Теорема Брауэра о неподвижной точке

Теорема Брауэра о неподвижной точке - это теорема о неподвижной точке в топологии , названная в честь LEJ (Бертуса) Брауэра . Он утверждает, что для любой непрерывной функции, отображающей компактное выпуклое множество в себя, существует точка такая, что . Простейшие формы теоремы Брауэра относятся к непрерывным функциям из отрезка вещественных чисел в себя или из замкнутого круга в себя. Более общий вид , чем второй для непрерывных функций из выпуклого компакта в евклидове пространства к самому себе.${\ displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f(x_{0})=x_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle K}$

Среди сотен фиксированной точкой теоремы , ^[1] брауэровском особенно хорошо известно, отчасти из- за его использования во многих областях математики. В своем первоначальном поле, этот результат является одним из основных теорем , характеризующих топологию евклидовы пространства, наряду с теоремой Жордана , в теореме волосатой шара и теоремы Борсука-Улама . ^[2] Это дает ему место среди основных теорем топологии. ^[3] Теорема также используется для доказательства глубоких результатов о дифференциальных уравнениях и рассматривается в большинстве вводных курсов по дифференциальной геометрии . Он появляется в маловероятных полях, таких кактеория игр . В экономике, теорема о неподвижной точке Брауэра и его расширение, то Какутани с фиксированной точкой теоремы , играет центральную роль в доказательстве существования в общем равновесии в рыночной экономике , как развитый в 1950 нобелевских призерах Kenneth Arrow и Жерар Дебре .

Теорема была впервые изучена в связи с работой над дифференциальными уравнениями французских математиков Анри Пуанкаре и Шарля Эмиля Пикара . Доказательство результатов, таких как теорема Пуанкаре – Бендиксона, требует использования топологических методов. Эта работа конца XIX века открыла несколько последовательных версий теоремы. Общий случай был впервые доказан в 1910 году Жаком Адамаром ^[4] и Луитценом Эгбертусом Яном Брауэром . ^[5]

Заявление [ править ]

Теорема имеет несколько формулировок в зависимости от контекста, в котором она используется, и степени ее обобщения. Самым простым иногда является следующее:

В плоскости

Каждая непрерывная функция из замкнутого круга в себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку. ^[6]

Это можно обобщить на произвольную конечную размерность:

В евклидовом пространстве

Всякая непрерывная функция от замкнутого шара в виде евклидова пространства в себя имеет неподвижную точку. ^[7]

Несколько более общая версия выглядит следующим образом: ^[8]

Выпуклый компакт

Каждая непрерывная функция из выпуклого компактного подмножества K евклидова пространства в K имеет неподвижную точку. ^[9]

Еще более общая форма более известна под другим названием:

Теорема Шаудера о неподвижной точке

Каждая непрерывная функция из выпуклого компакта K в виде банаховом пространстве к K само имеет неподвижную точку. ^[10]

Важность предварительных условий [ править ]

Теорема верна только для компактных (в частности, ограниченных и замкнутых) и выпуклых (или гомеоморфных выпуклым) множеств. Следующие примеры показывают, почему предварительные условия важны.

Ограниченность [ править ]

Рассмотрим функцию

${\displaystyle f(x)=x+1,}$

которая является непрерывной функцией от самого себя. Поскольку он сдвигает каждую точку вправо, у него не может быть фиксированной точки. Пространство выпуклое и замкнутое, но не ограниченное.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Закрытость [ править ]

Рассмотрим функцию

${\displaystyle f(x)={\frac {x+1}{2}},}$

которая является непрерывной функцией от открытого интервала (−1,1) к себе. В этом интервале каждая точка сдвигается вправо, поэтому не может иметь фиксированной точки. Пространство (−1,1) выпукло и ограничено, но не замкнуто. Функция F имеет иметь фиксированную точку для отрезка [-1,1], а именно : F (1) = 1.

Выпуклость [ править ]

Выпуклость не является строго необходимой для BFPT. Поскольку задействованные свойства (непрерывность, неподвижность точки) инвариантны относительно гомеоморфизмов , BFPT эквивалентен формам, в которых требуется, чтобы область была замкнутым единичным шаром . По той же причине это справедливо для любого множества, гомеоморфного замкнутому шару (и, следовательно, замкнутого , ограниченного, связного , без дырок и т. Д.).${\displaystyle D^{n}}$

В следующем примере показано, что BFPT не работает для доменов с дырами. Рассмотрим функцию , которая является непрерывной функцией от единичной окружности к самой себе. Поскольку -x ≠ x выполняется для любой точки единичной окружности, f не имеет неподвижной точки. Аналогичный пример работает для n- мерной сферы (или любой симметричной области, не содержащей начала координат). Единичная окружность замкнута и ограничена, но в ней есть отверстие (поэтому она не выпуклая). Функция f действительно имеет фиксированную точку для единичного диска, поскольку она берет начало координат в себя.${\displaystyle f(x)=-x}$

Формальное обобщение BFPT для областей «без дырок» может быть получено из теоремы Лефшеца о неподвижной точке . ^[11]

Примечания [ править ]

Непрерывная функция в этой теореме не обязана быть биективной или даже сюръективной .

