный относительно данной стратификации, имеет локально конечно порожденные когомологии. ^[31] ЕслиX компактно, следовательно, группы когомологий H ^j ( X , E ) X с коэффициентами в конструктивном пучке конечно порождены.

В более общем смысле, предположим, что X компактифицируемо, что означает, что существует компактное стратифицированное пространство W, содержащее X как открытое подмножество, причем W - X является объединением компонент связности стратов. Тогда для любого конструктивного пучка Е из R -модулей на X , то R -модулями Н ^J ( Х , Е ) и Н _с ^J ( X , Е ) конечно порождены. ^[32] Например, любое комплексное алгебраическое многообразие X с его классической (евклидовой) топологией компактифицируем в этом смысле.

Когомологии когерентных пучков [ править ]

В алгебраической геометрии и комплексной аналитической геометрии когерентные пучки представляют собой класс пучков, имеющих особое геометрическое значение. Например, алгебраическое векторное расслоение (на локально нётеровой схеме ) или голоморфное векторное расслоение (на комплексном аналитическом пространстве ) можно рассматривать как когерентный пучок, но когерентные пучки имеют то преимущество перед векторными расслоениями, что они образуют абелеву категорию. На схеме также полезно рассматривать квазикогерентные пучки, которые включают локально свободные пучки бесконечного ранга.

Многое известно о группах когомологий схемы или комплексного аналитического пространства с коэффициентами в когерентном пучке. Эта теория - ключевой технический инструмент алгебраической геометрии. Среди основных теорем - результаты об исчезновении когомологий в различных ситуациях, результаты о конечномерности когомологий, сравнения когерентных когомологий пучков и сингулярных когомологий, такие как теория Ходжа , а также формулы для характеристик Эйлера в когерентных когомологиях пучков, таких как когомологии Римана– Теорема Роха .

Снопы на сайте [ править ]

В 1960-х Гротендик определил понятие сайта , означающего категорию, оснащенную топологией Гротендика . Сайт С axiomatizes понятия множества морфизмов V _{& alpha} ; → U в C , являющееся покрытие из U . Топологическое пространство X естественным образом определяет сайт: в категории C есть объекты, являющиеся открытыми подмножествами X , причем морфизмы являются включениями, а набор морфизмов V _α → U называется покрытием U тогда и только тогда, когда Uявляется объединением открытых подмножеств V _α . Побуждающим примером топологии Гротендика за пределами этого случая была этальная топология схем. С тех пор многие другие топологии Гротендик были использованы в алгебраической геометрии: fpqc топология , в топологии Нисневича , и так далее.

Определение связки работает на любом сайте. Таким образом, можно говорить о связке множеств на сайте, о связке абелевых групп на сайте и так далее. Определение когомологий пучка как производного функтора также работает на сайте. Таким образом , для любого объекта X узла и любого пучка E абелевых групп существуют группы когомологий пучка H ^j ( X , E ) . Для этальной топологии это дает понятие этальных когомологий , которое привело к доказательству гипотез Вейля . Кристаллические когомологии и многие другие теории когомологий в алгебраической геометрии также определяются как когомологии пучков на соответствующем узле.

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Barratt, MG; Милнор, Джон (1962), "Пример аномальных сингулярных гомологий", Труды Американского математического общества , 13 : 293-297, DOI : 10,1090 / S0002-9939-1962-0137110-9 , MR  0137110
• Борель, Арманд (1984), Когомология пересечения , Биркхойзер , ISBN 0-8176-3274-3, MR  0788171
• Бредон, Глен Э. (1997) [1967], Теория снопов (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0647-7 , ISBN 978-0-387-94905-5, Руководство по ремонту  1481706
• Годеман, Роджер (1973) [1958], Topologie algébrique et théorie des faisceaux , Париж: Hermann, MR  0345092
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994) [1978], Принципы алгебраической геометрии , библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , DOI : 10.1002 / 9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, MR  1288523
• Гротендик, А. (1957), "Sur Quelques точки d'algèbre гомологической" , Tohoku математический журнал , (2), 9 : 119-221, DOI : 10,2748 / TMJ / 1178244839 , МР  0102537. Английский перевод .
• Хартсхорн, Робин (1977), алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157 , OCLC  13348052
• Иверсен, Биргер (1986), Когомология пучков , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-642-82783-9 , ISBN 978-3-540-16389-3, MR  0842190

Внешние ссылки [ править ]

• Нить «Сноп когомология и инъективными резолюции» на MathOverflow
• «Сноп когомология» на Stack бирже