В математике , особенно алгебраическая топология и гомология теория , то последовательность Майер-Виторис является алгебраическим инструментом помощи вычислительные алгебраические инварианты из топологических пространств , известных как их гомологии и когомологий групп . Результатом стали два австрийских математика, Вальтер Майер и Леопольд Виеторис . Метод состоит в разбиении пространства на подпространства, для которых группы гомологий или когомологий может быть проще вычислить. Последовательность связывает группы (ко) гомологий пространства с группами (ко) гомологий подпространств. Это естественная длинная точная последовательность , элементами которой являются группы (ко) гомологий всего пространства, прямая сумма групп (ко) гомологий подпространств и группы (ко) гомологий пересечения подпространств.
Последовательность Майера – Виеториса верна для множества теорий когомологий и гомологий , включая симплициальные гомологии и сингулярные когомологии . В общем, последовательность верна для тех теорий, удовлетворяющих аксиомам Эйленберга – Стинрода , и она имеет вариации как для приведенных, так и для относительных (ко) гомологий. Поскольку (ко) гомологии большинства пространств не могут быть вычислены непосредственно из их определений, в надежде получить частичную информацию используются такие инструменты, как последовательность Майера – Виеториса. Многие пространства, встречающиеся в топологии, создаются путем соединения очень простых фрагментов. Тщательный выбор двух покрывающих подпространств так, чтобы вместе с их пересечением они имели более простые (ко) гомологии, чем гомология всего пространства, может позволить полностью вывести (ко) гомологии пространства. В этом отношении последовательность Майера – Виеториса аналогична теореме Зейферта – ван Кампена для фундаментальной группы , и точное соотношение существует для гомологий размерности один.
Предпосылки, мотивация и история
Подобно фундаментальной группе или высшим гомотопическим группам пространства, группы гомологий являются важными топологическими инвариантами. Хотя некоторые теории (ко) гомологий вычислимы с использованием инструментов линейной алгебры , многие другие важные теории (ко) гомологий, особенно сингулярные (ко) гомологии, не вычисляются непосредственно из их определения для нетривиальных пространств. Для сингулярных (ко) гомологий группы особых (ко) цепей и (ко) циклов часто слишком велики, чтобы обрабатывать их напрямую. Становятся необходимы более тонкие и косвенные подходы. Последовательность Майера – Виеториса является таким подходом, дающим частичную информацию о группах (ко) гомологий любого пространства, связывая его с группами (ко) гомологий двух его подпространств и их пересечением.
Наиболее естественный и удобный способ выразить свое отношение предполагает алгебраическое понятие точных последовательностей : последовательности объектов (в данном случае группах ) и морфизмы (в данном случае группы гомоморфизмах ) между ними таким образом, что изображение одного морфизма равно ядром из следующий. В общем, это не позволяет полностью вычислить группы (ко) гомологий пространства. Однако, поскольку многие важные пространства, встречающиеся в топологии, представляют собой топологические многообразия , симплициальные комплексы или CW-комплексы , которые строятся путем соединения вместе очень простых фрагментов, теорема, подобная теореме Майера и Виеториса, потенциально имеет широкое и глубокое применение.
Майер познакомил с топологией его коллега Виеторис, когда он посещал свои лекции в 1926 и 1927 годах в местном университете в Вене . [1] Ему рассказали о предполагаемом результате и способе его решения, и он решил вопрос для чисел Бетти в 1929 году. [2] Он применил свои результаты к тору, который рассматривается как объединение двух цилиндров. [3] [4] Виеторис позже доказал полный результат для групп гомологии в 1930 году, но не выразил его как точную последовательность. [5] Концепция точной последовательности появилась в печати только в 1952 году в книге Сэмюэля Эйленберга и Нормана Стинрода « Основы алгебраической топологии » [6], где результаты Майера и Виеториса были выражены в современной форме. [7]
Основные версии сингулярных гомологий
Пусть X является топологическим пространством и , B два подпространства , чьи интерьеры покрывают X . (Внутренности A и B не обязательно должны быть непересекающимися.) Последовательность Майера – Вьеториса в сингулярных гомологиях для триады ( X , A , B ) - это длинная точная последовательность, связывающая группы особых гомологий (с группой коэффициентов - целые числа Z ) пространства Х , , B , и пересечение ∩ B . [8] Есть нередуцированная и сокращенная версии.