Иллюстрации [ править ]

Теорема имеет несколько иллюстраций из "реального мира". Вот несколько примеров.

1. Возьмите два листа миллиметровой бумаги одинакового размера с системами координат на них, положите один на стол, скомкайте (не разрывая и не порвав) другой и положите его любым способом поверх первого так, чтобы он смялся. бумага не выходит за пределы плоской. Тогда будет по крайней мере одна точка смятого листа, которая будет находиться непосредственно над соответствующей точкой (то есть точкой с такими же координатами) плоского листа. Это является следствием случая n = 2 теоремы Брауэра, примененного к непрерывной карте, которая присваивает координатам каждой точки смятого листа координаты точки плоского листа непосредственно под ним.
2. Возьмите обычную карту страны и предположите, что эта карта выложена на столе внутри этой страны. На карте всегда будет точка «Вы здесь», которая представляет ту же точку в стране.
3. В трех измерениях следствием теоремы Брауэра о фиксированной точке является то, что независимо от того, сколько вы перемешиваете коктейль в стакане (или думаете о молочном коктейле), когда жидкость остановится, какая-то точка в жидкости окажется точно в том же месте в стакане, что и до того, как вы предприняли какое-либо действие, предполагая, что конечное положение каждой точки является непрерывной функцией ее исходного положения, что жидкость после перемешивания содержится в пространстве, первоначально занимаемом ею, и что стакан (и форма перемешиваемой поверхности) сохраняют выпуклый объем. Заказ коктейля взболтанный, не размешанныйнарушает условие выпуклости («тряска» определяется как динамическая серия невыпуклых инерционных состояний удержания в свободном свободном пространстве под крышкой). В этом случае теорема неприменима, и, таким образом, все точки расположения жидкости потенциально смещаются из исходного состояния. ^{[ необходима цитата ]}

Интуитивный подход [ править ]

Объяснения, приписываемые Брауэру [ править ]

Предполагается, что эта теорема возникла из наблюдения Брауэра над чашкой кофе. ^[12] Если кто-то пытается растворить кусок сахара, оказывается, что всегда есть точка, в которой нет движения. Он пришел к выводу, что в любой момент на поверхности есть точка, которая не движется. ^[13] Фиксированная точка не обязательно является точкой, которая кажется неподвижной, поскольку центр турбулентности немного перемещается. Результат не является интуитивно понятным, поскольку исходная фиксированная точка может стать подвижной, когда появится другая фиксированная точка.

Говорят, что Брауэр добавил: «Я могу сформулировать этот великолепный результат по-разному, я беру горизонтальный лист и другой идентичный, который я мну, сплющиваю и кладу на другой. Тогда острие смятого листа находится в том же месте, что и на другом листе ". ^[13] Брауэр «выравнивает» лист, как утюг, не удаляя складок и складок. В отличие от примера с кофейной чашкой, пример мятой бумаги также демонстрирует, что может существовать более одной фиксированной точки. Это отличает результат Брауэра от других теорем о неподвижной точке, таких как теоремы Стефана Банаха , которые гарантируют единственность.

Одномерный случай [ править ]

В одном измерении результат интуитивно понятен и легко доказывается. Непрерывная функция f определена на отрезке [ a ,  b ] и принимает значения в том же интервале. Сказать, что эта функция имеет фиксированную точку, означает сказать, что ее график (темно-зеленый на рисунке справа) пересекает график функции, определенной на том же интервале [ a ,  b ], который отображает x в x (светло-зеленый).

Интуитивно понятно, что любая непрерывная линия от левого края квадрата до правого края обязательно должна пересекать зеленую диагональ. Чтобы доказать это, рассмотрим функцию g, которая отображает x в f ( x ) -  x . Это ≥ 0 на a и ≤ 0 на  b . По теореме промежуточного значения , г имеет нуль в [ с ,  Ь ]; этот ноль - неподвижная точка.

