Векторное исчисление

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Февраль 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Вектор исчисление , или векторный анализ , касается дифференциации и интеграции в векторных полей , в первую очередь в 3-мерном евклидовом пространстве Термин «вектор исчисление» иногда используется как синоним для широкого предмета многовариантного исчисления , которая включает в себя векторное исчисление , а также как частичная дифференциация и множественная интеграция . Векторное исчисление играет важную роль в дифференциальной геометрии и при изучении уравнений в частных производных . Он широко используется в физике и технике.${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}.}$, особенно при описании электромагнитных полей , гравитационных полей и течения жидкости .

Векторное исчисление было разработано на основе анализа кватернионов Дж. Уиллардом Гиббсом и Оливером Хевисайдом в конце 19 века, а большая часть обозначений и терминологии была установлена ​​Гиббсом и Эдвином Бидвеллом Уилсоном в их книге 1901 года « Векторный анализ» . В традиционной форме, использующей перекрестные произведения , векторное исчисление не обобщается на более высокие измерения, в то время как альтернативный подход геометрической алгебры, который использует внешние произведения, делает (см. § Обобщения ниже).

Основные объекты [ править ]

Скалярные поля [ править ]

Скалярное поле связывает скалярное значение каждой точки в пространстве. Скаляр - это математическое число, представляющее физическую величину . Примеры скалярных полей в приложениях включают распределение температуры в пространстве, распределение давления в жидкости и квантовые поля с нулевым спином (известные как скалярные бозоны ), такие как поле Хиггса . Эти поля являются предметом скалярной теории поля .

Векторные поля [ править ]

Векторное поле является присвоением вектора для каждой точки в пространстве . ^[1] Векторное поле на плоскости, например, можно визуализировать как набор стрелок с заданной величиной и направлением, каждая из которых привязана к точке на плоскости. Векторные поля часто используются для моделирования, например, скорости и направления движущейся жидкости в пространстве или силы и направления некоторой силы , такой как магнитная или гравитационная сила, когда она изменяется от точки к точке. Это можно использовать, например, для расчета работы, выполненной над линией.

Векторы и псевдовекторы [ править ]

В более продвинутых методах лечения дополнительно различают псевдовекторные поля и псевдоскалярные поля, которые идентичны векторным полям и скалярным полям, за исключением того, что они меняют знак при отображении с изменением ориентации: например, ротор векторного поля является псевдовекторным полем, а если отражать векторное поле, то завиток указывает в противоположном направлении. Это различие поясняется и разрабатывается в геометрической алгебре , как описано ниже.

Векторная алгебра [ править ]

Алгебраические (недифференциальные) операции в векторном исчислении называются векторной алгеброй , они определяются для векторного пространства и затем глобально применяются к векторному полю. Основные алгебраические операции состоят из: ^[2]

Обозначения в векторном исчислении

Операция	Обозначение	Описание
Сложение вектора	${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} + \ mathbf {v} _ {2}}$	Сложение двух векторов дает вектор.
Скалярное умножение	${\ Displaystyle а \ mathbf {v}}$	Умножение скаляра и вектора, в результате чего получается вектор.
Скалярное произведение	${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ mathbf {v} _ {2}}$	Умножение двух векторов, дающее скаляр.
Перекрестный продукт	${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ times \ mathbf {v} _ {2}}$	Умножение двух векторов в , в результате чего получается (псевдо) вектор.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Также обычно используются два тройных продукта :

Векторное исчисление тройных произведений

Операция	Обозначение	Описание
Скалярное тройное произведение	${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {2} \ times \ mathbf {v} _ {3} \ right)}$	Скалярное произведение векторного произведения двух векторов.
Векторное тройное произведение	${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ times \ left (\ mathbf {v} _ {2} \ times \ mathbf {v} _ {3} \ right)}$	Перекрестное произведение двух векторов.

