Итерированная функция

В математике , итерированная функция является функция $X \to X$ (то есть функция из некоторого множества $X$ в себя) , который получает путь составления другой функции $F : X \to X$ с собой некоторое количество раз. Процесс многократного применения одной и той же функции называется итерацией . В этом процессе, начиная с некоторого начального числа, результат применения данной функции снова вводится в функцию в качестве входных данных, и этот процесс повторяется.

Итерированные функции являются объектами изучения информатики , фракталов , динамических систем , математики и физики ренормгруппы .

Определение [ править ]

Формальное определение повторяющейся функции на множестве X следует.

Пусть $X$ - множество, а $f : X \to X$ - функция .

Определение $f$ $n$ как n -й итерации $f$ (обозначение, введенное Гансом Генрихом Бюрманном ^[^{необходима цитата}^]^[1]^[2] и Джоном Фредериком Уильямом Гершелем ^[3]^[1]^[4]^[2] ), где n является неотрицательным целым числом:

{\ displaystyle f ^ {0} ~ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} ~ \ operatorname {id} _ {X}}

и

{\ displaystyle f ^ {n + 1} ~ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} ~ f \ circ f ^ {n},}

где $id X$ - это тождественная функция на $X,$ а $f ○ g$ обозначает композицию функций . То есть,

(е ○ g) (x) = f (g (x))

,

всегда ассоциативен .

Поскольку обозначение $f n$ может относиться как к итерации (композиции) функции $f, так$ и к возведению в степень функции $f$ (последнее обычно используется в тригонометрии ), некоторые математики ^{[ необходима цитата ]} предпочитают использовать $\circ$ для обозначения композиционного значения, записывая $f \circ n (x)$ для $n$ -й итерации функции $f (x)$ , как, например, $f \circ3 (x),$ означающее $f (f (f (x)))$ . Для той же цели $f [n] (x)$ использовал Бенджамин Пирс ^[5]^[2], тогда как Альфред Прингсхайм и Жюль Молк предложиливместо этого $n f (x)$ . ^[6]^[2]^{[номер 1]}

Абелевы свойства и итерационные последовательности [ править ]

В общем, имеет место тождество для всех неотрицательных целых чисел $М$ и $п$ ,

{\ displaystyle f ^ {m} \ circ f ^ {n} = f ^ {n} \ circ f ^ {m} = f ^ {m + n} ~.}

Это структурно идентично свойству возведения в степень, когда $a m a n = a m + n$ , то есть в частном случае $f (x) = ax$ .

В общем, для произвольных общих (отрицательных, нецелых и т. Д.) Индексов $m$ и $n$ это соотношение называется функциональным уравнением сдвига , ср. Уравнение Шредера и Абеля . В логарифмическом масштабе, это сводится к гнездовой собственности от полиномов Чебышева , $Т м (Т п (х)) = Т м п (х)$ , так как $Т п (х) = сов (п агссоз (х))$ .

Соотношение $(f m) n (x) = (f n) m (x) = f mn (x)$ также выполняется, аналогично свойству возведения в степень, что $(a m) n = (a n) m = a mn$ .

Последовательность функций $е п$ называется последовательность Пикард , ^[7]^[8] назван в честь Чарльза Émile Picard .

Для заданного $х$ в $X$ , то последовательность значений $х п (х)$ называется орбита из $х$ .

Если $f n (x) = f n + m (x)$ для некоторого целого $m$ , орбита называется периодической орбитой . Наименьшее такое значение $m$ для данного $x$ называется периодом орбиты . Сама точка $x$ называется периодической точкой . Проблема обнаружения цикла в информатике - это алгоритмическая проблема нахождения первой периодической точки на орбите и периода орбиты.

Фиксированные точки [ править ]

Если f ( x ) = x для некоторого x в X (то есть период орбиты x равен 1), то x называется фиксированной точкой повторяемой последовательности. Множество неподвижных точек часто обозначают как Fix ( f ). Там существует целый ряд фиксированной точкой теорем , гарантирующих существование неподвижных точек в различных ситуациях, в том числе теоремы Банаха о неподвижной точке и Брауэр фиксированной точкой теоремы .

Существует несколько методов ускорения сходимости последовательностей, полученных с помощью итераций с фиксированной точкой . ^[9] Например, метод Эйткена, применяемый к повторяющейся фиксированной точке, известен как метод Стеффенсена и дает квадратичную сходимость.

Ограничивающее поведение [ править ]

После итерации можно обнаружить, что есть наборы, которые сжимаются и сходятся к одной точке. В таком случае точка, к которой сходится, называется притягивающей фиксированной точкой . И наоборот, повторение может привести к появлению точек, расходящихся от одной точки; это было бы в случае нестабильной фиксированной точки . ^[10] Когда точки орбиты сходятся к одному или нескольким пределам, набор точек накопления орбиты известен как набор пределов или набор пределов ω .