Говорят, что Брауэр выразил это следующим образом: «Вместо того, чтобы исследовать поверхность, мы докажем теорему о куске струны. Давайте начнем со струны в развернутом состоянии, а затем перегибаем ее. Давайте сплющим перевернутую струну. Опять же, точка нити не изменила своего положения относительно своего исходного положения на развернутой нити ". ^[13]

История [ править ]

Теорема Брауэра о неподвижной точке была одним из первых достижений алгебраической топологии и является основой более общих теорем о неподвижной точке, которые важны в функциональном анализе . Случай n = 3 был впервые доказан Пирсом Болем в 1904 году (опубликован в Journal für die reine und angewandte Mathematik ). ^[14] Позднее это было доказано Л.Е. Брауэром в 1909 году. Жак Адамар доказал общий случай в 1910 году ^[4], а Брауэр нашел другое доказательство в том же году. ^[5] Поскольку все эти ранние доказательства были неконструктивными косвенными доказательствами, они противоречили интуиционистским идеалам Брауэра . Хотя существование неподвижной точки не является конструктивным в смысле конструктивизма в математике , теперь известны методы приближения неподвижных точек, гарантированные теоремой Брауэра. ^{[15] [16]}

Предыстория [ править ]

Чтобы понять предысторию теоремы Брауэра о неподвижной точке, необходимо пройти через дифференциальные уравнения . В конце 19 - го века, старая проблема ^[17] о устойчивости Солнечной системы возвращала в фокус математического сообщества. ^{[18] Для} ее решения потребовались новые методы. Как заметил Анри Пуанкаре , который работал над проблемой трех тел , нет никакой надежды найти точное решение: «Нет ничего более подходящего, чтобы дать нам представление о сложности проблемы трех тел и вообще всех проблем. динамики, где нет единого интеграла и расходятся ряды Болина ». ^[19]Он также отметил, что поиск приближенного решения не более эффективен: «чем больше мы стремимся получить точные приближения, тем больше будет отклоняться результат в сторону возрастающей неточности». ^[20]

Он изучал вопрос, аналогичный вопросу о движении поверхности чашки кофе. Что вообще можно сказать о траекториях на поверхности, оживляемой постоянным потоком ? ^[21] Пуанкаре обнаружил, что ответ можно найти в том, что мы теперь называем топологическими свойствами в области, содержащей траекторию. Если эта область компактна , т.е. одновременно замкнута и ограничена , то траектория либо становится стационарной, либо приближается к предельному циклу . ^[22]Пуанкаре пошел еще дальше; если область такого же типа, как диск, как в случае с чашкой кофе, обязательно должна быть фиксированная точка. Эта неподвижная точка инвариантна относительно всех функций, которые ставят в соответствие каждой точке исходной поверхности ее положение через короткий промежуток времени  t . Если зона представляет собой круглую полосу или если она не закрыта ^[23], то это не обязательно так.

Чтобы лучше понять дифференциальные уравнения, родился новый раздел математики. Пуанкаре называл это анализом . Французская универсальная энциклопедия определяет его как ветвь, которая «рассматривает свойства объекта, которые остаются неизменными, если он деформируется любым непрерывным образом, без разрывов». ^[24] В 1886 году Пуанкаре доказал результат, эквивалентный теореме Брауэра о неподвижной точке ^[25], хотя связь с предметом этой статьи еще не была очевидна. ^[26] Чуть позже он разработал один из фундаментальных инструментов для лучшего понимания ситуации анализа, теперь известный как фундаментальная группа или иногда группа Пуанкаре. ^[27] Этот метод можно использовать для очень компактного доказательства обсуждаемой теоремы.

Метод Пуанкаре был аналогичен методу Эмиля Пикара , современного математика, который обобщил теорему Коши – Липшица . ^[28] Подход Пикара основан на результате, который позже будет формализован другой теоремой о неподвижной точке , названной в честь Банаха . Вместо топологических свойств области в этой теореме используется тот факт, что рассматриваемая функция является сжатием .