Операторы и теоремы [ править ]

Дифференциальные операторы [ править ]

Векторное исчисление изучает различные дифференциальные операторы, определенные на скалярных или векторных полях, которые обычно выражаются в терминах оператора del ( ), также известного как «набла». Три основных векторных оператора : ^{[3] [4]}${\ displaystyle \ nabla}$

Дифференциальные операторы в векторном исчислении

Операция	Обозначение	Описание	Нотационная аналогия	Домен / Диапазон
Градиент	${\ Displaystyle \ OperatorName {grad} (е) = \ набла ф}$	Измеряет скорость и направление изменения скалярного поля.	Скалярное умножение	Отображает скалярные поля в векторные поля.
Расхождение	${\ Displaystyle \ OperatorName {div} (\ mathbf {F}) = \ набла \ cdot \ mathbf {F}}$	Измеряет скаляр источника или стока в заданной точке векторного поля.	Скалярное произведение	Отображает векторные поля в скалярные поля.
Завиток	${\displaystyle \operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }$	Измеряет тенденцию к повороту вокруг точки в векторном поле в .${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	Перекрестный продукт	Отображает векторные поля в (псевдо) векторные поля.
f обозначает скалярное поле, а F обозначает векторное поле

Также обычно используются два оператора Лапласа:

Операторы Лапласа в векторном исчислении

Операция	Обозначение	Описание	Домен / Диапазон
Лапласиан	${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}$	Измеряет разницу между значением скалярного поля и его средним значением на бесконечно малых шарах.	Карты между скалярными полями.
Векторный лапласиан	${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )}$	Измеряет разницу между значением векторного поля и его средним значением на бесконечно малых шарах.	Карты между векторными полями.
f обозначает скалярное поле, а F обозначает векторное поле

Величина, называемая матрицей Якоби, полезна для изучения функций, когда и область определения, и диапазон функции являются многомерными, например, при замене переменных во время интегрирования.

Интегральные теоремы [ править ]

Три основных векторных оператора имеют соответствующие теоремы, которые обобщают основную теорему исчисления на более высокие измерения:

Интегральные теоремы векторного исчисления

Теорема	Заявление	Описание
Теорема о градиенте	${\displaystyle \int _{L\subset \mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} \ =\ \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\ \ {\text{ for }}\ \ L=L[p\to q]}$	Криволинейный интеграл градиента скалярного поля над кривой L равен изменением скалярного поля между конечными точками р и д кривым.
Теорема расходимости	${\displaystyle \underbrace {\int \!\cdots \!\int _{V\subset \mathbb {R} ^{n}}} _{n}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV\ =\ \underbrace {\oint \!\cdots \!\oint _{\partial V}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }$	Интеграл от дивергенции векторного поля над n- мерным телом V равен потоку векторного поля через ( n - 1) -мерную замкнутую граничную поверхность тела.
Теорема Керла (Кельвина – Стокса)	${\displaystyle \iint _{\Sigma \,\subset \mathbb {R} ^{3}}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {\Sigma } \ =\ \oint _{\!\!\!\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$	Интеграл от ротора векторного поля над поверхностью Σ в равен циркуляции векторного поля вокруг замкнутой кривой, ограничивающей поверхность.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
${\displaystyle \varphi }$обозначает скалярное поле, а F обозначает векторное поле

В двух измерениях теоремы о расходимости и роторе сводятся к теореме Грина:

Теорема Грина векторного исчисления

Теорема	Заявление	Описание
Теорема Грина	${\displaystyle \iint _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA\ =\ \oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)}$	Интеграл дивергенции (или ротора) векторного поля по некоторой области A in равен потоку (или циркуляции) векторного поля по замкнутой кривой, ограничивающей область.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
Для дивергенции F = ( M , - L ) . Для curl F = ( L , M , 0) . L и M являются функциями ( x , y ) .

