Зигзагообразная лемма

В математике , особенно в гомологической алгебре , лемма о зигзаге утверждает существование определенной длинной точной последовательности в группах гомологий некоторых цепных комплексов . Результат верен в каждой абелевой категории .

Заявление [ править ]

В абелевой категории (такой как категория абелевых групп или категория векторных пространств над данным полем ), пусть и будут цепными комплексами, которые вписываются в следующую короткую точную последовательность :${\ displaystyle ({\ mathcal {A}}, \ partial _ {\ bullet}), ({\ mathcal {B}}, \ partial _ {\ bullet} ')}$${\ displaystyle ({\ mathcal {C}}, \ partial _ {\ bullet} '')}$

${\ displaystyle 0 \ longrightarrow {\ mathcal {A}} {\ stackrel {\ alpha} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {B}} {\ stackrel {\ beta} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {C} } \ longrightarrow 0}$

Такая последовательность является сокращением следующей коммутативной диаграммы :

где строки представляют собой точные последовательности, а каждый столбец представляет собой цепной комплекс .

Лемма о зигзаге утверждает, что существует набор граничных отображений

${\ displaystyle \ delta _ {n}: H_ {n} ({\ mathcal {C}}) \ longrightarrow H_ {n-1} ({\ mathcal {A}}),}$

что делает следующую последовательность точной:

Отображения и - обычные отображения, индуцированные гомологиями. Граничные карты поясняются ниже. Название леммы происходит от «зигзагообразного» поведения отображений в последовательности. Вариант леммы о зигзаге обычно известен как « лемма о змейке » (он извлекает суть доказательства леммы о зигзаге, приведенной ниже).${\ Displaystyle \ альфа _ {*} ^ {}}$${\ displaystyle \ beta _ {*} ^ {}}$${\ displaystyle \ delta _ {п} ^ {}}$

Построение пограничных карт [ править ]

Карты определяются с использованием стандартного аргумента поиска диаграмм. Пусть изобразят класс в , так что . Точность строки подразумевает, что она сюръективна, поэтому должны быть некоторые с . По коммутативности диаграммы ${\ displaystyle \ delta _ {п} ^ {}}$${\ displaystyle c \ in C_ {n}}$${\displaystyle H_{n}({\mathcal {C}})}$${\displaystyle \partial _{n}''(c)=0}$${\displaystyle \beta _{n}^{}}$${\displaystyle b\in B_{n}}$${\displaystyle \beta _{n}^{}(b)=c}$

${\displaystyle \beta _{n-1}\partial _{n}'(b)=\partial _{n}''\beta _{n}(b)=\partial _{n}''(c)=0.}$

По точности,

${\displaystyle \partial _{n}'(b)\in \ker \beta _{n-1}=\mathrm {im} \alpha _{n-1}.}$

Таким образом, поскольку он инъективен, существует единственный элемент такой, что . Это цикл, поскольку он инъективен и${\displaystyle \alpha _{n-1}^{}}$${\displaystyle a\in A_{n-1}}$${\displaystyle \alpha _{n-1}(a)=\partial _{n}'(b)}$${\displaystyle \alpha _{n-2}^{}}$

${\displaystyle \alpha _{n-2}\partial _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\alpha _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\partial _{n}'(b)=0,}$

с тех пор . То есть . Это означает, что это цикл, поэтому он представляет класс в . Теперь мы можем определить${\displaystyle \partial ^{2}=0}$${\displaystyle \partial _{n-1}(a)\in \ker \alpha _{n-2}=\{0\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle H_{n-1}({\mathcal {A}})}$

${\displaystyle \delta _{}^{}[c]=[a].}$

Определив граничные карты, можно показать, что они четко определены (то есть не зависят от выбора c и b ). В доказательстве используются аргументы для поиска диаграмм, аналогичные приведенным выше. Такие аргументы также используются, чтобы показать, что последовательность в гомологии точна в каждой группе.

См. Также [ править ]

• Последовательность Майера – Виеториса

Ссылки [ править ]

• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-79540-0. CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556
• Мункрес, Джеймс Р. (1993). Элементы алгебраической топологии . Нью-Йорк: Westview Press. ISBN 0-201-62728-0. CS1 maint: discouraged parameter (link)