Степень непрерывного отображения

Отображение сферы на себя второй степени .

В топологии , то степень из непрерывного отображения между двумя компактными ориентированными многообразиями той же размерностью является числом , которое представляет собой число раза , что домен коллектор обернуто вокруг диапазона коллектора при отображении. Степень всегда целое число , но может быть положительным или отрицательным в зависимости от ориентации.

Степень отображения была впервые определена Brouwer , ^[1] , которые показали , что степень является гомотопическим инвариантом ( инвариантный среди гомотопий), и использовал его для доказательства Brouwer фиксированной точки теоремы . В современной математике степень отображения играет важную роль в топологии и геометрии . В физике степень непрерывного отображения (например, отображение из пространства в некоторый набор параметров порядка) является одним из примеров топологического квантового числа .

Определения степени [ править ]

От S ⁿ до S ⁿ [ править ]

Самый простой и наиболее важным случаем является Степенью непрерывного отображения от -сферы к себе (в случае , это называется обмоткой номер ): ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle S ^ {п}}$ ${\ Displaystyle п = 1}$

Позвольте быть непрерывным отображением. Затем индуцирует гомоморфизм , где - th группа гомологий . Принимая во внимание тот факт, что мы видим, что это должно иметь форму для некоторого фиксированного . Это тогда называется степень . ${\ displaystyle f \ двоеточие S ^ {n} \ to S ^ {n}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f _ {*} \ двоеточие H_ {n} \ left (S ^ {n} \ right) \ to H_ {n} \ left (S ^ {n} \ right)}$ ${\ Displaystyle H_ {п} \ влево (\ cdot \ right)}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle Н_ {п} \ влево (S ^ {п} \ вправо) \ cong \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle f _ {*}}$ ${\ displaystyle f _ {*} \ двоеточие x \ mapsto \ alpha x}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle f}$

Между коллекторами [ править ]

Алгебраическая топология [ править ]

Пусть X и Y - замкнутые связные ориентированные m -мерные многообразия . Ориентируемость многообразия следует , что ее верхняя группа гомологии изоморфна Z . Выбор ориентации означает выбор генератора топ-группы гомологий.

Непрерывное отображение f : X → Y индуцирует гомоморфизм f _* из H _m ( X ) в H _m ( Y ). Пусть [ X ], соотв. [ Y ] - выбранный образующий H _m ( X ), соответственно. Н _м ( Y ) (или фундаментальный класс из X , Y ). Тогда степень из F определяется как F _* ([ Х]). Другими словами,

f_{*}([X])=\deg(f)[Y]\,.

Если у в Y и F ^-1 ( у ) представляет собой конечное множество, степень F может быть вычислена, рассматривая м -й локальных групп гомологии по X в каждой точке F ^-1 ( у ).

Дифференциальная топология [ править ]

На языке дифференциальной топологии, степень гладкого отображения может быть определена следующим образом : если е гладкое отображение, область является компактным многообразием и р является регулярным значением из F , рассмотрят конечное множество

f^{-1}(p)=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}\,.

Поскольку p является регулярным значением, в окрестности каждого x _i отображение f является локальным диффеоморфизмом (это покрывающее отображение ). Диффеоморфизмы могут быть как сохраняющими ориентацию, так и меняющими ориентацию. Пусть r - количество точек x _i, в которых f сохраняет ориентацию, а s - количество точек, в которых f меняет ориентацию. Когда область определения f связана, число r - s не зависит от выбора p (хотя nнет) и один определяет! степени из F , чтобы быть г - с . Это определение совпадает с приведенным выше алгебраическим топологическим определением.

Такое же определение работает для компактных многообразий с границей , но тогда F должен послать границу X на границу Y .

Можно также определить степень по модулю 2 (deg ₂ ( f )) так же, как и раньше, но взяв фундаментальный класс в гомологиях Z ₂ . В этом случае deg ₂ ( f ) является элементом Z ₂ ( поле с двумя элементами ), многообразия не обязательно должны быть ориентируемыми, и если n - количество прообразов p, как и раньше, то deg ₂ ( f ) равно n по модулю 2. .

Интегрирование дифференциальных форм дает спаривание между (C ^∞ -) сингулярными гомологиями и когомологиями де Рама :, где - класс гомологий, представленный циклом, и замкнутая форма, представляющая класс когомологий де Рама. Для гладкого отображения f : X → Y между ориентируемыми m -многообразиями выполняется $\langle c,\omega \rangle =\int _{c}\omega$ $c$ $c$ $\omega$

\langle f_{*}[c],[\omega ]\rangle =\langle [c],f^{*}[\omega ]\rangle ,

где f _* и f * - индуцированные отображения на цепях и формах соответственно. Поскольку f _* [ X ] = deg f · [ Y ], имеем

\deg f\int _{Y}\omega =\int _{X}f^{*}\omega \,

для любого м -формы со на Y .