Идеи притяжения и отталкивания обобщаются аналогично; можно разделить итерации на стабильные множества и нестабильные множества в соответствии с поведением малых окрестностей при итерации. (Также см. Бесконечные композиции аналитических функций .)

Возможны другие ограничения поведения; например, точки блуждания - это точки, которые удаляются и никогда не возвращаются даже близко к тому месту, откуда они начали.

Инвариантная мера [ править ]

Если рассматривать эволюцию распределения плотности, а не динамику отдельных точек, то предельное поведение задается инвариантной мерой . Его можно визуализировать как поведение облака точек или облака пыли при повторяющейся итерации. Инвариантная мера - это собственное состояние оператора Рюэля-Фробениуса-Перрона или оператора переноса , соответствующее собственному значению, равному 1. Меньшие собственные значения соответствуют нестабильным, затухающим состояниям.

В общем, поскольку повторная итерация соответствует сдвигу, оператору переноса и сопутствующему ему оператору Купмана, оба могут интерпретироваться как действие операторов сдвига в пространстве сдвига . Теория субсдвигов конечного типа дает общее представление о многих повторяющихся функциях, особенно о тех, которые приводят к хаосу.

Дробные итерации и потоки, а также отрицательные итерации [ править ]

g : R → R - тривиальный функциональныйкорень5-^{й степени} из f : R ⁺ → R ⁺ , f ( x ) = sin ( x ) . Вычисление F (^π / ₆ ) =¹ / ₂ = г ⁵ (^π / ₆ ) показана.

Понятие $f 1 / n$ следует использовать с осторожностью, когда уравнение $g n (x) = f (x)$ имеет несколько решений, что обычно имеет место, как в уравнении Бэббиджа функциональных корней тождественной карты. Например, для $n = 2$ и $f (x) = 4 x - 6$ оба $g (x) = 6-2 x$ и $g (x) = 2 x - 2$ являются решениями; поэтому выражение $f ½ (x)$ не обозначает уникальную функцию, так же как числа имеют несколько алгебраических корней. Проблема очень похожа на выражение « 0/0 » в арифметике. Тривиальный корень F всегда может быть получен , если F ' домен с может быть расширен достаточно, ср рисунок. Обычно выбираются корни, принадлежащие исследуемой орбите.

Можно определить дробную итерацию функции: например, половина итерации функции $f$ - это функция $g$ такая, что $g (g (x)) = f (x)$ . ^[11] Эта функция $g (x)$ может быть записана с использованием индексной записи как $f ½ (x)$ . Аналогично, $f ⅓ (x)$ - это функция, определенная таким образом, что $f ⅓ (f ⅓ (f ⅓ (x))) = f (x)$ , тогда как $f ⅔ (x)$ может быть определено как равное $f ⅓ (f ⅓ (x))$ и т. д., и все это основано на упомянутом ранее принципе, что $f m ○ е п = е т + п$ . Эту идею можно обобщить так, чтобы счетчик итераций $n$ стал непрерывным параметром , своего рода непрерывным «временем» непрерывной орбиты . ^[12]^[13]

В таких случаях систему называют потоком . (см. раздел о сопряженности ниже.)

Отрицательные итерации соответствуют обратным функциям и их композициям. Например, $f -1 (x)$ является нормальным обратным к $f$ , тогда как $f -2 (x)$ является обратным, составленным с самим собой, то есть $f -2 (x) = f -1 (f -1 (x))$ . Дробно-отрицательные итерации определяются аналогично дробно-положительным; например, $f -½ (x)$ определяется таким образом, что $f - ½ (f -½ (x)) = f -1 (x)$ , или, что то же самое, такое, что $f -½ (f ½ (x)) = f 0 (x) = x$ .

Некоторые формулы для дробной итерации [ править ]

Один из нескольких методов нахождения формулы ряда для дробной итерации с использованием фиксированной точки заключается в следующем. ^[14]

