В математике , то число оборотов является инвариантным из гомеоморфизмов в окружности .
История
Впервые он был определен Анри Пуанкаре в 1885 году, по отношению к прецессии в перигелии о наличии планетарной орбите . Позже Пуанкаре доказал теорему, характеризующую существование периодических орбит с точки зрения рациональности числа вращения.
Определение
Предположим , что п : S 1 → S 1 представляет собой сохраняющее ориентацию гомеоморфизм на окружности S 1 = R / Z . Тогда f можно поднять до гомеоморфизма F : R → R вещественной прямой, удовлетворяющего
для каждого действительного числа x и любого целого числа m .
Число вращения из F определяется в терминах итерацию из F :
Анри Пуанкаре доказал, что предел существует и не зависит от выбора начальной точки x . Лифт F уникален по модулю целые числа, поэтому число вращения четко определенный элемент R / Z . Наглядно, он измеряет средний угол поворота вдоль орбит от е .
Пример
Если f - поворот на 2πθ (где 0≤θ <1 ), то
тогда его число вращения равно θ (ср. Иррациональное вращение ).
Характеристики
Число вращения инвариантно относительно топологической сопряженности и даже монотонной топологической полусопряженности : если f и g - два гомеоморфизма окружности и
для монотонного непрерывного отображения h окружности в себя (не обязательно гомеоморфного), то f и g имеют одинаковые числа вращения. Его использовали Пуанкаре и Арно Данжуа для топологической классификации гомеоморфизмов окружности. Есть две различные возможности.
- Число вращения f - это рациональное число p / q (в самом низком смысле). Тогда f имеет периодическую орбиту , каждая периодическая орбита имеет период q , и порядок точек на каждой такой орбите совпадает с порядком точек для поворота на p / q . Более того, каждая прямая орбита f сходится к периодической орбите. То же самое верно для обратных орбит, соответствующих итерациям f -1 , но предельные периодические орбиты в прямом и обратном направлениях могут быть разными.
- Число вращения f - это иррациональное число θ . Тогда f не имеет периодических орбит (это сразу следует из рассмотрения периодической точки x для f ). Есть два подслучая.
- Существует плотная орбита. В этом случае f топологически сопряжена с иррациональным поворотом на угол θ, и все орбиты плотны . Данжуа доказал, что эта возможность всегда реализуется, когда f дважды непрерывно дифференцируемо.
- Существует канторово множество C, инвариантное относительно f . Тогда С представляет собой уникальный минимальный набор и орбиты всех точек как в прямом и обратном направлении , сходятся к C . В этом случае, е полусопряжен нерациональный поворот на & thetas , а semiconjugating отображения ч степени 1 постоянна на компонентах дополнения C .
Число вращения непрерывно, если рассматривать его как отображение из группы гомеоморфизмов (с топология) круга в круг.
Смотрите также
Рекомендации
- MR Herman, Sur la différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations , Publ. Математика. IHES, 49 (1979), стр. 5–234.
- Себастьян ван Стриен, Числа вращения и теорема Пуанкаре (2001)
Внешние ссылки
- Михал Мисюревич (ред.). «Теория вращения» . Scholarpedia .
- Вайсштейн, Эрик В. "Число намотки карты". Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram