Гомоморфизм Бокштейна

В гомологической алгебре , то гомоморфизм Бокштейна , введенный Meyer Bockstein  ( 1942 , 1943 , 1958 ), представляет собой связывающий гомоморфизм , связанный с короткой точной последовательностью

${\ Displaystyle 0 \ к P \ к Q \ к R \ к 0}$

из абелевых групп , когда они вводятся в качестве коэффициентов в сложной цепи С , и которая появляется в гомологических групп , как гомоморфизм восстанавливающего степени на единицу,

${\ displaystyle \ beta \ двоеточие H_ {i} (C, R) \ to H_ {i-1} (C, P).}$

Чтобы быть более точным, C должен быть комплексом свободных или, по крайней мере, без кручения , абелевых групп, а гомология - это комплексы, образованные тензорным произведением с C ( должно входить какое-то условие плоского модуля ). Построение β проводится обычным рассуждением ( лемма о змейке ).

Аналогичная конструкция применяется к группам когомологий , на этот раз с увеличением степени на единицу. Таким образом, мы имеем

${\ Displaystyle \ бета \ двоеточие H ^ {i} (C, R) \ to H ^ {i + 1} (C, P).}$

Гомоморфизм Бокштейна ${\ displaystyle \ beta}$ связанный с последовательностью коэффициентов

${\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} / p ^ {2} \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} \ to 0}$

используется как один из генераторов алгебры Стинрода . Этот гомоморфизм Бокштейна обладает следующими двумя свойствами:

${\ Displaystyle \ бета \ бета = 0}$,

${\ Displaystyle \ бета (a \ чашка b) = \ beta (a) \ чашка b + (- 1) ^ {\ dim a} a \ cup \ beta (b)}$;

другими словами, это супердифференцирование, действующее на когомологии по модулю p пространства.

См. Также

• Спектральная последовательность Бокштейна

Ссылки

• Бокштейн, Мейер (1942), "Универсальные системы колец ∇-гомологий", ЦР (Докл. Sci. URSS , New Series, 37 : 243–245, MR  0008701.
• Бокштейн, Мейер (1943), "Полная система полей коэффициентов для ∇-гомологической размерности", CR (Doklady) Acad. Sci. URSS , New Series, 38 : 187–189, MR  0009115.
• Бокштейн, Мейер (1958), "Sur la formule des Cofficients universels pour les groupes d'homologie", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 247 : 396–398, MR  0103918
• Хэтчер, Аллен (2002), алгебраическая топология , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1, MR  1867354.
• Спаниер, Эдвин Х. (1981), Алгебраическая топология. Исправленная перепечатка , Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag , стр. Xvi + 528, ISBN 0-387-90646-0, Руководство по ремонту  0666554