Сначала определите фиксированную точку для функции, такую что $f (a) = a$ .
Определите $f n (a) = a$ для всех n, принадлежащих $действительным$ числам. В некотором смысле это наиболее естественное дополнительное условие для дробных итераций.
Разложите $f n (x)$ вокруг фиксированной точки a в виде ряда Тейлора ,
${\ displaystyle f ^ {n} (x) = f ^ {n} (a) + (xa) \ left. {\ frac {d} {dx}} f ^ {n} (x) \ right | _ { x = a} + {\ frac {(xa) ^ {2}} {2}} \ left. {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} f ^ {n} (x) \ right | _ {x = a} + \ cdots}$
Развернуть
${\ displaystyle f ^ {n} (x) = f ^ {n} (a) + (xa) f '(a) f' (f (a)) f '(f ^ {2} (a)) \ cdots f '(f ^ {n-1} (a)) + \ cdots}$
Подставляем вместо $f k (a) = a$ для любого k ,
$f^{n}(x)=a+(x-a)f'(a)^{n}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(f''(a)f'(a)^{n-1})\left(1+f'(a)+\cdots +f'(a)^{n-1}\right)+\cdots$
Используйте геометрическую прогрессию, чтобы упростить термины,
$f^{n}(x)=a+(x-a)f'(a)^{n}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(f''(a)f'(a)^{n-1}){\frac {f'(a)^{n}-1}{f'(a)-1}}+\cdots$
Есть частный случай, когда $f'(a) = 1$ ,
$f^{n}(x)=x+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(nf''(a))+{\frac {(x-a)^{3}}{6}}\left({\frac {3}{2}}n(n-1)f''(a)^{2}+nf'''(a)\right)+\cdots$

Это можно продолжать бесконечно, хотя и неэффективно, поскольку последние условия становятся все более сложными. Более систематическая процедура описана в следующем разделе, посвященном конъюгату .

Пример 1 [ править ]

Например, установка $f (x) = Cx + D$ дает фиксированную точку $a = D / (1 - C)$ , поэтому приведенная выше формула заканчивается просто

f^{n}(x)={\frac {D}{1-C}}+\left(x-{\frac {D}{1-C}}\right)C^{n}=C^{n}x+{\frac {1-C^{n}}{1-C}}D~,

что тривиально проверить.

Пример 2 [ править ]

Найдите значение, в котором это выполняется n раз (и, возможно, интерполированные значения, если n не является целым числом). Имеем $f$ $($ $x$ $) =$ $\sqrt$ $2$ $x$ . Неподвижная точка - $это a$ $=$ $f$ $(2) = 2$ . ${\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}$

Итак, установите x = 1 и $f n (1),$ развернутое вокруг значения фиксированной точки 2, будет бесконечным рядом,

{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}=f^{n}(1)=2-(\ln 2)^{n}+{\frac {(\ln 2)^{n+1}((\ln 2)^{n}-1)}{4(\ln 2-1)}}-\cdots

что, принимая только первые три члена, является правильным с точностью до первого десятичного знака, когда n положительно - ср. Тетрация : $f n (1) = n \sqrt 2$ . (Использование другой фиксированной точки $a = f (4) = 4$ приводит к расхождению ряда.)

При $n$ $= -1$ ряд вычисляет обратную функцию 2+ln x/пер. 2.

Пример 3 [ править ]

Используя функцию $f (x) = x b$ , разложите вокруг фиксированной точки 1, чтобы получить ряд

f^{n}(x)=1+b^{n}(x-1)+{\frac {1}{2}}b^{n}(b^{n}-1)(x-1)^{2}+{\frac {1}{3!}}b^{n}(b^{n}-1)(b^{n}-2)(x-1)^{3}+\cdots ~,

который представляет собой просто ряд Тейлора x ^{( b ⁿ ),} расширенный вокруг 1.

Спряжение [ править ]

Если $f$ и $g$ - две повторные функции и существует гомеоморфизм $h$ такой, что $g$ $=$ $h$ $-1$ $○$ $f$ $○$ $h$ , то $f$ и $g$ называются топологически сопряженными .

Ясно, что топологическая сопряженность сохраняется при итерации, так как $g n = h -1 ○ f n ○ h$ . Таким образом, если можно решить для одной системы повторяющихся функций, у него также есть решения для всех топологически сопряженных систем. Например, карта палатки топологически сопряжена с логистической картой . В качестве частного случая, взяв $f (x) = x + 1$ , мы получим итерацию $g (x) = h -1 (h (x) + 1)$ как

g n (x) = h -1 (h (x) + n)

для любой функции

h

.

Делая замену $x = h -1 (y) = ϕ (y),$ получаем

g (ϕ (y)) = ϕ (y +1)

, форма, известная как уравнение Абеля .

Даже в отсутствие строгого гомеоморфизма около фиксированной точки, которая здесь принимается равной $x$ = 0, $f$ (0) = 0, часто можно решить ^[15] уравнение Шредера для функции which, что делает $f (x)$ локально сопряжены с простым растяжением, $g (x) = f'(0) x$ , то есть

f (x) = Ψ -1 (f'(0) Ψ (x))

.

