В гомологической алгебре и алгебраической топологии , А спектральная последовательность является средством вычисления групп гомологии, принимая последовательные приближения. Спектральные последовательности являются обобщением точных последовательностей , и с момента их введения Жаном Лере ( 1946 ) они стали важными вычислительными инструментами, особенно в алгебраической топологии , алгебраической геометрии и гомологической алгебре .
Открытие и мотивация
Мотивированный проблемами алгебраической топологии , Жан Лере ввел понятие пучка и столкнулся с проблемой вычисления когомологий пучка . Для вычисления когомологий пучков Лере ввел вычислительную технику, которая теперь известна как спектральная последовательность Лере . Это дало связь между группами когомологий пучка и группами когомологий прямого пучка . Отношения включали бесконечный процесс. Лере обнаружил, что группы когомологий прямого форварда образуют естественный цепной комплекс , так что он может взять когомологии когомологий. Это все еще не было когомологией исходного пучка, но в определенном смысле это было на шаг ближе. Когомологии когомологий снова образуют цепной комплекс, а его когомологии образуют цепной комплекс и т. Д. Предел этого бесконечного процесса был по существу таким же, как и у групп когомологий исходного пучка.
Вскоре стало понятно, что вычислительная техника Лере является примером более общего явления. Спектральные последовательности были обнаружены в различных ситуациях, и они давали сложные отношения между группами гомологий и когомологий, возникающими из геометрических ситуаций, таких как расслоения, и из алгебраических ситуаций, связанных с производными функторами . Хотя их теоретическая важность снизилась после введения производных категорий , они по-прежнему являются наиболее эффективным доступным вычислительным инструментом. Это верно даже тогда, когда многие члены спектральной последовательности не поддаются расчету.
К сожалению, из-за большого количества информации, передаваемой в спектральных последовательностях, их трудно понять. Эта информация обычно содержится в решетке абелевых групп или модулей ранга три . Проще всего иметь дело с теми случаями, когда спектральная последовательность в конечном итоге схлопывается, а это означает, что дальнейшее продвижение по последовательности не дает новой информации. Даже когда этого не происходит, часто можно получить полезную информацию из спектральной последовательности с помощью различных уловок.
Формальное определение
Определение
Зафиксируем абелеву категорию , например категорию модулей над кольцом . Когомологическая спектральная последовательность является выбором неотрицательного числа и набор из трех последовательностей:
- Для всех целых чисел , объект , называемый листом (например, листом бумаги ), а иногда страницей или термином ;
- Эндоморфизмы удовлетворение , называемые граничными картами или дифференциалами ;
- Изоморфизмы с участием , гомологии относительно .
Обычно изоморфизмы между а также подавляются, и вместо этого мы пишем равенства. Иногданазывается производный объект из. [ необходима цитата ]
Спектральная последовательность из цепного комплекса
Самый элементарный пример - цепной комплекс C • . Объект C • в абелевой категории цепных комплексов имеет дифференциал d . Пусть r 0 = 0, и пусть E 0 равно C • . Это заставляет E 1 быть комплексом H ( C • ): в i -м месте это i -я группа гомологий C • . Единственным естественным дифференциалом в этом новом комплексе является нулевое отображение, поэтому мы полагаем d 1 = 0. Это вынуждает в равной , и снова наш единственный естественный дифференциал - это нулевое отображение. Помещение нулевого дифференциала на все остальные листы дает спектральную последовательность, члены которой:
- E 0 = C •
- E r = H ( C • ) для всех r ≥ 1.
Члены этой спектральной последовательности стабилизируются на первом листе, потому что ее единственный нетривиальный дифференциал находится на нулевом листе. Следовательно, мы не сможем получить больше информации на более поздних этапах. Обычно, чтобы получить полезную информацию из последующих листов, нам нужна дополнительная структура на.