Первые доказательства [ править ]

На заре 20-го века интерес к анализу места не остался незамеченным. Однако необходимость теоремы, эквивалентной обсуждаемой в этой статье, еще не была очевидна. Пирс Бол , латвийский математик, применил топологические методы к изучению дифференциальных уравнений. ^[29] В 1904 году он доказал трехмерный случай нашей теоремы ^[14], но его публикация не была замечена. ^[30]

Наконец, Брауэр дал этой теореме первый патент на благородство. Его цели отличались от целей Пуанкаре. Этот математик был вдохновлен основами математики, особенно математической логикой и топологией . Его первоначальный интерес заключался в попытке решить пятую проблему Гильберта . ^[31] В 1909 году во время путешествия в Париж он встретил Анри Пуанкаре , Жака Адамара и Эмиля Бореля.. Последовавшие за этим обсуждения убедили Брауэра в важности лучшего понимания евклидовых пространств и послужили началом плодотворного обмена письмами с Адамаром. В течение следующих четырех лет он сосредоточился на доказательстве некоторых великих теорем по этому вопросу. В 1912 году он доказал теорему о волосатом шаре для двумерной сферы, а также тот факт, что каждое непрерывное отображение двумерного шара в себя имеет фиксированную точку. ^[32] Эти два результата сами по себе не были новостью. Как заметил Адамар, Пуанкаре показал теорему, эквивалентную теореме о волосатом шарике. ^[33] Революционным аспектом подхода Брауэра было его систематическое использование недавно разработанных инструментов, таких как гомотопия., лежащая в основе концепции группы Пуанкаре. В следующем году Адамар обобщил обсуждаемую теорему на произвольную конечную размерность, но использовал другие методы. Ганс Фройденталь комментирует соответствующие роли следующим образом: «По сравнению с революционными методами Брауэра методы Адамара были очень традиционными, но участие Адамара в рождении идей Брауэра больше похоже на акушерку, чем на простого зрителя». ^[34]

Подход Брауэра принес свои плоды, и в 1910 году он также нашел доказательство, справедливое для любой конечной размерности ^[5], а также другие ключевые теоремы, такие как инвариантность размерности. ^[35] В контексте этой работы Брауэр также обобщил теорему о жордановой кривой на произвольную размерность и установил свойства, связанные со степенью непрерывного отображения . ^[36] Эта область математики, первоначально задуманная Пуанкаре и развитая Брауэром, изменила свое название. В 1930-е годы место анализа превратилось в алгебраическую топологию . ^[37]

Прием [ править ]

Теорема доказала свою ценность более чем одним способом. В течение 20-го века было разработано множество теорем о неподвижной точке и даже раздел математики, названный теорией о неподвижной точке . ^[38] Теорема Брауэра, вероятно, самая важная. ^[39] Это также одна из основополагающих теорем о топологии топологических многообразий и часто используется для доказательства других важных результатов, таких как теорема Жордана о кривой . ^[40]

Помимо теорем о неподвижной точке для более или менее сжимающих функций, есть много, которые прямо или косвенно возникли из обсуждаемого результата. Непрерывное отображение замкнутого шара евклидова пространства на его границу не может быть тождественным на границе. Точно так же теорема Борсука – Улама утверждает, что непрерывное отображение n -мерной сферы в R ⁿ имеет пару антиподальных точек, которые отображаются в одну и ту же точку. В конечномерном случае теорема Лефшеца о неподвижной точке предоставила с 1926 года метод подсчета неподвижных точек. В 1930 году теорема Брауэра о неподвижной точке была обобщена на банаховы пространства . ^[41]Это обобщение известно как теорема Шаудера о неподвижной точке - результат, обобщенный С. Какутани на многозначные функции . ^[42] Встречается также теорема и ее варианты вне топологии. Его можно использовать для доказательства теоремы Хартмана-Гробмана , которая описывает качественное поведение некоторых дифференциальных уравнений вблизи определенных положений равновесия. Точно так же теорема Брауэра используется для доказательства центральной предельной теоремы . Теорема также может быть найдена в доказательствах существования решений некоторых дифференциальных уравнений в частных производных . ^[43]

Затронуты и другие области. В теории игр , Джон Нэш использовал теорему доказать , что в игре Hex есть выигрышная стратегия для белого. ^[44] В области экономики П. Бич объясняет, что некоторые обобщения теоремы показывают, что ее использование полезно для некоторых классических задач теории игр и в целом для равновесий ( закон Хотеллинга ), финансовых равновесий и неполных рынков. ^[45]

Знаменитость Брауэра связана не только с его топологической работой. Доказательства его больших топологических теоремы не конструктивны , ^[46] и неудовлетворенность Брауэра с этим частично , что привело его сформулировать идею конструктивности . Он стал создателем и ревностным защитником способа формализации математики, известного как интуиционизм , который в то время выступал против теории множеств . ^[47] Брауэр отказался от своего первоначального доказательства теоремы о неподвижной точке. Первый алгоритм аппроксимации неподвижной точки был предложен Гербертом Скарфом . ^[48] Тонкий аспект алгоритма Скарфа заключается в том, что он находит точку,почти фиксируется функцией f , но, как правило, не может найти точку, близкую к действительной фиксированной точке. На математическом языке, если ε выбрано очень маленьким, алгоритм Скарфа может использоваться для поиска точки x, такой, что f ( x ) очень близка к x , т . Е .. Но алгоритм Скарфа не может быть использован для нахождения точки x, такой, что x очень близок к фиксированной точке: мы не можем гарантировать, где. Часто это последнее условие подразумевается под неформальной фразой «приближение к фиксированной точке» ^{[ необходима цитата ]} .${\displaystyle d(f(x),x)<\varepsilon }$${\displaystyle d(x,y)<\varepsilon ,}$${\displaystyle f(y)=y.}$

Схема доказательства [ править ]

Доказательство с использованием степени [ править ]

Первоначальное доказательство Брауэра 1911 года опиралось на понятие степени непрерывного отображения . Современные версии доказательства также можно найти в литературе. ^[49]

Обозначим через единичный замкнутый шар с центром в нуле. Предположим просто, что непрерывно дифференцируемо. Регулярное значение из является точка , так что якобиан из неособ в каждой точке прообраза . В частности, по теореме об обратной функции , каждая точка прообраза лежит внутри (внутри ). Степени на обычное значении определяются как сумма знаков якобиевого детерминанта из над прообразами Under :${\displaystyle K={\overline {B(0)}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:K\to K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p\in B(0)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B(0)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p\in B(0)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {deg} _{p}(f)=\sum _{x\in f^{-1}(p)}\operatorname {sign} \left(\det(Df(x))\right).}$

Степень - это, грубо говоря, количество «листов» прообраза f, лежащих на небольшом открытом множестве вокруг p , причем листы подсчитываются противоположно, если они противоположно ориентированы. Таким образом, это обобщение номера намотки на более высокие размеры.

Степень удовлетворяет свойству гомотопической инвариантности : пусть и - две непрерывно дифференцируемые функции, и для . Предположим, что точка является регулярным значением для всех t . Тогда .${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle H_{t}(x)=tf+(1-t)g}$${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle H_{t}}$${\displaystyle \deg _{p}f=\deg _{p}g}$

Если неподвижной точки границы нет , то функция ${\displaystyle K}$

${\displaystyle g(x)={\frac {x-f(x)}{\sup _{x\in K}\left|x-f(x)\right|}}}$

хорошо определен, и

${\displaystyle H(t,x)={\frac {x-tf(x)}{\sup _{x\in K}\left|x-tf(x)\right|}}}$

определяет гомотопию от тождественной функции к ней. Функция идентичности имеет степень один в каждой точке. В частности, функция идентичности имеет степень один в начале координат, поэтому также имеет степень один в начале координат. Как следствие, прообраз не пустой. Элементы - это в точности неподвижные точки исходной функции f .${\displaystyle g}$${\displaystyle g^{-1}(0)}$${\displaystyle g^{-1}(0)}$

Это требует некоторой работы, чтобы сделать его полностью общим. Определение степени необходимо распространить на особые значения f , а затем на непрерывные функции. Более современное появление теории гомологии упрощает построение степени, и поэтому оно стало стандартным доказательством в литературе.

Доказательство с использованием гомологии [ править ]

Доказательство использует наблюдение , что граница по п -дисков D ^п является S ^{п -1} , то ( п - 1) - сфера .

Предположим, от противного, что непрерывная функция f  :  D ⁿ  →  D ⁿ не имеет неподвижной точки. Это означает, что для каждой точки x в D ⁿ точки x и f ( x ) различны. Поскольку они различны, для каждой точки x в D ⁿ мы можем построить уникальный луч от f ( x ) до x и следовать по лучу, пока он не пересечет границу S ^{n −1} (см. Иллюстрацию). Называя эту точку пересечения F ( x), определим функцию F  :  D ⁿ  →  S ^{n −1,} отправляющую каждую точку в круге в соответствующую ей точку пересечения на границе. Как частный случай, если x сам находится на границе, то точка пересечения F ( x ) должна быть x .

Следовательно, Р представляет собой особый тип непрерывной функции известна как ретракции : каждая точка области значений (в данном случае S ^{п -1} ) является неподвижной точкой F .

Интуитивно кажется маловероятным, что может быть втягивание D ⁿ на S ^{n −1} , а в случае n = 1 невозможность более очевидна, потому что S ⁰ (т. Е. Конечные точки отрезка D ¹ ) не даже подключен. Случай n = 2 менее очевиден, но может быть доказан с помощью основных аргументов, связанных с фундаментальными группами соответствующих пространств: ретракция индуцирует инъективный гомоморфизм группы из фундаментальной группы S ¹ в группу D ^2., но первая группа изоморфна Z, в то время как последняя группа тривиальна, поэтому это невозможно. Случай n = 2 также может быть доказан от противного на основе теоремы о ненулевых векторных полях .

