В математике , то Борсук-Улама теорема утверждает , что всякая непрерывная функция от п -сферы в евклидовой п -пространством отображает некоторую пару диаметрально противоположных точек на одной и той же точке. Здесь две точки на сфере называются антиподами, если они находятся в совершенно противоположных направлениях от центра сферы.
Формально: если непрерывно, то существует такой, что: .
Дело можно проиллюстрировать тем, что всегда существует пару противоположных точек на земной экваторе «s с той же температурой. То же верно для любого круга. Это предполагает, что температура в космосе постоянно меняется.
Дело часто иллюстрируется утверждением, что в любой момент на поверхности Земли всегда есть пара противоположных точек с равными температурами и равными барометрическими давлениями, предполагая, что оба параметра непрерывно меняются в космосе.
Теорема Борсука – Улама имеет несколько эквивалентных утверждений в терминах нечетных функций . Напомним, чтоэто n- сфера иэто n- мяч :
- Если - непрерывная нечетная функция, то существует такой, что: .
- Если - непрерывная функция, нечетная на (граница ), то существует такой, что: .
История
По словам Иржи Матушека (2003 , с. 25) , первое историческое упоминание о формулировке теоремы Борсука – Улама встречается у Люстерника и Шнирельмана (1930) . Первое доказательство было дано Каролем Борсуком ( 1933 ), где постановка проблемы была приписана Станиславу Уламу . С тех пор разными авторами было найдено множество альтернативных доказательств, собранных Стейнлейном (1985) .
Эквивалентные заявления
Следующие утверждения эквивалентны теореме Борсука – Улама. [1]
С нечетными функциями
Функция называется нечетным (также называемым антиподом или сохраняющим антипод ), если для каждого: .
Теорема Борсука – Улама эквивалентна следующему утверждению: непрерывная нечетная функция из n -сферы в n- евклидово пространство имеет нуль. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
- Если теорема верна, то она верна, в частности, для нечетных функций, а для нечетной функции если только . Следовательно, любая нечетная непрерывная функция имеет нуль.
- Для каждой непрерывной функции , следующая функция является непрерывной и нечетной: . Если каждая нечетная непрерывная функция имеет нуль, то имеет нуль, а значит, . Следовательно, теорема верна.
С отзывами
Определите ретракцию как функцию Теорема Борсука – Улама эквивалентна следующему утверждению: не существует непрерывной нечетной ретракции.
Доказательство: если теорема верна, то каждая непрерывная нечетная функция из должен включать 0 в свой диапазон. Тем не мение, поэтому не может быть непрерывной нечетной функции, диапазон которой равен .
И наоборот, если он неверен, то существует непрерывная нечетная функция без нулей. Тогда мы можем построить еще одну нечетную функцию от:
поскольку не имеет нулей, хорошо определена и непрерывна. Таким образом, у нас есть непрерывная ретракция нечетных чисел.
Доказательства
1-мерный корпус
Одномерный случай легко доказать с помощью теоремы о промежуточном значении (IVT).
Позволять - нечетная вещественнозначная непрерывная функция на окружности. Выберите произвольный. Еслитогда мы закончили. В противном случае, без ограничения общности, Но Следовательно, по IVT имеется точка между а также на котором .
Общий случай - доказательство алгебраической топологии
Предположить, что - нечетная непрерывная функция с (случай рассмотрено выше, случай можно обработать, используя основную теорию покрытий ). Переходя к орбитам под действием антипода, мы получаем индуцированную непрерывную функциюмежду действительными проективными пространствами , что индуцирует изоморфизм фундаментальных групп . По теореме Гуревича индуцированный гомоморфизм колец на когомологиях с коэффициенты [где обозначает поле с двумя элементами ],
отправляет к . Но тогда мы получаем это отправляется Противоречие. [2]
Можно также показать более сильное утверждение, что любое нечетное отображение имеет нечетную степень, и выведите теорему из этого результата.
Общий случай - комбинаторное доказательство
Теорема Борсука – Улама доказывается с помощью леммы Такера . [1] [3] [4]
Позволять - непрерывная нечетная функция. Поскольку g непрерывна на компактной области, она равномерно непрерывна . Следовательно, для каждого, Eсть такой, что для каждых двух точек которые находятся внутри друг друга, их изображения под g находятся в пределах друг друга.
Определите триангуляцию с краями длиной не более . Обозначьте каждую вершину триангуляции с меткой следующим образом:
- Абсолютное значение метки - это индекс координаты с наибольшим абсолютным значением g :.
- Знак метки - это знак g , так что:.
Поскольку g нечетное, маркировка также нечетная:. Следовательно, по лемме Такера есть две смежные вершиныс противоположными этикетками. Предположим, что метки. По определению l это означает, что в обоих а также , координата # 1 - самая большая координата: в эта координата положительна, а в это отрицательно. По построению триангуляции расстояние между а также самое большее , так в частности (поскольку а также имеют противоположные знаки) и так . Но поскольку наибольшая координата координата №1, это означает, что для каждого . Так, где какая-то константа в зависимости от и норма который вы выбрали.