Типы спектральных последовательностей
В неградуированной ситуации, описанной выше, r 0 не имеет значения, но на практике большинство спектральных последовательностей попадают в категорию дважды градуированных модулей над кольцом R (или дважды градуированных пучков модулей над пучком колец). В этом случае каждый лист представляет собой дважды градуированный модуль, поэтому он распадается как прямая сумма членов с одним членом для каждой возможной бистепени. Граничная карта определяется как прямая сумма граничных карт на каждом из элементов листа. Их степень зависит от r и фиксируется условно. Для гомологической спектральной последовательности слагаемые записываютсяи дифференциалы имеют бистепень (- r , r - 1). Для когомологической спектральной последовательности слагаемые записываютсяи дифференциалы имеют бистепень ( r , 1 - r ). (Такой выбор бистепени происходит на практике; см. Пример двойного комплекса ниже.) В зависимости от спектральной последовательности граничная карта на первом листе может иметь степень, которая соответствует r = 0, r = 1 или r = 2. Например, для спектральной последовательности фильтрованного комплекса, описанного ниже, т 0 = 0, а для последовательности Гротендик , т 0 = 2. Обычно г 0 равен нуль, один или два.
Категориальные свойства
Морфизм спектральных последовательностей E → E ' - это по определению набор отображений f r : E r → E' r , совместимых с дифференциалами и с заданными изоморфизмами между когомологиями r- го шага и (r + 1) -ые листы E и E ' соответственно.
Интерпретация как фильтрация циклов и границ
Пусть E r - спектральная последовательность, начиная, скажем, с r = 1. Тогда существует последовательность подобъектов
такой, что ; действительно, рекурсивно мы позволяем и разреши быть так, чтобы ядро и образ
Затем мы позволяем а также
- ;
это называется предельным сроком. (Конечно, такиенет необходимости существовать в категории, но обычно это не проблема, поскольку, например, в категории модулей такие ограничения существуют или поскольку на практике спектральная последовательность, с которой работаете, имеет тенденцию к вырождению; в приведенной выше последовательности есть только конечное число включений.)
Визуализация
Двукратная спектральная последовательность содержит огромное количество данных, которые необходимо отслеживать, но существует общий метод визуализации, который делает структуру спектральной последовательности более ясной. У нас есть три индекса: r , p и q . Для каждого r представьте, что у нас есть лист миллиметровой бумаги. На этом листе мы возьмем p за горизонтальное направление, а q за вертикальное направление. В каждой точке решетки есть объект.
Очень часто n = p + q является еще одним естественным индексом в спектральной последовательности. n проходит по диагонали, с северо-запада на юго-восток, через каждый лист. В гомологическом случае дифференциалы имеют бистепень (- r , r - 1), поэтому они уменьшают n на единицу. В когомологическом случае n увеличивается на единицу. Когда r равно нулю, дифференциал перемещает объекты на одну позицию вниз или вверх. Это похоже на дифференциал на цепном комплексе. Когда r равно единице, дифференциал перемещает объекты на одно деление влево или вправо. Когда r равно двум, дифференциал перемещает объекты точно так же, как ход коня в шахматах . Для более высоких r дифференциал действует как обобщенный ход коня.
Отработанные примеры
При первом изучении спектральных последовательностей часто бывает полезно работать с простыми вычислительными примерами. Для более формального и полного обсуждения см. Разделы ниже. Для примеров в этом разделе достаточно использовать это определение: говорят, что спектральная последовательность сходится к H с возрастающей фильтрацией F, если. Приведенные ниже примеры показывают, как можно связать такие фильтрации с-терм в виде точных последовательностей; многие точные последовательности в приложениях (например, последовательность Гизина ) возникают таким образом.
2 ненулевых соседних столбца
Позволять - гомологическая спектральная последовательность такая, что для всех p, кроме 0, 1. Визуально это спектральная последовательность с-страница
Дифференциалы на второй странице имеют степень (-2, 1), поэтому они имеют вид
Эти карты все равны нулю, так как они
,
следовательно, спектральная последовательность вырождается: . Скажем, сходится к с фильтрацией
такой, что . потом, , , и т. д. Таким образом, существует точная последовательность: [1]
.
Далее пусть - спектральная последовательность, вторая страница которой состоит только из двух строк q = 0, 1. Она не должна вырождаться на второй странице, но она все равно вырождается на третьей странице, поскольку дифференциалы там имеют степень (-3, 2). Примечание, так как знаменатель равен нулю. По аналогии,. Таким образом,
.