Однако при n > 2 доказать невозможность ретракции сложнее. Один из способов - использовать группы гомологий : гомологии H _{n  - 1} ( D ⁿ ) тривиальны, а H _{n  - 1} ( S ^{n −1} ) бесконечны циклическими . Это показывает, что ретракция невозможна, потому что снова ретракция индуцирует инъективный групповой гомоморфизм от последней к первой группе.

Доказательство с использованием теоремы Стокса [ править ]

Чтобы доказать, что непрерывная карта имеет неподвижные точки, можно предположить, что она гладкая, потому что если карта не имеет неподвижных точек, то ее свертка с подходящим смягчителем (гладкой функцией с достаточно малой опорой и целой функцией) даст гладкая функция без неподвижных точек. Как и в доказательстве с использованием гомологий, проблема сводится к доказательству отсутствия плавного ретракции с шара на его границу . Если это форма объема на границе , то по теореме Стокса ,${\displaystyle F}$${\displaystyle F_{\epsilon }:=F\star \varphi _{\epsilon }}$${\displaystyle F}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \partial B}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle 0<\int _{\partial B}\omega =\int _{\partial B}F^{*}(\omega )=\int _{B}dF^{*}(\omega )=\int _{B}F^{*}(d\omega )=\int _{B}F^{*}(0)=0}$

давая противоречие.

В более общем плане это показывает, что не существует гладкого ретракции с любого непустого гладкого ориентируемого компактного многообразия на его границу. Доказательство с использованием теоремы Стокса тесно связано с доказательством с использованием гомологий, потому что форма порождает группу когомологий де Рама, которая изоморфна группе гомологий по теореме де Рама .${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle H^{n-1}(\partial B)}$${\displaystyle H_{n-1}(\partial B)}$

Комбинаторное доказательство [ править ]

BFPT можно доказать с помощью леммы Спернера . Приведем схему доказательства для частного случая , в котором е является функцией от стандартного п - симплекс , к самому себе, где${\displaystyle \Delta ^{n},}$

${\displaystyle \Delta ^{n}=\left\{P\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid \sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1{\text{ and }}P_{i}\geq 0{\text{ for all }}i\right\}.}$

Для каждой точки также Следовательно, сумма их координат равна:${\displaystyle P\in \Delta ^{n},}$${\displaystyle f(P)\in \Delta ^{n}.}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1=\sum _{i=0}^{n}{f(P)_{i}}}$

Следовательно, в соответствии с принципом ячейки для каждого должен быть такой индекс , чтобы th координата была больше или равна th координате его изображения при f :${\displaystyle P\in \Delta ^{n},}$${\displaystyle j\in \{0,\ldots ,n\}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle P}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle P_{j}\geq f(P)_{j}.}$

Более того, если он лежит на k- мерной суб-грани, то по тем же аргументам индекс может быть выбран из числа k + 1 координат, которые не равны нулю на этой суб-грани.${\displaystyle P}$${\displaystyle \Delta ^{n},}$${\displaystyle j}$

Теперь воспользуемся этим фактом для построения раскраски Спернера. Для каждой триангуляции цвета каждой вершины есть такой индекс , что${\displaystyle \Delta ^{n},}$${\displaystyle P}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f(P)_{j}\leq P_{j}.}$

По построению это раскраска Спернера. Следовательно, по лемме Спернера существует n -мерный симплекс, вершины которого раскрашены всем набором из n + 1 доступных цветов.

Поскольку f непрерывен, этот симплекс можно сделать сколь угодно малым, выбрав произвольно точную триангуляцию. Следовательно, должна быть точка, которая удовлетворяет условию разметки во всех координатах: для всех${\displaystyle P}$${\displaystyle f(P)_{j}\leq P_{j}}$${\displaystyle j.}$

Поскольку сумма координат и должна быть равной, все эти неравенства фактически должны быть равенствами. Но это значит, что:${\displaystyle P}$${\displaystyle f(P)}$

${\displaystyle f(P)=P.}$

То есть неподвижная точка${\displaystyle P}$${\displaystyle f.}$

Доказательство Хирша [ править ]

Есть также быстрое доказательство, сделанное Моррисом Хиршем , основанное на невозможности дифференцируемой ретракции. Косвенное доказательство начинается, отметив , что отображение F может быть аппроксимировано с помощью гладкого отображения удерживающего свойства не фиксируя точку; это можно сделать, например, с помощью аппроксимационной теоремы Вейерштрасса . Затем определяется ретракция, как указано выше, которая теперь должна быть дифференцируемой. Такая ретракция должна иметь неособое значение по теореме Сарда., что также неособо для ограничения на границу (что и есть тождество). Таким образом, прообраз будет 1-многообразием с краем. Граница должна содержать по крайней мере две конечные точки, обе из которых должны лежать на границе исходного шара, что невозможно при ретракции.