Таким образом, его итерационная орбита или поток при подходящих условиях (например, $f'(0) \neq 1$ ) составляет сопряженную орбиту монома,

Ψ -1 (f'(0) n (x))

,

где $n$ в этом выражении служит простой экспонентой: функциональная итерация сведена к умножению! Здесь, однако, показатель степени $п$ больше не нуждается быть целым или положительным, и является непрерывной «время» эволюции для полной орбиты: ^[16] моноид последовательности Picard (ср преобразование полугрупповой ) имеет обобщенные в полной непрерывной группа . ^[17]

Итерации синусоидальной функции ( синий ) в первом полупериоде. Half-iterate ( оранжевый ), то есть функциональный квадратный корень синуса; функциональный квадратный корень из этого, четверть-итерация (черная) над ним; и далее дробная итерация до 1/64. Функции под ( синим ) синусом - это шесть интегральных итераций под ним, начиная со второй итерации ( красный ) и заканчивая 64-й итерацией. Зеленый конверт треугольник представляет предельную нулевую итерацию, функцию пилообразной , служащую в качестве начальной точки , ведущей к синусоидальной функции. Пунктирная линия - отрицательная первая итерация, т.е. обратная синусу (arcsin). (С сайта общей педагогики. ^[18]Обозначения см. В [2] .)

Этот метод (пертурбативное определение главной собственной функции , см. Матрицу Карлемана ) эквивалентен алгоритму из предыдущего раздела, хотя на практике является более мощным и систематическим.

Цепи Маркова [ править ]

Если функция линейна и может быть описана стохастической матрицей , то есть матрицей, строки или столбцы которой в сумме равны единице, то итерационная система известна как цепь Маркова .

Примеры [ править ]

Есть много хаотичных карт . Хорошо известные повторяющиеся функции включают множество Мандельброта и системы повторяющихся функций .

Эрнст Шредер , ^[19] в 1870 году, разработаны специальные случаи логистического отображения , такие как хаотическое случае $F (х) = 4 х (1 - х)$ , так что $Ψ (х) = агсзш 2 (\sqrt х)$ , следовательно, $f n (x) = sin 2 (2 n arcsin (\sqrt x))$ .

Нехаотический случай, который Шредер также проиллюстрировал своим методом, $f (x) = 2 x (1 - x)$ , дал $Ψ (x) = - 1 / 2 ln (1-2 x)$ , следовательно, $f n (x) = - 1 / 2 ((1-2 х) 2 п - 1)$ .

Если $f$ - действие элемента группы на множестве, то повторяемая функция соответствует свободной группе .

Большинство функций не имеют явных общих выражений в закрытой форме для n -й итерации. В таблице ниже перечислены некоторые ^[19], которые подходят. Обратите внимание, что все эти выражения действительны даже для нецелых и отрицательных n , а также для неотрицательных целых n .

$f(x)$	$f^{n}(x)$
$x+b$	$x+nb$
$ax+b\ (a\neq 1)$	$a^{n}x+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b$
$ax^{b}\ (b\neq 1)$	$a^{\frac {b^{n}-1}{b-1}}x^{b^{n}}$
$ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}-2b}{4a}}$ (смотрите примечание)	${\frac {2\alpha ^{2^{n}}-b}{2a}}$ куда: $\alpha ={\frac {2ax+b}{2}}$
$ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}-2b-8}{4a}}$ (смотрите примечание)	${\frac {2\alpha ^{2^{n}}+2\alpha ^{-2^{n}}-b}{2a}}$ куда: $\alpha ={\frac {2ax+b\pm {\sqrt {(2ax+b)^{2}-16}}}{4}}$
${\frac {ax+b}{cx+d}}$ ( рациональное разностное уравнение ) ^[20]	${\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c}}\left[{\frac {(cx-a+\alpha )\alpha ^{n-1}-(cx-a+\beta )\beta ^{n-1}}{(cx-a+\alpha )\alpha ^{n}-(cx-a+\beta )\beta ^{n}}}\right]$ куда: $\alpha ={\frac {a+d+{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}$ $\beta ={\frac {a+d-{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}$
$g^{-1}{\Big (}h{\bigl (}g(x){\bigr )}{\Big )}$	$g^{-1}{\Bigl (}h^{n}{\bigl (}g(x){\bigr )}{\Bigr )}$
$g^{-1}{\bigl (}g(x)+b{\bigr )}$ (общее уравнение Абеля )	$g^{-1}{\bigl (}g(x)+nb{\bigr )}$
${\sqrt {x^{2}+b}}$	${\sqrt {x^{2}+bn}}$
$g^{-1}{\Bigl (}a\ g(x)+b{\Bigr )}\ (a\neq 1\vee b=0)$	$g^{-1}{\Bigl (}a^{n}g(x)+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b{\Bigr )}$
${\sqrt {ax^{2}+b}}$	${\sqrt {a^{n}x^{2}+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b}}$
$T_{m}(x)=\cos(m\arccos x)$ ( Многочлен Чебышева для целого m )	$T_{mn}=\cos(mn\arccos x)$

Примечание: эти два частных случая $ax 2 + bx + c$ - единственные случаи, которые имеют решение в замкнутой форме. Выбор b = 2 = - a и b = 4 = - a , соответственно, еще больше сокращает их до нехаотических и хаотических логистических случаев, рассмотренных перед таблицей.