Карты из закрытого региона [ править ]

Если ограниченная область , гладкий, а регулярное значение из и , то степени определяются по формуле $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ $f:{\bar {\Omega }}\to \mathbb {R} ^{n}$ $p$ $f$ $p\notin f(\partial \Omega )$ $\deg(f,\Omega ,p)$

\deg(f,\Omega ,p):=\sum _{y\in f^{-1}(p)}\operatorname {sgn} \det(1-Df(y))

где есть матрица Якоби о в . Это определение степени можно естественным образом расширить для нерегулярных значений, таких, что где - точка, близкая к . $Df(y)$ $f$ $y$ $p$ $\deg(f,\Omega ,p)=\deg(f,\Omega ,p')$ $p'$ $p$

Степень удовлетворяет следующим свойствам: ^[2]

Если , то существует такое, что . $\deg(f,{\bar {\Omega }},p)\neq 0$ $x\in \Omega$ $f(x)=p$
$\deg(\operatorname {id} ,\Omega ,y)=1$ для всех . $y\in \Omega$
Свойство разложения:

\deg(f,\Omega ,y)=\deg(f,\Omega _{1},y)+\deg(f,\Omega _{2},y)

, если являются непересекающимися частями и .

\Omega _{1},\Omega _{2}

\Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}

y\not \in f({\overline {\Omega }}\setminus (\Omega _{1}\cup \Omega _{2}))

Гомотопическая инвариантность : если и гомотопически эквивалентны посредством такой гомотопии , что и , то $f$ $g$ $F(t)$ $F(0)=f,\,F(1)=g$ $p\notin F(t)(\partial \Omega )$ $\deg(f,\Omega ,p)=\deg(g,\Omega ,p)$
Функция локально постоянна на $p\mapsto \deg(f,\Omega ,p)$ $\mathbb {R} ^{n}-f(\partial \Omega )$

Эти свойства однозначно характеризуют степень, и степень может быть определена ими аксиоматически.

Аналогичным образом мы могли бы определить степень отображения компактных ориентированных многообразий с краем .

Свойства [ править ]

Степень отображения является гомотопическим инвариантом; более того, для непрерывных отображений из сферы в себя это полный гомотопический инвариант, т. е. два отображения гомотопны тогда и только тогда, когда . $f,g:S^{n}\to S^{n}\,$ $\deg(f)=\deg(g)$

Другими словами, степень - это изоморфизм между и . $[S^{n},S^{n}]=\pi _{n}S^{n}$ $\mathbf {Z}$

Более того, теорема Хопфа утверждает, что для любого -мерного замкнутого ориентированного многообразия M два отображения гомотопны тогда и только тогда, когда $n$ $f,g:M\to S^{n}$ $\deg(f)=\deg(g).$

Самостоятельно отображение из п -сферы продолжаемо к карте от п -Ball к п -сфере тогда и только тогда . (Здесь функция F расширяет f в том смысле, что f является ограничением F на .) $f:S^{n}\to S^{n}$ $F:B_{n}\to S^{n}$ $\deg(f)=0$ $S^{n}$

Расчет степени [ править ]

Существует алгоритм вычисления топологической степени deg ( f , B , 0) непрерывной функции f из n- мерного бокса B (произведение n интервалов) в , где f задана в виде арифметических выражений. ^[3] Реализация алгоритма доступна в TopDeg - программном инструменте для вычисления степени (LGPL-3). $\mathbb {R} ^{n}$

См. Также [ править ]

Покрывающее число , термин с таким же названием. Обратите внимание, что он не обобщает номер намотки, а описывает покрытия множества шарами.
Плотность (многогранник) , многогранный аналог
Теория топологической степени

Заметки [ править ]

^ Брауэр, LEJ (1911). "Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten" . Mathematische Annalen . 71 (1): 97–115. DOI : 10.1007 / bf01456931 . S2CID 177796823 .
^ Танцовщица, EN (2000). Вариационное исчисление и дифференциальные уравнения с частными производными . Springer-Verlag. С. 185–225. ISBN 3-540-64803-8.
^ Франек, Питер; Ратшан, Стефан (2015). «Вычисление эффективной топологической степени на основе интервальной арифметики». Математика вычислений . 84 (293): 1265–1290. DOI : 10.1090 / S0025-5718-2014-02877-9 . ISSN 0025-5718 . S2CID 17291092 .

Ссылки [ править ]

Фландерс, Х. (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Дувр.
Хирш, М. (1976). Дифференциальная топология . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5.
Милнор, Дж. В. (1997). Топология с дифференцируемой точки зрения . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-04833-8.
Outerelo, E .; Руис, JM (2009). Теория картографической степени . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4915-6.

Внешние ссылки [ править ]

"Степень Брауэра" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Познакомимся со степенью картографии Раде Т. Зивальевич.

[1] Брауэр, LEJ (1911). "Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten" . Mathematische Annalen . 71 (1): 97–115. DOI : 10.1007 / bf01456931 . S2CID 177796823 .

[dancer-2] Танцовщица, EN (2000). Вариационное исчисление и дифференциальные уравнения с частными производными . Springer-Verlag. С. 185–225. ISBN 3-540-64803-8.

[3] Франек, Питер; Ратшан, Стефан (2015). «Вычисление эффективной топологической степени на основе интервальной арифметики». Математика вычислений . 84 (293): 1265–1290. DOI : 10.1090 / S0025-5718-2014-02877-9 . ISSN 0025-5718 . S2CID 17291092 .

[1]