Дифференциальная градуированная алгебра

В математике , в частности в абстрактной алгебре и топологии , дифференциальная градуированная алгебра - это градуированная алгебра с добавленной цепной комплексной структурой, которая уважает структуру алгебры.

Определение [ править ]

Дифференциальный градуированная алгебру (или просто DG-алгебра ) является градуированной алгеброй оснащен картой , которая имеет либо степень 1 (коцепной комплекс конвенция) или степень (цепной комплекс конвенция) , которая удовлетворяет двум условия: ${\ displaystyle d \ двоеточие от A \ до A}$ ${\ displaystyle -1}$

${\ displaystyle d \ circ d = 0}$ .
Это говорит о том, что d дает A структуру цепного комплекса или коцепного комплекса (соответственно, когда дифференциал уменьшает или увеличивает степень).
${\ Displaystyle d (a \ cdot b) = (da) \ cdot b + (- 1) ^ {\ deg (a)} a \ cdot (db)}$ , где deg - степень однородности элементов.
Это говорит о том, что дифференциал d соответствует градуированному правилу Лейбница .

Более сжатый способ сформулировать то же определение - сказать, что DG-алгебра - это моноидный объект в моноидальной категории цепных комплексов. Морфизм DG между DG-алгебрами - это гомоморфизм градуированных алгебр, который уважает дифференциал d .

Дифференциальный градуированный дополненной алгебра (также называется DGA-алгебра , дополненной DG-алгебра или просто DGA ) является DG-алгебра оснащена морфизма DG на первом кольце (терминология связана с Генри Картаном ). ^[1]

Предупреждение: в некоторых источниках термин DGA используется для обозначения DG-алгебры.

Примеры DG-алгебр [ править ]

Тензорная алгебра [ править ]

Тензор алгебра является DG-алгебра с дифференциалом аналогична Козюли комплекса. Для векторного пространства над полем существует градуированное векторное пространство, определяемое как ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle T (V)}$

${\ Displaystyle T (V) = \ bigoplus _ {я \ geq 0} T ^ {k} (V) = \ bigoplus _ {я \ geq 0} V ^ {\ otimes i}}$

где . Если является базисом для существует дифференциал на тензорной алгебре, определенный покомпонентно. ${\ displaystyle V ^ {\ otimes 0} = k}$ ${\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {n}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle d: T ^ {k} (V) \ to T ^ {k-1} (V)}$

отправка базовых элементов в

$d(e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}})=\sum _{i_{1}\leq i_{j}\leq i_{k}}(-1)^{i_{j}}e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{j-1}}\otimes e_{i_{j+1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}}$

У этого есть канонический продукт, заданный тензорными элементами

$(e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}})\cdot (e_{j_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{j_{l}})=e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}}\otimes e_{j_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{j_{l}}$

Кошульский комплекс [ править ]

Одним из основополагающих примеров дифференциальной градуированной алгебры, широко используемой в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии, является комплекс Кошуля . Это из-за его широкого спектра приложений, включая построение плоских разрешений полных пересечений, и с производной точки зрения они дают производную алгебру, представляющую производное критическое геометрическое место.

Алгебра Де-Рама [ править ]

Дифференциальные формы на многообразии вместе с внешним дифференцированием и внешним произведением образуют DG-алгебру. Они имеют широкое применение, в том числе в теории производных деформаций . ^[2] См. Также когомологии де Рама .

Сингулярные когомологии [ править ]

Сингулярные гомологиями топологического пространства с коэффициентами в является DG-алгеброй: дифференциал задаются гомоморфизмом Бокштейна , ассоциированный с короткой точной последовательностью , и продукт даются продуктом чашки . Эта дифференциальная градуированная алгебра использовалась для вычисления когомологий пространств Эйленберга – Маклейна на семинаре Картана. ^[3]^[4] $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ $0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to 0$

Другие факты о DG-алгебрах [ править ]

Гомологии из DG-алгебры является градуированной алгеброй. Гомологии DGA-алгебры - это расширенная алгебра . $H_{*}(A)=\ker(d)/\operatorname {im} (d)$ $(A,d)$

См. Также [ править ]

Гомотопическая ассоциативная алгебра
Дифференциальная градуированная категория
Дифференциальная градуированная алгебра Ли
Дифференциальная градуированная схема (которая получается склейкой спектров градуированно-коммутативных дифференциальных градуированных алгебр относительно этальной топологии.)
Дифференциальный градиентный модуль

Ссылки [ править ]

^ Картан, Анри (1954). "Sur les groupes d'Eilenberg-Mac Lane " H ( Π , n ) {\displaystyle H(\Pi ,n)} . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 40 (6): 467–471. DOI : 10.1073 / pnas.40.6.467 . PMC 534072 . PMID 16589508 .
^ Манетти. «Дифференциальные градуированные алгебры Ли и формальная теория деформаций» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 16 июня 2013 года.
^ Картан, Х. (1954–1955). "DGA-элементы и DGA-модули" . Séminaire Henri Cartan . 7 (1): 1–9.
^ Картан, Х. (1954–1955). «DGA-модули (комплект), понятие де конструкции» . Séminaire Henri Cartan . 7 (1): 1–11.

Манин Юрий Иванович ; Гельфанд, Сергей I. (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9см. разделы V.3 и V.5.6

[1] Картан, Анри (1954). "Sur les groupes d'Eilenberg-Mac Lane " H ( Π , n ) {\displaystyle H(\Pi ,n)} . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 40 (6): 467–471. DOI : 10.1073 / pnas.40.6.467 . PMC 534072 . PMID 16589508 .

[2] Манетти. «Дифференциальные градуированные алгебры Ли и формальная теория деформаций» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 16 июня 2013 года.

[3] Картан, Х. (1954–1955). "DGA-элементы и DGA-модули" . Séminaire Henri Cartan . 7 (1): 1–9.

[4] Картан, Х. (1954–1955). «DGA-модули (комплект), понятие де конструкции» . Séminaire Henri Cartan . 7 (1): 1–11.

[1]