Некоторые из этих примеров связаны между собой простой связью. Еще несколько примеров, которые по существу представляют собой простые сопряжения примеров Шредера, можно найти в ссылке. ^[21]

Средства обучения [ править ]

Итерированные функции можно изучать с помощью дзета-функции Артина – Мазура и передаточных операторов .

В информатике [ править ]

В информатике итерируемые функции возникают как частный случай рекурсивных функций , которые, в свою очередь, закрепляют изучение таких широких тем, как лямбда-исчисление , или более узких, таких как денотационная семантика компьютерных программ.

Определения в терминах повторяющихся функций [ править ]

Два важных функционала можно определить в терминах повторяющихся функций. Это суммирование :

\left\{b+1,\sum _{i=a}^{b}g(i)\right\}\equiv \left(\{i,x\}\rightarrow \{i+1,x+g(i)\}\right)^{b-a+1}\{a,0\}

и эквивалентный продукт:

\left\{b+1,\prod _{i=a}^{b}g(i)\right\}\equiv \left(\{i,x\}\rightarrow \{i+1,xg(i)\}\right)^{b-a+1}\{a,1\}

Функциональная производная [ править ]

Функциональные производный от итерированной функции задаются рекуррентной формулой:

{\frac {\delta f^{N}(x)}{\delta f(y)}}=f'(f^{N-1}(x)){\frac {\delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)}}+\delta (f^{N-1}(x)-y)

Уравнение переноса данных Ли [ править ]

Итерированные функции возникают при расширении ряда комбинированных функций, таких как $g (f (x))$ .

Учитывая скорость итерации или бета-функцию (физика) ,

v(x)=\left.{\frac {\partial f^{n}(x)}{\partial n}}\right|_{n=0}

для $n-$ ^й итерации функции $f$ имеем ^[22]

g(f(x))=\exp \left[v(x){\frac {\partial }{\partial x}}\right]g(x).

Например, для жесткой адвекции, если $f (x) = x + t$ , то $v (x) = t$ . Следовательно, $g (x + t) = exp (t \partial / \partial x) g (x)$ , действие с помощью простого оператора сдвига .

И наоборот, можно указать $f (x)$ для произвольного $v (x)$ через общее уравнение Абеля, обсужденное выше,

f(x)=h^{-1}(h(x)+1),

куда

h(x)=\int {\frac {1}{v(x)}}\,dx.

Это очевидно, если отметить, что

f^{n}(x)=h^{-1}(h(x)+n)~.

Тогда для индекса непрерывной итерации $t$ , теперь записанного как нижний индекс, это составляет знаменитую экспоненциальную реализацию Ли непрерывной группы:

e^{t~{\frac {\partial ~~}{\partial h(x)}}}g(x)=g(h^{-1}(h(x)+t))=g(f_{t}(x)).

Начальной скорости потока $v$ достаточно, чтобы определить весь поток, учитывая эту экспоненциальную реализацию, которая автоматически дает общее решение функционального уравнения сдвига , ^[23]

f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x)~.

См. Также [ править ]

Иррациональное вращение
Система повторяющихся функций
Итерационный метод
Номер вращения
Теорема Сарковского
Дробное исчисление
Отношение рецидива
Уравнение Шредера
Функциональный квадратный корень
Функция Абеля
Бесконечные композиции аналитических функций
Поток (математика)
Тетрация

Примечания [ править ]

^ Нотацию $n$ $f$ $($ $x$ $)$ Альфреда Прингсхайма и Жюля Молка (1907)для обозначения функциональных композиций не следует путать с обозначением $n$ $x$ Рудольфа фон Биттера Рукера (1982), введенным Гансом Маурером (1901) и Рубеном Луи Гудстайн (1947) для тетрации , или собозначением корней $n$ $x$ перед верхним индексом Дэвида Паттерсона Эллермана (1995).