Теперь, скажем, спектральная последовательность сходится к H с фильтрацией F, как в предыдущем примере. С, и т. д. имеем: . Собирая все вместе, получаем: [2]
Последовательность Ванга
Вычисление в предыдущем разделе является простым обобщением. Рассмотрим расслоение над сферой:
с n не меньше 2. Имеется спектральная последовательность Серра :
;
то есть, с некоторой фильтрацией . Сотличен от нуля только тогда, когда p равно нулю или n и равно Z в этом случае, мы видим состоит всего из двух строк , следовательно -страница предоставлена
Более того, поскольку
для по теореме универсальных коэффициентов , то страница выглядит как
Поскольку единственные ненулевые дифференциалы находятся на -страница, предоставленная
который
спектральная последовательность сходится на . Вычисляя мы получаем точную последовательность
и записанный с использованием групп гомологий, это
Чтобы установить, что эти два -термы, напишите , и с тех пор и т. д. имеем: и, таким образом, поскольку ,
Это точная последовательность
Собирая все вычисления вместе, получаем: [3]
(Последовательность Гайсина получается аналогичным образом.)
Условия низкой степени
С очевидным изменением обозначений тип вычислений в предыдущих примерах может быть выполнен и для когомологической спектральной последовательности. Позволять- спектральная последовательность первого квадранта, сходящаяся к H с убывающей фильтрацией
чтобы С равен нулю, если p или q отрицательны, мы имеем:
С по той же причине и с тех пор
- .
С , . Складывая последовательности вместе, мы получаем так называемую пятичленную точную последовательность :
Карты границ и нарушения
Гомологические спектральные последовательности
Позволять - спектральная последовательность. Еслидля любого q <0 должно быть так: при r ≥ 2,
поскольку знаменатель равен нулю. Следовательно, существует последовательность мономорфизмов:
- .
Их называют краевыми картами. Аналогично, еслидля любого p <0 существует последовательность эпиморфизмов (также называемых картами ребер):
- .
Нарушение представляет собой частично определенное отображение (точнее, карта из подобъекта к частному )
дано как композиция , первая и последняя карты являются инверсиями краевых карт. [4]
Когомологические спектральные последовательности
Для спектральной последовательности когомологического типа справедливы аналогичные утверждения. Еслидля любого q <0 существует последовательность эпиморфизмов
- .
И если для любого p <0 существует последовательность мономорфизмов:
- .
Преступление - это не обязательно четко определенная карта:
индуцированный .
Заявление
Определение этих отображений является фундаментальным для вычисления многих дифференциалов в спектральной последовательности Серра . Например, карта трансгрессии определяет дифференциал [5] стр. 540,564
для гомологической спектральной спектральной последовательности, следовательно, на спектральной последовательности Серра для расслоения дает карту
Мультипликативная структура
Продукт чашки дает кольцевую структуру в группу когомологий, превратив его в кольцо когомологий . Таким образом, естественно рассматривать спектральную последовательность также с кольцевой структурой. Позволять- спектральная последовательность когомологического типа. Мы говорим, что он имеет мультипликативную структуру, если (i)являются (дважды градуированными) дифференциальными градуированными алгебрами и (ii) умножением на индуцируется тем, что на через переход к когомологиям.
Типичным примером является когомологическая спектральная последовательность Серра для расслоения, Когда группа коэффициентов является кольцом R . Он имеет мультипликативную структуру, индуцированную чашечными продуктами волокна и основания на-страница. [6] Однако в целом ограничивающий срокне изоморфна как градуированная алгебра H ( E ; R ). [7] Мультипликативная структура может быть очень полезной для вычисления дифференциалов в последовательности. [8]
Построения спектральных последовательностей
Спектральные последовательности можно строить разными способами. В алгебраической топологии точная пара, пожалуй, самый распространенный инструмент для построения. В алгебраической геометрии спектральные последовательности обычно строятся из фильтрации коцепных комплексов.
Точные пары
Самым мощным методом построения спектральных последовательностей является метод точных пар Уильяма Мэсси . Точные пары особенно распространены в алгебраической топологии, где существует множество спектральных последовательностей, для которых не известно никакой другой конструкции. Фактически, все известные спектральные последовательности могут быть построены с использованием точных пар. [ необходима цитата ] Несмотря на это, они непопулярны в абстрактной алгебре, где большинство спектральных последовательностей происходит от фильтрованных комплексов. Чтобы определить точные пары, мы снова начнем с абелевой категории. Как и раньше, на практике это обычно категория двояко градуированных модулей над кольцом. Точная пара представляет собой пару объектов А и С , вместе с тремя гомоморфизмами между этими объектами: F : → A , г : → C и ч : C → A при соблюдении определенных условий точности:
- Изображение f = ядро g
- Изображение g = ядро h
- Изображение h = ядро f
Мы будем сокращать эти данные как ( A , C , f , g , h ). Точные пары обычно изображают в виде треугольников. Мы увидим, что C соответствует члену E 0 спектральной последовательности и что A - некоторые вспомогательные данные.