Р. Брюс Келлог, Тьен-Иен Ли и Джеймс А. Йорк превратили доказательство Хирша в вычислимое доказательство, заметив, что ретракт фактически определен везде, кроме неподвижных точек. ^[50] Почти для любой точки q на границе (при условии, что это не неподвижная точка) существует одно многообразие с краем, упомянутым выше, и единственная возможность состоит в том, что оно ведет от q к фиксированной точке. Проследить такой путь от q до фиксированной точки - простая численная задача, так что метод по существу вычислим. ^[51] представил концептуально аналогичную версию доказательства гомотопии, которая распространяется на широкий круг связанных проблем.

Доказательство с использованием ориентированной области [ править ]

Вариант предыдущего доказательства не использует теорему Сарда и выглядит следующим образом. Если - плавный отвод, рассматривается плавная деформация и гладкая функция${\displaystyle r\colon B\to \partial B}$${\displaystyle g^{t}(x):=tr(x)+(1-t)x,}$

${\displaystyle \varphi (t):=\int _{B}\det Dg^{t}(x)\,dx.}$

Дифференцируя под знаком интеграла, нетрудно проверить, что φ ′ ( t ) = 0 для всех t , поэтому φ - постоянная функция; противоречие, поскольку φ (0) - это n -мерный объем шара, а φ (1) равно нулю. Геометрическая идея состоит в том, что φ ( t ) - это ориентированная площадь g ^t ( B ) (т. Е. Мера Лебега образа шара через g ^tс учетом множественности и ориентации) и должна оставаться постоянной (как это очень ясно в одномерном случае). С другой стороны, когда параметр t переходит из 0 в 1, отображение g ^t непрерывно преобразуется из тождественного отображения мяча в ретракцию r , что является противоречием, поскольку ориентированная область тождества совпадает с объемом мяч, в то время как ориентированная область r обязательно 0, так как его изображение является границей шара, набора нулевой меры.

Доказательство с помощью игры шестигранной [ править ]

Совершенно иное доказательство, данное Дэвидом Гейлом , основано на игре Hex . Основная теорема о Hex заключается в том, что ни одна игра не может закончиться ничьей. Это эквивалентно теореме Брауэра о неподвижной точке для размерности 2. Рассматривая n- мерные версии Hex, можно в общем доказать, что теорема Брауэра эквивалентна теореме об определенности для Hex. ^[52]

Доказательство с использованием теоремы Лефшеца о неподвижной точке [ править ]

Теорема Лефшеца о неподвижной точке гласит, что если непрерывное отображение f конечного симплициального комплекса B в себя имеет только изолированные неподвижные точки, то количество неподвижных точек, подсчитанных с кратностями (которые могут быть отрицательными), равно числу Лефшеца

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n}(-1)^{n}\operatorname {Tr} (f|H_{n}(B))}$

и, в частности, если число Лефшеца не равно нулю, то f должна иметь неподвижную точку. Если B - шар (или, в более общем смысле, стягиваемый), то число Лефшеца равно единице, потому что единственной ненулевой группой гомологий является: и f действует как тождество на этой группе, поэтому f имеет неподвижную точку.${\displaystyle H_{0}(B)}$

Доказательство в слабой логической системе [ править ]

В обратной математике теорема Брауэра может быть доказана в системе WKL 0 , и наоборот, в базовой системе RCA 0 из теоремы Брауэра для квадрата следует слабая лемма Кенига , так что это дает точное описание силы теоремы Брауэра.

Обобщения [ править ]

Теорема Брауэра о неподвижной точке является отправной точкой для ряда более общих теорем о неподвижной точке .

Прямое обобщение на бесконечные измерения, то есть использование единичного шара произвольного гильбертова пространства вместо евклидова пространства, неверно. Основная проблема здесь в том, что единичные шары бесконечномерных гильбертовых пространств не компактны . Например, в гильбертовом пространстве ℓ 2 суммируемых с квадратом вещественных (или комплексных) последовательностей рассмотрим отображение f  : ℓ ² → ℓ ^2, которое переводит последовательность ( x _n ) из замкнутого единичного шара ² в последовательность ( y _n ) определяется

${\displaystyle y_{0}={\sqrt {1-\|x\|_{2}^{2}}}\qquad {\text{ and }}\qquad y_{n}=x_{n-1}\quad {\text{ for }}\quad n\geq 1.}$

Нетрудно проверить, что это отображение непрерывно, имеет свой образ в единичной сфере ² , но не имеет неподвижной точки.