Ссылки [ править ]

^ a b Гершель, Джон Фредерик Уильям (1820). «Часть III. Раздел I. Примеры прямого метода различий» . Сборник примеров приложений исчисления конечных разностей . Кембридж, Великобритания: Напечатано Дж. Смитом, продается J. Deighton & sons. С. 1–13 [5–6]. Архивировано 4 августа 2020 года . Проверено 4 августа 2020 . [1] (NB. Здесь Гершель ссылается на свою работу 1813 года и упоминает более раннюю работу Ганса Генриха Бюрмана .)
^ a b c d Каджори, Флориан (1952) [март 1929]. «§472. Степень логарифма / §473. Итерированные логарифмы / §533. Обозначения Джона Гершеля для обратных функций / §535. Сохранение конкурирующих обозначений для обратных функций / §537. Полномочия тригонометрических функций». История математических обозначений . 2 (3-е исправленное издание 1929 г., 2-е изд.). Чикаго, США: Издательская компания Open Court . С. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Проверено 18 января 2016 . […] §473. Итерированные логарифмы […] Здесь мы отмечаем символизм, использованный Прингсхаймом и Мольком в их совместной статье в Энциклопедии : « ² log _b a = log _b (log _b a ),…, ^{k +1} log _b a = log _b ( ^k log _b а ) ". ^[а] […] §533. Обозначения Джона Гершеля для обратных функций, sin ⁻¹ x , tan ⁻¹ x и т. д., была опубликована им в Philosophical Transactions of London за 1813 год. Он говорит ( стр. 10 ): «Это обозначение cos. ⁻¹ e не следует понимать как обозначающее 1 / cos. e , но то, что обычно пишут так, arc (cos. = e ) ». Он допускает, что некоторые авторы используют cos. ^m A для (cos. A ) ^m , но он оправдывает свои собственные обозначения, указывая, что, поскольку d ² x , Δ ³ x , Σ ² x означают dd x , ΔΔΔ x , ΣΣ x, мы должны написать грех. ² х за грех. грех. х , журнал. ³ х для бревна. бревно. бревно. х . Подобно тому, как мы пишем d ^{- n} V = ∫ ⁿ V, мы можем писать аналогично sin. ⁻¹ x = дуга (sin. = X ), лог. ⁻¹ х . = С ^х . Несколько лет спустя Гершель объяснил, что в 1813 году он использовал f ⁿ ( x ), f ^{- n} ( x ), sin. ⁻¹ x и т. Д. ", Как он тогда предположил впервые. Работа немецкого аналитика,Тем не менее, Бурманн в течение этих нескольких месяцев пришел к своему знанию, в котором то же самое объясняется значительно раньше. Он [Бурманн], однако, похоже, не заметил удобства применения этой идеи к обратным функциям tan ⁻¹ и т. Д., А также, похоже, он совсем не осведомлен об обратном исчислении функций, к которым она приводит ". Гершель добавляет: «Симметрия этой нотации и, прежде всего, новые и наиболее обширные взгляды, которые она открывает на природу аналитических операций, кажется, санкционируют ее универсальное принятие» ^[b] […] §535. Сохранение конкурирующих обозначений для обратной функции . - […] Использование обозначений Гершеля претерпело небольшие изменения у Бенджамина Пирса.книги, чтобы снять главное возражение против них; Пирс писал: «cos ^[−1] x », «log ^[−1] x ». ^[c] […] §537. Степени тригонометрических функций. - Для обозначения, скажем, квадрата sin x использовались три основных обозначения , а именно (sin x ) ² , sin x ² , sin ² x . Преобладающее обозначение в настоящее время - sin ² x , хотя первое, вероятно, будет неправильно истолковано. В случае греха ² x напрашиваются две интерпретации; во-первых, sin x · sin x; во-вторых, ^[d] sin (sin x ). Поскольку функции последнего типа обычно не проявляются, опасность неправильной интерпретации намного меньше, чем в случае log ² x , где log x · log x и log (log x ) часто встречаются при анализе. […] Обозначение sin ⁿ x для (sin x ) ⁿ широко использовалось и сейчас является преобладающим. […] (xviii + 367 + 1 страница, включая 1 страницу дополнений) (NB. ISBN и ссылка для перепечатки 2-го издания компанией Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)