Нередуцированная версия
Для нередуцированной гомологии последовательность Майера – Виеториса утверждает, что следующая последовательность является точной: [9]
Здесь i : A ∩ B ↪ A , j : A ∩ B ↪ B , k : A ↪ X и l : B ↪ X - отображения включения иобозначает прямую сумму абелевых групп .
Граничная карта
Граничные карты ∂ ∗, понижающие размерность, можно определить следующим образом. [10] Элемент в H n ( X ) - это класс гомологии n -цикла x, который, например, с помощью барицентрического подразделения может быть записан как сумма двух n -цепей u и v , образы которых полностью лежат в A и B соответственно. Таким образом, ∂ x = ∂ ( u + v ) = 0, так что ∂ u = −∂ v . Это означает , что образы обоих этих граничных ( п - 1) -циклов содержатся в пересечении ∩ B . Тогда ∂ ∗ ([ x ]) можно определить как класс ∂ u в H n −1 ( A ∩ B ). Выбор другого разложения x = u ′ + v ′ не влияет на [∂ u ], поскольку ∂ u + ∂ v = ∂ x = ∂ u ′ + ∂ v ′ , откуда следует ∂ u - ∂ u ′ = ∂ ( v ′ - v ), поэтому ∂ u и ∂ u ′ принадлежат одному классу гомологий; а также не выбрать другой репрезентативной х ' , так как тогда ∂ х' = ∂ х = 0. Отметим , что карты в последовательности Майера-Виеториса зависит от выбора порядка для A и B . В частности, карта границ меняет знак, если поменять местами A и B.
Уменьшенная версия
Для редуцированных гомологий существует также последовательность Майера – Виеториса в предположении, что A и B имеют непустое пересечение. [11] Последовательность идентична для положительных размеров и заканчивается следующим образом:
Аналогия с теоремой Зейферта – ван Кампена.
Существует аналогия между последовательностью Майера – Виеториса (особенно для групп гомологий размерности 1) и теоремой Зейферта – ван Кампена . [10] [12] Когда бы то ни былоявляется линейно связным , приведенная последовательность Майера-Виторис дает изоморфизм
где по точности
Это в точности абелианизированная формулировка теоремы Зейферта – ван Кампена. Сравните с тем, чтоявляется абелианизацией фундаментальной группы когда связано с путями. [13]
Основные приложения
k- сфера
Чтобы полностью вычислить гомологии k -сферы X = S k , пусть A и B - две полусферы X с гомотопией пересечения, эквивалентные ( k - 1) -мерной экваториальной сфере. Так как K - мерное полушария гомеоморфное к K -Дисков, которые являются сжимаемыми , группа гомологии для A и B является тривиальной . Тогда последовательность Майера – Виеториса для редуцированных групп гомологии дает
Из точности сразу следует, что отображение ∂ * является изоморфизмом. Используя приведенные гомологии из 0-сферы (две точки) в качестве базового варианта , то [14]
где δ - символ Кронекера . Такое полное понимание гомологических групп сфер резко контрастирует с нынешними знаниями о гомотопических группах сфер , особенно для случая n > k, о котором мало что известно. [15]
Бутылка Клейна
Несколько более сложно применение последовательности Майера-Виеториса является вычисление групп гомологии бутылки Клейна X . Один использует разложение X как объединение двух лент Мёбиуса A и B, приклеенных вдоль их граничной окружности (см. Иллюстрацию справа). Тогда , В и их пересечение ∩ B являются гомотопически эквивалентны окружностям, поэтому нетривиальная часть выходов последовательностей [16]
а тривиальная часть подразумевает исчезающие гомологии для размерностей больше 2. Центральное отображение α переводит 1 в (2, −2), поскольку граничная окружность ленты Мёбиуса дважды оборачивается вокруг сердцевинной окружности. В частности, α инъективен, поэтому гомологии размерности 2 также равны нулю. Наконец, выбирая (1, 0) и (1, −1) в качестве основы для Z 2 , получаем
Суммы клина
Пусть Х является клиновидной суммой двух пространств K и L , и , кроме того , предположим , что идентифицированный Basepoint является деформационным ретрактом из открытых окрестностей U ⊆ K и V ⊆ L . Если A = K ∪ V и B = U ∪ L, то A ∪ B = X и A ∩ B = U ∪ V , что стягиваемо по построению. Тогда сокращенная версия последовательности дает (по точности) [17]
для всех размеров n . Иллюстрации справа показывает X в виде суммы двух 2- х сфер K и L . Для этого конкретного случая, используя результат выше для 2-сфер, мы имеем
Подвески
Если X - надстройка SY пространства Y , пусть A и B - дополнения в X верхней и нижней «вершин» двойного конуса соответственно. Тогда X - это объединение A ∪ B , причем A и B стягиваемы. Кроме того , пересечение ∩ B гомотопически эквивалентно Y . Отсюда дает последовательность Майера-Виеториса, для всех п , [18]
Иллюстрации справа показывает 1-сферу Х в виде суспензии в 0-сфере Y . Заметив в общем, что k- сфера является подвешиванием ( k - 1) -сферы, легко вывести группы гомологий k -сферы по индукции, как указано выше .
