Номер обмотки

Эта кривая имеет виток номер два вокруг точки p .

В математике число витков или индекс витков замкнутой кривой на плоскости вокруг данной точки является целым числом, представляющим общее количество раз, когда кривая проходит вокруг точки против часовой стрелки. Число витков зависит от ориентации кривой и отрицательно, если кривая движется вокруг точки по часовой стрелке.

Числа обмоток являются фундаментальными объектами изучения алгебраической топологии и играют важную роль в векторном исчислении , комплексном анализе , геометрической топологии , дифференциальной геометрии и физике , включая теорию струн .

Интуитивное описание [ править ]

Объект, движущийся по красной кривой, делает два поворота против часовой стрелки вокруг человека в начале координат.

Предположим, нам дана замкнутая ориентированная кривая в плоскости xy . Мы можем представить кривую как путь движения некоторого объекта с ориентацией, указывающей направление, в котором движется объект. Тогда число витков кривой равно общему количеству поворотов против часовой стрелки, которые объект делает вокруг начала координат.

При подсчете общего количества оборотов движение против часовой стрелки считается положительным, а движение по часовой стрелке считается отрицательным. Например, если объект сначала четыре раза обходит исходную точку против часовой стрелки, а затем один раз обходит ее по часовой стрелке, то общее число витков кривой равно трем.

При использовании этой схемы кривая, которая вообще не движется вокруг начала координат, имеет номер витка ноль, а кривая, которая движется по часовой стрелке вокруг начала координат, имеет отрицательное число витков. Следовательно, номер витка кривой может быть любым целым числом . На следующих рисунках показаны кривые с номерами витков от -2 до 3:

${\ displaystyle \ cdots}$
	−2	−1	0
				${\ displaystyle \ cdots}$
	1	2	3

Формальное определение [ править ]

Кривая в плоскости xy может быть определена параметрическими уравнениями :

${\ displaystyle x = x (t) \ quad {\ text {and}} \ quad y = y (t) \ qquad {\ text {for}} 0 \ leq t \ leq 1.}$

Если мы думаем о параметре t как о времени, то эти уравнения определяют движение объекта в плоскости между t = 0 и t = 1 . Путь этого движения представляет собой кривую до тех пор, пока функции x ( t ) и y ( t ) непрерывны . Эта кривая замкнута, пока положение объекта одинаково при t = 0 и t = 1 .

Мы можем определить число витков такой кривой, используя полярную систему координат . Предполагая, что кривая не проходит через начало координат, мы можем переписать ^{[ необходима цитата ]} параметрические уравнения в полярной форме:

${\ displaystyle r = r (t) \ quad {\ text {and}} \ quad \ theta = \ theta (t) \ qquad {\ text {for}} 0 \ leq t \ leq 1.}$

Функции r ( t ) и θ ( t ) должны быть непрерывными, причем r > 0 . Поскольку начальная и конечная позиции совпадают, θ (0) и θ (1) должны отличаться на целое число, кратное 2 π . Это целое число является номером обмотки:

${\ displaystyle {\ text {число витков}} = {\ frac {\ theta (1) - \ theta (0)} {2 \ pi}}.}$

Это определяет номер витка кривой вокруг начала координат в плоскости xy . Путем перевода системы координат мы можем расширить это определение, включив в него числа намотки вокруг любой точки p .

Альтернативные определения [ править ]

Число обмоток часто определяется по-разному в различных разделах математики. Все приведенные ниже определения эквивалентны приведенным выше:

Нумерация Александра [ править ]

Простое комбинаторное правило для определения числа витков было предложено Августом Фердинандом Мёбиусом в 1865 году ^[1] и снова независимо Джеймсом Уодделлом Александром II в 1928 году. ^[2] Любая кривая разбивает плоскость на несколько связанных областей, одна из которых неограничена. Число витков кривой вокруг двух точек в одной и той же области одинаково. Число витков вокруг (любой точки) неограниченной области равно нулю. Наконец, номера витков для любых двух соседних областей различаются ровно на 1; область с большим числом витков появляется на левой стороне кривой (относительно движения вниз по кривой).

Дифференциальная геометрия [ править ]

В дифференциальной геометрии параметрические уравнения обычно считаются дифференцируемыми (или, по крайней мере, кусочно дифференцируемыми). В этом случае полярная координата θ связана с прямоугольными координатами x и y уравнением:

${\displaystyle d\theta ={\frac {1}{r^{2}}}\left(x\,dy-y\,dx\right)\quad {\text{where }}r^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

Что находится путем дифференцирования следующего определения для θ:

${\displaystyle \theta (t)=\arctan {\bigg (}{\frac {y(t)}{x(t)}}{\bigg )}}$

По основной теореме исчисления полное изменение θ равно интегралу от dθ . Следовательно, мы можем выразить число витков дифференцируемой кривой как линейный интеграл :

${\displaystyle {\text{winding number}}={\frac {1}{2\pi }}\oint _{C}\,\left({\frac {x}{r^{2}}}\,dy-{\frac {y}{r^{2}}}\,dx\right).}$

Одна формы dθ (определенная на дополнении происхождения) является закрытой , но не точно, и он генерирует первый когомологий де Рама группы проколотой плоскости . В частности, если ω - любая замкнутая дифференцируемая одноформная форма, определенная на дополнении к началу координат, то интеграл от ω по замкнутым контурам дает кратное число витков.