Для перехода к следующему листу спектральной последовательности сформируем производную пару . Мы установили:
- д = г о ч
- А ' = f ( А )
- C ' = Ker d / Im d
- f ' = f | A ' , ограничение f на A'
- h ' : C' → A ' индуцирован h . Несложно увидеть, что h индуцирует такое отображение.
- г « : А» → C « определяется на элементы следующим образом : Для каждого а в А» , записать в виде F ( б ) для некоторого Ь в А . g ' ( a ) определяется как образ g ( b ) в C' . Вообще говоря, g ' можно построить с помощью одной из теорем вложения для абелевых категорий.
Отсюда легко проверить, что ( A ' , C' , f ' , g' , h ' ) - точная пара. C ' соответствует члену E 1 спектральной последовательности. Мы можем повторить эту процедуру, чтобы получить точные пары ( A ( n ) , C ( n ) , f ( n ) , g ( n ) , h ( n ) ). Пусть E n будет C ( n ), а d n будет g ( n ) o h ( n ) . Это дает спектральную последовательность.
Спектральные последовательности, построенные этим методом
- Спектральная последовательность Серра [9] - используется для вычисления (ко) гомологии расслоения.
- Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха - используется для вычисления (ко) гомологий необычных теорий когомологий, таких как K-теория
- Спектральная последовательность Бокштейна .
- Спектральные последовательности фильтрованных комплексов
Спектральная последовательность фильтруемого комплекса
Очень распространенный тип спектральной последовательности происходит от фильтрованного комплекса коцепей. Это коцепной комплекс C • вместе с набором подкомплексов F p C • , где p пробегает все целые числа. (На практике p обычно ограничено с одной стороны.) Мы требуем, чтобы граничное отображение было согласовано с фильтрацией; это означает, что d ( F p C n ) ⊆ F p C n +1 . Мы предполагаем , что фильтрация по убыванию , то есть, F р C • ' ⊇ F р +1 C • . Пронумеруем члены коцепного комплекса n . Позже мы также будем предполагать, что фильтрация является хаусдорфовой или разделенной , то есть пересечение множества всех F p C • равно нулю, и что фильтрация исчерпывающая , то есть объединение множества всех F p C • - весь цепной комплекс C • .
Фильтрация полезна , поскольку она дает меру близости к нулю: Поскольку р возрастает, F р C • становится все ближе и ближе к нулю. Мы построим спектральную последовательность из этой фильтрации, в которой кограницы и коциклы на более поздних листах становятся все ближе и ближе к кограницам и коциклам в исходном комплексе. Эта спектральная последовательность дважды градуирована степенью фильтрации p и дополнительной степенью q = n - p . (Дополнительная степень часто является более удобным показателем, чем общая степень n . Например, это верно для спектральной последовательности двойного комплекса, объясненной ниже.)
Построим эту спектральную последовательность вручную. C • имеет только одну градацию и фильтрацию, поэтому сначала мы создаем объект с двумя градациями из C • . Чтобы получить вторую оценку, мы возьмем связанный оцениваемый объект по отношению к фильтрации. Запишем это необычно, что будет оправдано на шаге E 1 :
Поскольку мы предположили, что граничное отображение было согласовано с фильтрацией, E 0 является двояковыпуклым объектом и существует естественное двояковыпуклое граничное отображение d 0 на E 0 . Чтобы получить E 1 , возьмем гомологии E 0 .
Заметь а также можно записать как изображения в из
и что тогда у нас есть
именно то, что дифференциал поднимает на один уровень фильтрации, и это в точности образ материала, который дифференциал поднимает на нулевые уровни фильтрации. Это говорит о том, что мы должны выбратьчтобы быть материалом , который дифференциал толкает вверх R уровни в фильтрации ибыть изображением того, что дифференциал поднимает уровень r-1 в фильтрации. Другими словами, спектральная последовательность должна удовлетворять
и у нас должны быть отношения
Чтобы это имело смысл, мы должны найти дифференциал d r на каждом E r и убедиться, что он приводит к гомологиям, изоморфным E r +1 . Дифференциал
определяется ограничением исходного дифференциала d, определенного на к подобъекту .