Дальнейшее обсуждение
Относительная форма
Относительная форма последовательности Майера-Виеториса также не существует. Если Y ⊂ X и является объединением C ⊂ A и D ⊂ B , то точная последовательность такова: [19]
Натуральность
Группы гомологий естественны в том смысле, что еслиявляется непрерывным отображением, то существует каноническое прямое отображение групп гомологий таким образом, что композиция "pushforward" является "pushforward" композиции: то есть, Последовательность Майера – Виеториса также естественна в том смысле, что если
то связующий морфизм последовательности Майера – Виеториса, ездит с . [20] То есть следующая диаграмма коммутирует [21] (горизонтальные отображения обычные):
Когомологические версии
Майер-Виторис длинного точная последовательность для сингулярных когомологий групп с коэффициентом группы G является двойной гомологической версией. Это следующее: [22]
где сохраняющие размерность отображения являются ограничивающими отображениями, индуцированными из включений, а (ко-) граничные отображения определены аналогично гомологической версии. Есть и относительная формулировка.
В качестве важного частного случая, когда G - группа действительных чисел R, а лежащее в основе топологическое пространство имеет дополнительную структуру гладкого многообразия , последовательность Майера – Виеториса для когомологий де Рама имеет вид
где { U , V } является открытым покрытием из X, ρ обозначает карту рестрикции, и Δ разница. Карта определяется аналогично отображению сверху. Кратко это можно описать следующим образом. Для класса когомологий [ ω ], представленного замкнутой формой ω в U ∩ V , выразим ω как разность формчерез разбиение единицы, подчиненное, например, открытой крышке { U , V } . Внешняя производная д £ U и д £ V согласен на U П V и , следовательно , вместе определяют п + 1 вид сг на X . Тогда d ∗ ([ ω ]) = [ σ ] .
Для когомологий де Рама с компактными носителями существует "перевернутый" вариант указанной выше последовательности:
где ,, такие же, как указано выше, это подписанная карта включения где расширяет форму с компактной опорой до формы на нулем и это сумма. [23]
Вывод
Рассмотрят длинную точную последовательность , связанную с самыми короткими точными последовательностями из цепных групп (составных группы цепных комплексов )
где α ( х ) = ( х , - х ), β ( х , у ) = х + у , а С п ( + Б ) представляет собой цепь группа , состоящая из сумм цепей в А и цепей в B . [9] Это факт, что особые n -симплексы X , образы которых содержатся либо в A, либо в B, порождают всю группу гомологий H n ( X ). [24] Другими словами, H n ( A + B ) изоморфен H n ( X ). Это дает последовательность Майера – Виеториса для сингулярных гомологий.
То же самое вычисление применимо к коротким точным последовательностям векторных пространств дифференциальных форм
дает последовательность Майера – Виеториса для когомологий де Рама. [25]
С формальной точки зрения последовательность Майера – Виеториса может быть получена из аксиом Эйленберга – Стинрода для теорий гомологии с использованием длинной точной последовательности в гомологиях . [26]
Другие теории гомологии
Вывод последовательности Майер-Виеторис из аксиом Эйленберга-Стинрод не требует измерений аксиомы , [27] Таким образом , в дополнении к существующим в обычных теориях когомологий , это имеет место в чрезвычайных теориях когомологий (например, топологическая K-теории и кобордизме ) .