Приложения [ править ]

Линейные приближения [ править ]

Линейные приближения используются для замены сложных функций линейными функциями, которые почти не отличаются. Учитывая дифференцируемую функцию f ( x , y ) с действительными значениями, можно аппроксимировать f ( x , y ) для ( x , y ), близкого к ( a , b ), по формуле

${\displaystyle f(x,y)\ \approx \ f(a,b)+{\tfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\,(x-a)+{\tfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\,(y-b).}$

Правая часть - это уравнение плоскости, касательной к графику z = f ( x , y ) в точке ( a , b ) .

Оптимизация [ править ]

Для непрерывно дифференцируемой функции нескольких действительных переменных точка P (то есть набор значений входных переменных, который рассматривается как точка в R ⁿ ) является критической, если все частные производные функции равны нулю в точке P , или, что то же самое, если его градиент равен нулю. Критические значения - это значения функции в критических точках.

Если функция гладкая или, по крайней мере, дважды непрерывно дифференцируемая, критическая точка может быть либо локальным максимумом , либо локальным минимумом, либо седловой точкой . Различные случаи могут быть выделены путем рассмотрения собственных значений на гессенском матрицы вторых производных.

По теореме Ферма все локальные максимумы и минимумы дифференцируемой функции находятся в критических точках. Следовательно, чтобы найти локальные максимумы и минимумы, теоретически достаточно вычислить нули градиента и собственные значения матрицы Гессе в этих нулях.

Физика и техника [ править ]

Векторное исчисление особенно полезно при изучении:

• Центр массы
• Теория поля
• Кинематика
• Уравнения Максвелла

Обобщения [ править ]

Различные 3-многообразия [ править ]

Векторное исчисление изначально определено для евклидова 3- мерного пространства , которое имеет дополнительную структуру помимо простого 3-мерного реального векторного пространства, а именно: норму (дающую понятие длины), определяемую через внутреннее произведение ( скалярное произведение ), которое в Turn дает понятие угла и ориентации , которая дает понятие левши и правши. Эти структуры порождают объемную форму , а также перекрестное произведение , которое широко используется в векторном исчислении.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$

Для градиента и расхождения требуется только внутреннее произведение, в то время как изгиб и перекрестное произведение также требуют учета ручности системы координат (см. Перекрестное произведение и ручность для более подробной информации).

Векторное исчисление может быть определено в других трехмерных вещественных векторных пространствах, если они имеют внутренний продукт (или, в более общем смысле, симметричную невырожденную форму ) и ориентацию; обратите внимание, что это меньше данных, чем изоморфизм в евклидово пространство, так как он не требует набора координат (системы отсчета), что отражает тот факт, что векторное исчисление инвариантно относительно вращений ( специальная ортогональная группа SO (3)) .

В более общем смысле векторное исчисление может быть определено на любом трехмерном ориентированном римановом многообразии или, в более общем смысле, псевдоримановом многообразии . Эта структура просто означает, что касательное пространство в каждой точке имеет внутренний продукт (в более общем плане, симметричную невырожденную форму) и ориентацию, или, более глобально, что существует симметричный невырожденный метрический тензор и ориентация, и работает, потому что определено векторное исчисление через касательные векторы в каждой точке.

Другие размеры [ править ]

Большинство аналитических результатов легко понять, в более общей форме, с использованием техники дифференциальной геометрии , подмножество которой составляет векторное исчисление. Grad и div немедленно обобщаются на другие измерения, как и теорема о градиенте, теорема о расходимости и лапласиан (дающий гармонический анализ ), в то время как curl и перекрестное произведение не обобщаются напрямую.

С общей точки зрения, различные поля в (3-мерном) векторном исчислении всегда рассматриваются как k -векторные поля: скалярные поля - это 0-векторные поля, векторные поля - 1-векторные поля, псевдовекторные поля - 2-векторные. поля, а псевдоскалярные поля - это 3-векторные поля. В более высоких измерениях существует дополнительные типы полей (скалярный / вектор / псевдовектор / псевдоскаляр , соответствующие 0/1 / п -1 / п размеров, что является исчерпывающим , в размерности 3), таким образом, можно не только работать с (псевдо) скалярами и ( псевдо) векторы.