Обобщения теоремы Брауэра о неподвижной точке на бесконечномерные пространства, таким образом, все включают предположение компактности, а также часто предположение выпуклости . См. Теоремы о неподвижной точке в бесконечномерных пространствах для обсуждения этих теорем.

Существует также конечномерное обобщение на более широкий класс пространств: если это произведение конечного числа цепных континуумов, то каждая непрерывная функция имеет фиксированную точку ^[53], где цепной континуум является (обычно, но в этом случае не обязательно метрическое ) компактное хаусдорфово пространство, каждое открытое покрытие которого имеет конечное открытое измельчение , такое что тогда и только тогда, когда . Примеры цепных континуумов включают компактные связные линейно упорядоченные пространства и, в частности, отрезки действительных чисел.${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \{U_{1},\ldots ,U_{m}\}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset }$${\displaystyle |i-j|\leq 1}$

Теорема Какутани о неподвижной точке обобщает теорему Брауэра о неподвижной точке в другом направлении: она остается в R ⁿ , но рассматривает полунепрерывные сверху многозначные функции (функции, которые присваивают каждой точке множества подмножество множества). Также это требует компактности и выпуклости набора.

Теорема Лефшеца о неподвижной точке применима к (почти) произвольным компактным топологическим пространствам и дает условие в терминах сингулярных гомологий, которое гарантирует существование неподвижных точек; это условие тривиально выполняется для любого отображения в случае D ⁿ .

Эквивалентные результаты [ править ]

Существует несколько теорем о неподвижной точке, которые представлены в трех эквивалентных вариантах: вариант алгебраической топологии , комбинаторный вариант и вариант покрытия множества. Каждый вариант можно доказать отдельно, используя совершенно разные аргументы, но каждый вариант также можно свести к другим вариантам в своем ряду. Кроме того, каждый результат в верхней строке можно вывести из результата под ним в том же столбце. ^[54]

См. Также [ править ]

• Теорема Банаха о неподвижной точке
• Бесконечные композиции аналитических функций
• равновесие по Нэшу
• Теорема Пуанкаре – Миранды - эквивалент теоремы Брауэра о неподвижной точке
• Топологическая комбинаторика

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Чоу, Шуй Ни; Маллет-Парет, Джон; Йорк, Джеймс А. (1978). «Нахождение нулей карт: методы гомотопии, конструктивные с вероятностью единица» . Математика вычислений . 32 (143): 887–899. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1978-0492046-9 . Руководство по ремонту  0492046 .
• Гейл, Д. (1979). "Игра шестиугольника и теорема Брауэра о неподвижной точке". Американский математический ежемесячник . 86 (10): 818–827. DOI : 10.2307 / 2320146 . JSTOR  2320146 .
• Хирш, Моррис В. (1988). Дифференциальная топология . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-90148-0. (Доказательство Хирша, использующее отсутствие дифференцируемой ретракции, см. на стр. 72–73)
• Истрэшеску, Василий И. (1981). Теория неподвижной точки . Математика и ее приложения. 7 . Дордрехт – Бостон, Массачусетс: Д. Рейдел. ISBN 978-90-277-1224-0. Руководство по ремонту  0620639 .
• Карамардян, С., ред. (1977). Неподвижные точки: алгоритмы и приложения . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-398050-2.
• Келлог, Р. Брюс; Ли, Тянь-Иен; Йорк, Джеймс А. (1976). «Конструктивное доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке и результаты вычислений». Журнал СИАМ по численному анализу . 13 (4): 473–483. Bibcode : 1976SJNA ... 13..473K . DOI : 10.1137 / 0713041 . Руководство по ремонту  0416010 .
• Леони, Джованни (2017). Первый курс в пространствах Соболева: Издание второе . Аспирантура по математике . 181 . Американское математическое общество. стр. 734. ISBN 978-1-4704-2921-8 
• Соболев, Владимир И. (2001) [1994], "Теорема Брауэра" , Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки [ править ]

• Теорема Брауэра о неподвижной точке для треугольников при разрезании узла
• Теорема Брауэра из PlanetMath с прилагаемым доказательством.
• Реконструкция Брауэра на MathPages
• Теорема Брауэра о неподвижной точке в математических изображениях.