Когомологии пучков
С точки зрения когомологий пучков последовательность Майера – Виеториса связана с когомологиями Чеха . В частности, она возникает из - за дегенерации в спектральной последовательности , которая относится к Чеху пучковых когомологий (иногда называемый Майер-Виеторис спектральной последовательности ) в случае , когда открытое покрытие используется для вычисления когомологий Чеха состоит из двух открытых множеств. [28] Эта спектральная последовательность существует в произвольных топосах . [29]
Смотрите также
- Теорема об удалении
- Зигзагообразная лемма
Заметки
- ^ Хирцебрух 1999
- ^ Майер 1929
- Перейти ↑ Dieudonné 1989 , p. 39
- Перейти ↑ Mayer 1929 , p. 41 год
- ^ Вьеторис 1930
- ^ Корри 2004 , стр. 345
- ^ Эйленберг и Стинрод 1952 , теорема 15.3
- ^ Эйленберг и Стинрод 1952 , §15
- ^ а б Хэтчер 2002 , стр. 149
- ^ а б Хэтчер 2002 , стр. 150
- ^ Spanier 1966 , стр. 187
- Перейти ↑ Massey 1984 , p. 240
- ^ Хэтчер 2002 , теорема 2A.1, стр. 166
- ^ Хэтчер 2002 , пример 2.46, стр. 150
- ^ Хэтчер 2002 , стр. 384
- ^ Хэтчер 2002 , стр. 151
- ↑ Hatcher 2002 , Упражнение 31 на странице 158
- ↑ Hatcher 2002 , Упражнение 32 на странице 158
- ^ Хэтчер 2002 , стр. 152
- Перейти ↑ Massey 1984 , p. 208
- ^ Эйленберг и Стинрод 1952 , теорема 15.4
- ^ Хэтчер 2002 , стр. 203
- ↑ Ботт, Рауль. Дифференциальные формы в алгебраической топологии . Ту, Лоринг В. Нью-Йорк. ISBN 978-0-387-90613-3. OCLC 7597142 .
- Перейти ↑ Hatcher 2002 , Proposition 2.21, p. 119
- ^ Ботта и Ту 1982 , §I.2
- ^ Хэтчер 2002 , стр. 162
- ^ Коно и Тамаки 2006 , стр. 25-26
- ^ Dimca 2004 , стр. 35-36
- ^ Вердье 1972 (SGA 4.V.3)
Рекомендации
- Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг В. (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3.
- Корри, Лео (2004), Современная алгебра и рост математических структур , Биркхойзер, с. 345, ISBN 3-7643-7002-5.
- Дьедонне, Жан (1989), История алгебраической и дифференциальной топологии 1900–1960 гг. , Биркхойзер, с. 39 , ISBN 0-8176-3388-X.
- Димка, Александру (2004), Пучки в топологии , Universitext, Берлин: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-642-18868-8 , ISBN 978-3-540-20665-1, Руководство по ремонту 2050072
- Эйленберг, Самуэль ; Стинрод, Норман (1952), Основы алгебраической топологии , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07965-3.
- Хэтчер, Аллен (2002), алгебраическая топология , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1, MR 1867354.
- Хирцебрух, Фридрих (1999), «Эмми Нётер и топология», в Тейхере, М. (ред.), «Наследие Эмми Нётер» , Труды Израильской математической конференции, Университет Бар-Илан / Американское математическое общество / Издательство Оксфордского университета , стр. 61–63, ISBN 978-0-19-851045-1, OCLC 223099225.
- Коно, Акира; Тамаки, Дай (2006) [2002], Обобщенные когомологии , Серия Иванами в современной математике, Переводы математических монографий, 230 (перевод с японского издания 2002 г., изд. Тамаки), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3514-2, Руководство по ремонту 2225848
- Мэсси, Уильям (1984), Алгебраическая топология: Введение , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90271-5.
- Майер, Вальтер (1929), "Убер abstrakte Topologie", Ежемесячник für Mathematik , 36 (1): 1-42, DOI : 10.1007 / BF02307601 , ISSN 0026-9255. (на немецком)
- Спаниер, Эдвин (1966), алгебраическая топология , Springer-Verlag , ISBN 0-387-94426-5.
- Вердье, Жан-Луи (1972), «Cohomologie dans les topos», у Артина, Майкла ; Гротендик, Александр ; Вердье, Жан-Луи (ред.), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963–64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - Том 2 , Лекционные заметки по математике (на французском), 270 , Берлин; Гейдельберг: Springer-Verlag , стр. 1, DOI : 10.1007 / BFb0061320 , ISBN 978-3-540-06012-3
- Вьеторис, Leopold (1930), "Убер умереть Homologiegruppen дер Vereinigung zweier Komplexe", Ежемесячник für Mathematik , 37 : 159-62, DOI : 10.1007 / BF01696765. (на немецком)
дальнейшее чтение
- Рейтбергер, Генрих (2002), «Леопольд Вьеторис (1891–2002)» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 49 (20), ISSN 0002-9920.