В любом измерении, принимая невырожденную форму, grad скалярной функции является векторным полем, а div векторного поля является скалярной функцией, но только в размерности 3 или 7 ^[5] (и, тривиально, в размерности 0 или 1 ) является ротором векторного поля векторным полем, и только в 3 или 7 измерениях можно определить перекрестное произведение (обобщения в других размерностях либо требуют, чтобы векторы давали 1 вектор, либо являются альтернативными алгебрами Ли , которые являются более общими антисимметричными билинейными товары). Обобщение grad и div, а также то, как можно обобщить curl, подробно описано в Curl: Generalizations ; короче говоря, ротор векторного поля - это бивекторное поле, которое можно интерпретировать как${\displaystyle n-1}$специальная ортогональная алгебра Ли бесконечно малых вращений; однако это не может быть отождествлено с векторным полем, потому что размеры различаются - есть 3 измерения вращения в 3 измерениях, но 6 измерений вращения в 4 измерениях (и, в более общем случае, измерения вращений в n измерениях).${\displaystyle \textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}}$

Есть два важных альтернативных обобщения векторного исчисления. Первая, геометрическая алгебра , использует k -векторные поля вместо векторных полей (в 3-х или менее измерениях каждое k- векторное поле может быть идентифицировано со скалярной функцией или векторным полем, но это неверно в более высоких измерениях). Это заменяет перекрестное произведение, которое относится к 3 измерениям, принимая два векторных поля и давая на выходе векторное поле, на внешний продукт , который существует во всех измерениях и принимает два векторных поля, давая на выходе бивектор (2 -вектор) поле. Это произведение дает алгебры Клиффордакак алгебраическая структура на векторных пространствах (с ориентацией и невырожденной формой). Геометрическая алгебра в основном используется в обобщениях физики и других прикладных областей на более высокие измерения.

Второе обобщение использует дифференциальные формы ( k -ковекторные поля) вместо векторных полей или k -векторных полей и широко используется в математике, особенно в дифференциальной геометрии , геометрической топологии и гармоническом анализе , в частности, приводя к теории Ходжа на ориентированных псевдо-векторах. Римановы многообразия. С этой точки зрения, grad, curl и div соответствуют внешней производной 0-форм, 1-форм и 2-форм, соответственно, а ключевые теоремы векторного исчисления являются частными случаями общей формы Стокса. Теорема .

С точки зрения обоих этих обобщений векторное исчисление неявно идентифицирует математически различные объекты, что делает представление более простым, но лежащую в основе математическую структуру и обобщения менее ясными. С точки зрения геометрической алгебры, векторное исчисление неявно идентифицирует k- векторные поля с векторными полями или скалярными функциями: 0-векторы и 3-векторы со скалярами, 1-векторы и 2-векторы с векторами. С точки зрения дифференциальных форм векторное исчисление неявно идентифицирует k-формы со скалярными полями или векторными полями: 0-формы и 3-формы со скалярными полями, 1-формы и 2-формы с векторными полями. Таким образом, например, curl естественно принимает в качестве входных данных векторное поле или 1-форму, но, естественно, имеет на выходе 2-векторное поле или 2-форму (отсюда псевдовекторное поле), которые затем интерпретируются как векторное поле, а не напрямую принимают векторное поле в векторное поле; это отражается в изгибе векторного поля в более высоких измерениях, не имеющем на выходе векторного поля.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

Источники [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Векторный анализ" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• "Векторная алгебра" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Обзор неправильного использования ∇ в векторном анализе (1994) Тай, Чен-То
• Векторный анализ: учебник для студентов-математиков и физиков (на основе лекций Уилларда Гиббса ) Эдвина Бидвелла Уилсона , опубликованный в 1902 году.
• Самые ранние известные применения некоторых слов математики: векторный анализ