Несложно проверить, что гомология E r относительно этого дифференциала равна E r +1 , так что это дает спектральную последовательность. К сожалению, дифференциал не очень явный. Определение дифференциалов или поиск способов их обхода - одна из основных задач успешного применения спектральной последовательности.
Приложения
- Может использоваться для построения смешанных структур Ходжа [10]
Спектральные последовательности, построенные с помощью фильтрованных комплексов
- Спектральная последовательность Ходжа – де Рама
- Спектральная последовательность двойного комплекса
Спектральная последовательность двойного комплекса
Другой распространенной спектральной последовательностью является спектральная последовательность двойного комплекса. Двойной комплекс представляет собой совокупность объектов C I, J для всех целых чисел я и J вместе с двумя дифференциалами, d I и d II . Предполагается, что d I уменьшает i , а d II - уменьшает j . Кроме того, мы предполагаем, что дифференциалы антикоммутируют , так что d I d II + d II d I = 0. Наша цель - сравнить повторные гомологии а также . Мы сделаем это, отфильтровав наш двойной комплекс двумя разными способами. Вот наши фильтрации:
Чтобы получить спектральную последовательность, сведемся к предыдущему примеру. Мы определяем полный комплекс T ( C •, • ) как комплекс, n -й член которого равени дифференциал которого равен d I + d II . Это сложно, потому что d I и d II - антикоммутирующие дифференциалы. Две фильтрации по C i, j дают две фильтрации по всему комплексу:
Для того, чтобы показать , что эти спектральные последовательности дают информацию о повторных гомологий, мы будем работать вне Е 0 , E 1 и E 2 с точки зрения I фильтрации на T ( C •, • ). Е 0 Термин ясно:
где n = p + q .
Чтобы найти член E 1 , нам нужно определить d I + d II на E 0 . Обратите внимание, что дифференциал должен иметь степень −1 по n , поэтому мы получаем отображение
Следовательно, дифференциал на E 0 - это отображение C p , q → C p , q −1, индуцированное d I + d II . Но d I имеет неправильную степень, чтобы вызвать такое отображение, поэтому d I должен быть равен нулю на E 0 . Это означает, что дифференциал в точности равен d II , поэтому мы получаем
Чтобы найти E 2 , нам нужно определить
Поскольку E 1 был в точности гомологией относительно d II , d II равен нулю на E 1 . Следовательно, получаем
Использование другой фильтрации дает нам другую спектральную последовательность с аналогичным членом E 2 :
Остается найти связь между этими двумя спектральными последовательностями. Оказывается, что по мере увеличения r две последовательности станут достаточно похожими, чтобы можно было проводить полезные сравнения.
Конвергенция, дегенерация и упор
В простейшем примере, с которого мы начали, листы спектральной последовательности были постоянными, если r было не менее 1. В этой настройке имеет смысл взять предел последовательности листов: поскольку ничего не происходит после нулевого листа, ограничивающий лист E ∞ совпадает с E 1 .
В более общих ситуациях ограничивающие листы часто существуют и всегда интересны. Это один из самых мощных аспектов спектральных последовательностей. Мы говорим, что спектральная последовательность сходится или примыкает к если существует r ( p , q ) такое, что для всех r ≥ r ( p , q ) дифференциалы а также равны нулю. Это заставляет быть изоморфным для больших р . В символах пишем:
Буква p указывает индекс фильтрации. Очень часто пишут с левой стороны абатмента, потому что это наиболее полезный термин для большинства спектральных последовательностей.
В большинстве спектральных последовательностей термин, естественно, не является объектом двойной степени. Вместо этого обычно термины, которые имеют естественную фильтрацию . В этих случаях мы полагаем. Сходимость определяем так же, как и раньше, но пишем
означать, что всякий раз, когда p + q = n , сходится к .