Комплексный анализ [ править ]

Числа обмоток играют очень важную роль в комплексном анализе (см. Формулировку теоремы о вычетах ). В контексте комплексного анализа число витков замкнутой кривой в комплексной плоскости может быть выражено через комплексную координату z = x + iy . В частности, если мы пишем z  =  re ^iθ , то${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta \!\,}$

и поэтому

${\displaystyle {\frac {dz}{z}}\;=\;{\frac {dr}{r}}+i\,d\theta \;=\;d[\ln r]+i\,d\theta .}$

Поскольку это замкнутая кривая, полное изменение равно нулю, и, таким образом, интеграл равен умноженному на общее изменение . Следовательно, число витков замкнутого пути вокруг начала координат задается выражением ^[3]${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \ln(r)}$${\displaystyle {\frac {dz}{z}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {dz}{z}}}$.

В более общем смысле, если это замкнутая кривая, параметризованная , число витков около , также известное как индекс по отношению к , определяется для комплекса как ^[4]${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle t\in [\alpha ,\beta ]}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle z_{0}\notin \gamma ([\alpha ,\beta ])}$

${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z_{0}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {\gamma '(t)}{\gamma (t)-z_{0}}}dt}$.

Это частный случай знаменитой интегральной формулы Коши .

Некоторые из основных свойств числа витков на комплексной плоскости дает следующая теорема: ^[5]

Теорема. Позвольте быть замкнутым путем и пусть быть набором дополнения образа , то есть ,. Тогда индекс относительно ,${\displaystyle \gamma :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Omega :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }:\Omega \to \mathbb {C} ,\ \ z\mapsto {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}}}$,

является (i) целочисленным, т. е. для всех ; (ii) константа по каждому компоненту (т. е. максимальное связное подмножество) ; и (iii) ноль, если находится в неограниченной компоненте .${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle z\in \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Omega }$

Как непосредственное следствие, эта теорема дает число витков кругового пути вокруг точки . Как и ожидалось, число намотки учитывает количество (против часовой стрелки) петель вокруг :${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle z}$

Следствие. Если - путь, определяемый , то${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)={\begin{cases}n,&|z-a|<r;\\0,&|z-a|>r.\end{cases}}}$

Топология [ править ]

В топологии число витков - это альтернативный термин для обозначения степени непрерывного отображения . В физике числа намотки часто называют топологическими квантовыми числами . В обоих случаях применяется одна и та же концепция.

Приведенный выше пример кривой, огибающей точку, имеет простую топологическую интерпретацию. Дополнение точки в плоскости гомотопически эквивалентно к окружности , так что карты от круга к себе действительно все , что нужно учитывать. Можно показать, что каждая такая карта может быть непрерывно деформирована в одну из стандартных карт (гомотопна ей) , где умножение в круге определяется путем отождествления его с комплексным единичным кругом. Множество гомотопических классов отображений окружности в топологическое пространство образуют группу , которую называют первой гомотопической группой или фундаментальной группой.${\displaystyle S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}}$этого пространства. Фундаментальная группа круга является группа целых чисел , Z ; а число витков комплексной кривой - это просто ее гомотопический класс.

Карты из 3-сферы в себя также классифицируются целым числом, которое также называют числом витков или иногда индексом Понтрягина .

Номер поворота [ править ]

Можно также учесть число извилистости пути по отношению к касательной к самому пути. Как путь, пройденный во времени, это будет число витков относительно начала вектора скорости. В этом случае пример иллюстрирует в начале этой статьи имеет обмотку число 3, потому что небольшая петля будет учитываться.

Это определено только для погруженных путей (т. Е. Для дифференцируемых путей с нигде не исчезающими производными) и является степенью касательного отображения Гаусса .

Это называется числом поворота или индексом кривой , и его можно вычислить как общую кривизну, деленную на 2 π .

Полигоны [ править ]

В многоугольниках число поворота называется плотностью многоугольника . Для выпуклых многоугольников и, в более общем смысле, простых многоугольников (не самопересекающихся) плотность равна 1 по теореме Жордановой кривой . Напротив, для правильного звездного многоугольника { p / q } плотность равна q .

Число обмоток и уравнения ферромагнетика Гейзенберга [ править ]

Число намотки тесно связано с (2 + 1) -мерными непрерывными уравнениями ферромагнетика Гейзенберга и его интегрируемыми расширениями: уравнением Ишимори и т. Д. Решения последних уравнений классифицируются по числу намоток или топологическому заряду ( топологический инвариант и / или топологический инвариант). квантовое число ).

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Номер обмотки в PlanetMath .