^ Гершель, Джон Фредерик Уильям (1813) [1812-11-12]. «Об одном замечательном применении теоремы Котеса» . Философские труды Лондонского королевского общества . Лондон: Лондонское королевское общество , напечатано W. Bulmer and Co., Кливленд-Роу, Сент-Джеймс, продано Г. и У. Николь, Pall-Mall. 103 (Часть 1): 8–26 [10]. DOI : 10,1098 / rstl.1813.0005 . JSTOR 107384 . S2CID 118124706 .
^ Пеано, Джузеппе (1903). Formulaire mathématique (на французском языке). IV . п. 229.
^ Пирс, Бенджамин (1852). Кривые, функции и силы . Я (новое изд.). Бостон, США. п. 203.
^ Pringsheim, Альфред ; Молк, Жюль (1907). Энциклопедия чистых математических наук и аппликаций (на французском языке). Я . п. 195. Часть I.
^ Кучма, Марек (1968). Функциональные уравнения с одной переменной . Monografie Matematyczne. Варшава: PWN - Польское научное издательство.
^ Kuczma, М., Choczewski Б. и Ger, Р. (1990). Итерационные функциональные уравнения . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-35561-3.
^ Карлесон, L .; Гамелин, TDW (1993). Сложная динамика . Universitext: трактаты по математике. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97942-5.
^ Истратеску Василе (1981). Теория неподвижной точки, введение , Д. Рейдел, Голландия. ISBN 90-277-1224-7 .
^ "Нахождение такого f, что f (f (x)) = g (x) для данного g" . MathOverflow .
^ Aldrovandi, R .; Фрейтас, LP (1998). «Непрерывная итерация динамических карт». J. Math. Phys . 39 (10): 5324. arXiv : Physics / 9712026 . Bibcode : 1998JMP .... 39.5324A . DOI : 10.1063 / 1.532574 . ЛВП : 11449/65519 . S2CID 119675869 .
^ Берколайко, G .; Рабинович, С .; Хавлин, С. (1998). "Анализ карлемановского представления аналитических рекурсий". J. Math. Анальный. Appl . 224 : 81–90. DOI : 10,1006 / jmaa.1998.5986 .
^ "Tetration.org" .
^ Кимура, Тосихуса (1971). "О Итерации аналитических функций", Funkcialaj Ekvacioj 14 , 197-238.
^ Кертрайт, TL ; Захос, СК (2009). «Профили эволюции и функциональные уравнения». Журнал Physics A . 42 (48): 485208. arXiv : 0909.2424 . Bibcode : 2009JPhA ... 42V5208C . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 42/48/485208 . S2CID 115173476 .
^ Для явного примера, пример 2 выше составляет просто $f n (x) = Ψ -1 ((ln 2) n Ψ (x))$ для любого n , не обязательно целого числа, где Ψ - решение соответствующего уравнения Шредера , $Ψ (\sqrt 2 x) = ln 2 Ψ (x)$ . Это решение также является бесконечнымпределом m для $(f m (x) - 2) / (ln 2) m$ .
^ Кертрайт, Т.Л. Поверхности эволюции и функциональные методы Шредера.
^ a b Шредер, Эрнст (1870). "Ueber iterirte Functionen". Математика. Энн . 3 (2): 296–322. DOI : 10.1007 / BF01443992 . S2CID 116998358 .
^ Брэнд, Луи, «Последовательность, определяемая уравнением разности», American Mathematical Monthly 62 , сентябрь 1955 г., стр. 489–492. онлайн
^ Кацура, S .; Фукуда, В. (1985). «Точно решаемые модели, демонстрирующие хаотическое поведение». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 130 (3): 597. Bibcode : 1985PhyA..130..597K . DOI : 10.1016 / 0378-4371 (85) 90048-2 .
^ Berkson, E .; Порта, Х. (1978). «Полугруппы аналитических функций и операторы композиции» . Мичиганский математический журнал . 25 : 101–115. DOI : 10.1307 / MMJ / 1029002009 . Кертрайт, TL; Захос, СК (2010). «Хаотические отображения, гамильтоновы потоки и голографические методы». Журнал физики A: математический и теоретический . 43 (44): 445101. arXiv : 1002.0104 . Bibcode : 2010JPhA ... 43R5101C . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 43/44/445101 . S2CID 115176169 .
^ Aczel, J. (2006), Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям (Dover Книги по математике, 2006), гл. 6, ISBN 978-0486445236 .