Самая простая ситуация, в которой мы можем определить сходимость, - это когда спектральные последовательности вырождаются. Мы говорим, что спектральные последовательности вырождаются на листе r, если для любого s ≥ r дифференциал d s равен нулю. Отсюда следует, что E r ≅ E r +1 ≅ E r +2 ≅ ... В частности, отсюда следует, что E r изоморфно E ∞ . Вот что произошло в нашем первом тривиальном примере нефильтрованного цепного комплекса: спектральная последовательность выродилась на первом листе. В общем, если дважды градуированная спектральная последовательность равна нулю за пределами горизонтальной или вертикальной полосы, спектральная последовательность будет вырождаться, потому что более поздние дифференциалы всегда будут идти к или от объекта, не входящего в полосу.
Спектральная последовательность также сходится, если обращается в нуль для всех p, меньших некоторого p 0, и для всех q, меньших некоторого q 0 . Если p 0 и q 0 могут быть выбраны равными нулю, это называется спектральной последовательностью первого квадранта . Эта последовательность сходится, потому что каждый объект находится на фиксированном расстоянии от края ненулевой области. Следовательно, для фиксированных p и q дифференциал на более поздних листах всегда отображаетот или до нулевого объекта; более наглядно дифференциал выходит из квадранта, в котором члены не равны нулю. Однако спектральная последовательность не должна вырождаться, потому что не все дифференциальные отображения могут быть нулевыми одновременно. Аналогично спектральная последовательность также сходится, еслиобращается в нуль для всех p, больших некоторого p 0, и для всех q, больших некоторого q 0 .
Пятичленная точная последовательность спектральной последовательности относится определенные термины низкой степени и Ē ∞ термины.
См. Также Бордман, Условно сходящиеся спектральные последовательности .
Примеры вырождения
Спектральная последовательность фильтрованного комплекса, продолжение
Обратите внимание, что у нас есть цепочка включений:
Мы можем спросить, что произойдет, если мы определим
является естественным кандидатом на опору этой спектральной последовательности. Схождение не происходит автоматически, но происходит во многих случаях. В частности, если фильтрация конечна и состоит из ровно r нетривиальных шагов, то спектральная последовательность вырождается после r- го листа. Сходимость также имеет место, если комплекс и фильтрация ограничены снизу или оба ограничены сверху.
Чтобы более подробно описать опору нашей спектральной последовательности, обратите внимание, что у нас есть формулы:
Чтобы понять, что это означает для Напомним, что мы предполагали, что фильтрация была раздельной. Это означает, что при увеличении r ядра сжимаются, пока не останется. Длянапомним, что мы предполагали, что фильтрация была исчерпывающей. Это означает, что с увеличением r изображения растут, пока мы не достигнем. Мы приходим к выводу
- ,
то есть, абатмент спектральной последовательности является р - я градуированной части (р + д) й гомологии С . Если наша спектральная последовательность сходится, мы заключаем, что:
Длинные точные последовательности
Используя спектральную последовательность фильтрованного комплекса, мы можем вывести существование длинных точных последовательностей . Выберите короткую точную последовательность коцепных комплексов 0 → A • → B • → C • → 0 и назовите первое отображение f • : A • → B • . Мы получаем естественные отображения гомологических объектов H n ( A • ) → H n ( B • ) → H n ( C • ), и мы знаем, что это точно посередине. Мы будем использовать спектральную последовательность фильтрованного комплекса, чтобы найти связывающий гомоморфизм и доказать, что полученная последовательность точна. Для начала фильтруем B • :
Это дает:
Дифференциал имеет бистепень (1, 0), поэтому d 0, q : H q ( C • ) → H q +1 ( A • ). Это связывающие гомоморфизмы из леммы о змее , и вместе с отображениями A • → B • → C • они дают последовательность:
Осталось показать, что эта последовательность точна в точках A и C. Обратите внимание, что эта спектральная последовательность вырождается на члене E 2, потому что дифференциалы имеют бистепень (2, −1). Следовательно, член E 2 совпадает с членом E ∞ :
Но у нас также есть прямое описание члена E 2 как гомологии члена E 1 . Эти два описания должны быть изоморфными:
Первый дает точность в точке C , а второй дает точность в точке A.
Спектральная последовательность двойного комплекса, продолжение
Используя абатмент для фильтрованного комплекса, мы обнаруживаем, что:
Вообще говоря, две градуировки на H p + q (T (C •, • )) различны . Несмотря на это, все еще можно получить полезную информацию из этих двух спектральных последовательностей.
