В математике , в частности , в алгебраической топологии , то аксиомы Эйленберга-Стинрод являются свойствами , что гомологии теория о топологических пространствах имеет в общем. Типичным примером теории гомологий, удовлетворяющей аксиомам, являются сингулярные гомологии , разработанные Самуэлем Эйленбергом и Норманом Стинродом .
Можно определить теорию гомологии как последовательность из функторов , удовлетворяющих аксиомам Стинрода-Эйленберга. Аксиоматический подход, разработанный в 1945 году, позволяет доказать результаты, такие как последовательность Майера – Виеториса , которые являются общими для всех теорий гомологии, удовлетворяющих этим аксиомам. [1]
Если опустить аксиому размерности (описанную ниже), то оставшиеся аксиомы определяют то, что называется экстраординарной теорией гомологий . Необычные теории когомологий впервые возникли в K-теории и кобордизме .
Формальное определение
Аксиомы Эйленберга – Стинрода применимы к последовательности функторов из категории из пар топологических пространств в категорию абелевых групп вместе с естественным преобразованием называется граничной картой (здесь это сокращение для . Аксиомы следующие:
- Гомотопия : гомотопические отображения индуцируют одно и то же отображение в гомологиях. То есть, еслиявляется гомотопными в, то их индуцированные гомоморфизмы совпадают.
- Иссечение : еслипара, а U такое подмножество A , что замыкание U содержится внутри A , то отображение включенияиндуцирует изоморфизм в гомологиях.
- Размерность : пусть P - одноточечное пространство; тогда для всех .
- Аддитивность : если, несвязное объединение семейства топологических пространств , тогда
- Точность : каждая пара (X, A) индуцирует длинную точную последовательность в гомологии через включения а также :
Если P - одноточечное пространство, тоназывается группой коэффициентов . Например, особые гомологии (взятые с целочисленными коэффициентами, как это чаще всего) имеют в качестве коэффициентов целые числа.
Последствия
Некоторые факты о группах гомологий могут быть получены непосредственно из аксиом, например, тот факт, что гомотопически эквивалентные пространства имеют изоморфные группы гомологий.
Гомологии некоторых относительно простых пространств, таких как п - сферы , могут быть вычислены непосредственно из аксиом. Отсюда можно легко показать , что ( п - 1) -сферы не отводной из п -дисков. Это используется в доказательстве теоремы Брауэра о неподвижной точке .
Аксиома размерности
«Гомологическая подобная» теория, удовлетворяющая всем аксиомам Эйленберга – Стинрода, за исключением аксиомы размерности, называется экстраординарной теорией гомологий (двойственно, экстраординарной теорией когомологий ). Важные примеры из них были обнаружены в 1950 - х, таких как топологический К-теория и теории кобордизмов , которые экстраординарная со теорией гомологии, и пришли с теориями гомологии , двойственными к ним.
Смотрите также
Заметки
Рекомендации
- Эйленберг, Самуэль ; Стинрод, Норман Э. (1945). «Аксиоматический подход к теории гомологии» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 31 : 117–120. DOI : 10.1073 / pnas.31.4.117 . Руководство по ремонту 0012228 . PMC 1078770 . PMID 16578143 .
- Эйленберг, Самуэль ; Стинрод, Норман Э. (1952). Основы алгебраической топологии . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . Руководство по ремонту 0050886 .
- Бредон, Глен (1993). Топология и геометрия . Тексты для выпускников по математике. 139 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4757-6848-0 . ISBN 0-387-97926-3. Руководство по ремонту 1224675 .