Сказанное выше верно для каждого ; посколькукомпактно, следовательно, должна быть точка u, в которой.
Следствия
- Нет подмножества является гомеоморфно к
- Теорема о бутерброде : Для любых компактных множеств 1 , ..., п в мы всегда можем найти гиперплоскость, разделяющую каждую из них на два подмножества равной меры.
Эквивалентные результаты
Выше мы показали, как доказать теорему Борсука – Улама из леммы Такера. Верно и обратное: лемму Такера можно доказать с помощью теоремы Борсука – Улама. Следовательно, эти две теоремы эквивалентны. Существует несколько теорем о неподвижной точке, которые представлены в трех эквивалентных вариантах: вариант алгебраической топологии , комбинаторный вариант и вариант покрытия множества. Каждый вариант можно доказать отдельно, используя совершенно разные аргументы, но каждый вариант также можно свести к другим вариантам в своем ряду. Кроме того, каждый результат в верхней строке можно вывести из результата, находящегося под ним в том же столбце. [5]
Алгебраическая топология | Комбинаторика | Установить покрытие |
---|---|---|
Теорема Брауэра о неподвижной точке | Лемма Спернера | Лемма Кнастера – Куратовского – Мазуркевича. |
Теорема Борсука – Улама. | Лемма Такера | Теорема Люстерника – Шнирельмана. |
Обобщения
- В исходной теореме область определения функции f - это единичная n- сфера (граница единичного n -шара). В общем, это верно также, когда область определения f является границей любого открытого ограниченного симметрического подмножествасодержащий начало координат (здесь симметричный означает, что если x находится в подмножестве, то - x также находится в подмножестве). [6]
Смотрите также
Заметки
- ^ a b Прескотт, Тимоти (2002). «Расширения теоремы (тезиса) Борсука – Улама». Колледж Харви Мадда. CiteSeerX 10.1.1.124.4120 . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Джозеф Дж. Ротман, Введение в алгебраическую топологию (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (полное описание см. В главе 12).
- ^ Фройнд, Роберт М; Тодд, Майкл Дж (1982). «Конструктивное доказательство комбинаторной леммы Такера» . Журнал комбинаторной теории, Серия А . 30 (3): 321–325. DOI : 10.1016 / 0097-3165 (81) 90027-3 .
- ^ Simmons, Forest W .; Су, Фрэнсис Эдвард (2003). «Сокращение вдвое консенсуса с помощью теорем Борсука – Улама и Такера» . Математические социальные науки . 45 : 15–25. DOI : 10.1016 / s0165-4896 (02) 00087-2 . ЛВП : 10419/94656 .
- ^ Nyman, Kathryn L .; Су, Фрэнсис Эдвард (2013), «Эквивалент Борсука – Улама, который непосредственно следует из леммы Спернера», American Mathematical Monthly , 120 (4): 346–354, doi : 10.4169 / amer.math.monthly.120.04.346 , MR 3035127
- ^ "Теорема Борсука о неподвижной точке" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ Ян, Чун-Тао (1954). «О теоремах Борсук-Улама, Какутани-Ямабе-Юджобо и Дайсона, I». Анналы математики . 60 (2): 262–282. DOI : 10.2307 / 1969632 . JSTOR 1969632 .
- ^ Йенс Рейнхольд, Фейсал; Сергей Иванов. «Обобщение Борсук-Улам» . Математическое переполнение . Дата обращения 18 мая 2015 .
Рекомендации
- Борсук, Кароль (1933). "Drei Sätze über die n -dimensionale euklidische Sphäre" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (на немецком языке). 20 : 177–190. DOI : 10,4064 / фм-20-1-177-190 .
- Люстерник, Лазарь ; Шнирельман, Лев (1930). «Топологические методы в вариационных задачах». Issledowatelskii Институт математики I Mechaniki Pri OMG U . Москва.
- Матушек, Иржи (2003). Использование теоремы Борсука – Улама . Берлин: Springer Verlag. DOI : 10.1007 / 978-3-540-76649-0 . ISBN 978-3-540-00362-5.
- Стейнлейн, Х. (1985). «Антиподальная теорема Борсука, ее обобщения и приложения: обзор. Топологические методы и нелинейный анализ». Sém. Математика. Супер. Монреаль, Сем. Sci. ОТАН (Институт адв. Исследований НАТО) . 95 : 166–235.
- Су, Фрэнсис Эдвард (ноябрь 1997 г.). "Борсук-Улам подразумевает Брауэр: прямая конструкция" (PDF) . Американский математический ежемесячник . 104 (9): 855–859. CiteSeerX 10.1.1.142.4935 . DOI : 10.2307 / 2975293 . JSTOR 2975293 . Архивировано из оригинального (PDF) 13 октября 2008 года . Проверено 21 апреля 2006 .
Внешние ссылки
- Кого (еще) волнует топология? Украденные ожерелья и Борсук-Улам на YouTube