Коммутативность Tor
Пусть R - кольцо, M - правый R -модуль и N - левый R -модуль. Напомним, что производные функторы тензорного произведения обозначаются Tor . Tor определяется с помощью проективного разрешения его первого аргумента. Однако оказывается, что. Хотя это можно проверить без спектральной последовательности, это очень просто со спектральными последовательностями.
Выберите проективные разрешения а также из M и N соответственно. Считайте их комплексами, которые обращаются в нуль в отрицательной степени, имея дифференциалы d и e соответственно. Мы можем построить двойной комплекс, члены которого и дифференциалы которых а также . (Фактор −1 таков, что дифференциалы антикоммутируют.) Поскольку проективные модули плоские, взятие тензорного произведения на проективный модуль коммутирует с взятием гомологий, поэтому мы получаем:
Поскольку два комплекса являются резольвентами, их гомологии исчезают вне нулевой степени. В нулевой степени мы остаемся с
В частности, члены обращаются в нуль, кроме линий q = 0 (для I спектральной последовательности) и p = 0 (для II спектральной последовательности). Это означает, что спектральная последовательность вырождается на втором листе, поэтому члены E ∞ изоморфны членам E 2 :
Наконец, когда p и q равны, две правые части равны, и коммутативность Tor следует.
Дальнейшие примеры
Некоторые известные спектральные последовательности:
Топология и геометрия
- Атьи- Хирцебрух спектральная последовательность из экстраординарной теории когомологий
- Бар-спектральная последовательность для гомологий классифицирующего пространства группы.
- Спектральная последовательность Бокштейна, связывающая гомологии с коэффициентами mod p и гомологию, приведенную по модулю p .
- Спектральная последовательность Картана – Лере, сходящаяся к гомологиям фактор-пространства.
- Эйленберга- Мур спектральная последовательность для сингулярных когомологий в откате о наличии расслоения
- Серра спектральная последовательность из расслоения
Теория гомотопии
- Спектральная последовательность Адамса в стабильной теории гомотопий
- Спектральная последовательность Адамса – Новикова , обобщение необычных теорий когомологий .
- Спектральная последовательность Барратта, сходящаяся к гомотопии исходного пространства корасслоения.
- Спектральная последовательность Баусфилда – Кана, сходящаяся к гомотопическому копределу функтора.
- Хроматическая спектральная последовательность для вычисления начальных членов спектральной последовательности Адамса – Новикова .
- Спектральная последовательность кобара
- Спектральная последовательность ЭДП, сходящаяся к стабильным гомотопическим группам сфер
- Спектральная последовательность Федерера, сходящаяся к гомотопическим группам функционального пространства.
- Гомотопическая спектральная последовательность с неподвижной точкой [11]
- Спектральная последовательность Гуревича для вычисления гомологии пространства по его гомотопии.
- Спектральная последовательность Миллера, сходящаяся к стабильным по модулю p гомологиям пространства.
- Спектральная последовательность Милнора - другое название спектральной последовательности столбцов .
- Спектральная последовательность Мура - другое название спектральной последовательности столбцов .
- Спектральная последовательность Квиллена для вычисления гомотопии симплициальной группы.
- Спектральная последовательность Ротенберга – Стинрода - другое название спектральной последовательности столбцов .
- Спектральная последовательность ван Кампена для вычисления гомотопии клина пространств.
Алгебра
- Чех-к-производный функтор спектральная последовательность из Чеха в пучок когомологий .
- Замена спектральных последовательностей колец для вычисления групп модулей Tor и Ext.
- Спектральные последовательности Конна, сходящиеся к циклическим гомологиям алгебры.
- Спектральная последовательность Герстена – Витта.
- Спектральная последовательность Грина для когомологий Кошуля
- Спектральная последовательность Гротендика для составления производных функторов
- Спектральная последовательность гипергомологий для вычисления гипергомологий.
- Спектральная последовательность Кюннета для вычисления гомологий тензорного произведения дифференциальных алгебр.
- Спектральная последовательность Лере, сходящаяся к когомологиям пучка.
- Спектральная последовательность от локального к глобальному Ext
- Спектральная последовательность Линдона – Хохшильда – Серра в групповых (ко) гомологиях
- Майская спектральная последовательность для вычисления групп Tor или Ext алгебры.
- Спектральная последовательность дифференциально-фильтрованной группы: описана в этой статье.
- Спектральная последовательность двойного комплекса: описана в этой статье.
- Спектральная последовательность точной пары: описана в этой статье.
- Спектральная последовательность универсальных коэффициентов
- Спектральная последовательность ван Эста, сходящаяся к относительным когомологиям алгебр Ли.
Комплексная и алгебраическая геометрия
- Спектральная последовательность Арнольда в теории особенностей .
- Спектральная последовательность Блоха – Лихтенбаума, сходящаяся к алгебраической K-теории поля.
- Спектральная последовательность Фрелихера, начинающаяся с когомологий Дольбо и сходящаяся к алгебраическим когомологиям де Рама многообразия.
- Спектральная последовательность Ходжа – де Рама, сходящаяся к алгебраическим когомологиям де Рама многообразия.
- Спектральная последовательность мотивации в K -теорию
Заметки
- ^ Weibel 1994 , Exercise 5.2.1 .; есть опечатки в точной последовательности, по крайней мере, в издании 1994 года.
- ^ Weibel 1994 , Exercise 5.2.2.
- ^ Weibel 1994 , Приложение 5.3.5.
- ^ Май , § 1 ошибка harvnb: несколько целей (2 ×): CITEREFМай ( справка )
- ^ Хэтчер, Аллен. "Спектральные последовательности в алгебраической топологии" (PDF) .
- ^ Дж. МакКлири - Руководство пользователя по спектральным последовательностям
- ^ Хэтчер , пример 1.17. ошибка harvnb: несколько целей (2 ×): CITEREFHatcher ( справка )
- ^ Хэтчер , пример 1.18. ошибка harvnb: несколько целей (2 ×): CITEREFHatcher ( справка )
- ^ Может. «Праймер по спектральным последовательностям» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 21 июня 2020 года . Дата обращения 21 июн 2020 .
- ^ Эльзейн, Фуад; Транг, Ле Зунг (23 февраля 2013 г.). «Смешанные структуры Ходжа». С. 40, 4.0.2. arXiv : 1302.5811 [ math.AG ].
- ^ Роберт Р. Брунер, Джон Рогнес, «Дифференциалы в гомологической гомотопической спектральной последовательности с фиксированной точкой». Архивировано 6 февраля 2018 г. в Wayback Machine.
Рекомендации
Вводный
- Фоменко, Анатолий; Фукс, Дмитрий, Гомотопическая топология
- Хэтчер, Аллен, Спектральные последовательности в алгебраической топологии (PDF)
Рекомендации
- Лере, Жан (1946), «L'anneau d'homologie d'une représentation», Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences , 222 : 1366–1368
- Лерэ, Жан (1946), «Структура представления гомологии единой», Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences , 222 : 1419–1422
- Кошул, Жан-Луи (1947). "Sur les opérateurs de dérivation dans un anneau". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 225 : 217–219.
- Мэсси, Уильям С. (1952). «Точные пары в алгебраической топологии. I, II». Анналы математики . Вторая серия. Анналы математики. 56 (2): 363–396. DOI : 10.2307 / 1969805 . JSTOR 1969805 .
- Мэсси, Уильям С. (1953). «Точные пары в алгебраической топологии. III, IV, V». Анналы математики . Вторая серия. Анналы математики. 57 (2): 248–286. DOI : 10.2307 / 1969858 . JSTOR 1969858 .
- Мэй, Дж. Питер . «Праймер по спектральным последовательностям» (PDF) .
- Макклири, Джон (2001). Руководство пользователя по спектральным последовательностям . Кембриджские исследования в области высшей математики. 58 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . DOI : 10.2277 / 0521567599 . ISBN 978-0-521-56759-6. Руководство по ремонту 1793722 .
- Мошер, Роберт; Тангора, Мартин (1968), Когомологические операции и приложения в теории гомотопий , Харпер и Роу, ISBN 978-0-06-044627-7
- Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования в области высшей математики. 38 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. Руководство по ремонту 1269324 . OCLC 36131259 .
дальнейшее чтение
- Чоу, Тимоти Ю. (2006). «Вы могли изобрести спектральные последовательности» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 53 : 15–19.
Внешние ссылки
- «Что же такого« призрачного »в спектральных последовательностях?» . MathOverflow .
- «SpectralSequences - пакет для работы с отфильтрованными комплексами и спектральными последовательностями» . Маколей 2 .