[NB_Rucker-7] Нотацию $n$ $f$ $($ $x$ $)$ Альфреда Прингсхайма и Жюля Молка (1907)для обозначения функциональных композиций не следует путать с обозначением $n$ $x$ Рудольфа фон Биттера Рукера (1982), введенным Гансом Маурером (1901) и Рубеном Луи Гудстайн (1947) для тетрации , или собозначением корней $n$ $x$ перед верхним индексом Дэвида Паттерсона Эллермана (1995).

[Herschel_1820-1] Гершель, Джон Фредерик Уильям (1820). «Часть III. Раздел I. Примеры прямого метода различий» . Сборник примеров приложений исчисления конечных разностей . Кембридж, Великобритания: Напечатано Дж. Смитом, продается J. Deighton & sons. С. 1–13 [5–6]. Архивировано 4 августа 2020 года . Проверено 4 августа 2020 . [1] (NB. Здесь Гершель ссылается на свою работу 1813 года и упоминает более раннюю работу Ганса Генриха Бюрмана .)

[Cajori_1929-2] Каджори, Флориан (1952) [март 1929]. «§472. Степень логарифма / §473. Итерированные логарифмы / §533. Обозначения Джона Гершеля для обратных функций / §535. Сохранение конкурирующих обозначений для обратных функций / §537. Полномочия тригонометрических функций». История математических обозначений . 2 (3-е исправленное издание 1929 г., 2-е изд.). Чикаго, США: Издательская компания Open Court . С. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Проверено 18 января 2016 . […] §473. Итерированные логарифмы […] Здесь мы отмечаем символизм, использованный Прингсхаймом и Мольком в их совместной статье в Энциклопедии : « ² log _b a = log _b (log _b a ),…, ^{k +1} log _b a = log _b ( ^k log _b а ) ". ^[а] […] §533. Обозначения Джона Гершеля для обратных функций, sin ⁻¹ x , tan ⁻¹ x и т. д., была опубликована им в Philosophical Transactions of London за 1813 год. Он говорит ( стр. 10 ): «Это обозначение cos. ⁻¹ e не следует понимать как обозначающее 1 / cos. e , но то, что обычно пишут так, arc (cos. = e ) ». Он допускает, что некоторые авторы используют cos. ^m A для (cos. A ) ^m , но он оправдывает свои собственные обозначения, указывая, что, поскольку d ² x , Δ ³ x , Σ ² x означают dd x , ΔΔΔ x , ΣΣ x, мы должны написать грех. ² х за грех. грех. х , журнал. ³ х для бревна. бревно. бревно. х . Подобно тому, как мы пишем d ^{- n} V = ∫ ⁿ V, мы можем писать аналогично sin. ⁻¹ x = дуга (sin. = X ), лог. ⁻¹ х . = С ^х . Несколько лет спустя Гершель объяснил, что в 1813 году он использовал f ⁿ ( x ), f ^{- n} ( x ), sin. ⁻¹ x и т. Д. ", Как он тогда предположил впервые. Работа немецкого аналитика,Тем не менее, Бурманн в течение этих нескольких месяцев пришел к своему знанию, в котором то же самое объясняется значительно раньше. Он [Бурманн], однако, похоже, не заметил удобства применения этой идеи к обратным функциям tan ⁻¹ и т. Д., А также, похоже, он совсем не осведомлен об обратном исчислении функций, к которым она приводит ". Гершель добавляет: «Симметрия этой нотации и, прежде всего, новые и наиболее обширные взгляды, которые она открывает на природу аналитических операций, кажется, санкционируют ее универсальное принятие» ^[b] […] §535. Сохранение конкурирующих обозначений для обратной функции . - […] Использование обозначений Гершеля претерпело небольшие изменения у Бенджамина Пирса.книги, чтобы снять главное возражение против них; Пирс писал: «cos ^[−1] x », «log ^[−1] x ». ^[c] […] §537. Степени тригонометрических функций. - Для обозначения, скажем, квадрата sin x использовались три основных обозначения , а именно (sin x ) ² , sin x ² , sin ² x . Преобладающее обозначение в настоящее время - sin ² x , хотя первое, вероятно, будет неправильно истолковано. В случае греха ² x напрашиваются две интерпретации; во-первых, sin x · sin x; во-вторых, ^[d] sin (sin x ). Поскольку функции последнего типа обычно не проявляются, опасность неправильной интерпретации намного меньше, чем в случае log ² x , где log x · log x и log (log x ) часто встречаются при анализе. […] Обозначение sin ⁿ x для (sin x ) ⁿ широко использовалось и сейчас является преобладающим. […] (xviii + 367 + 1 страница, включая 1 страницу дополнений) (NB. ISBN и ссылка для перепечатки 2-го издания компанией Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)

[Herschel_1813-3] Гершель, Джон Фредерик Уильям (1813) [1812-11-12]. «Об одном замечательном применении теоремы Котеса» . Философские труды Лондонского королевского общества . Лондон: Лондонское королевское общество , напечатано W. Bulmer and Co., Кливленд-Роу, Сент-Джеймс, продано Г. и У. Николь, Pall-Mall. 103 (Часть 1): 8–26 [10]. DOI : 10,1098 / rstl.1813.0005 . JSTOR 107384 . S2CID 118124706 .

[Peano_1903-4] Пеано, Джузеппе (1903). Formulaire mathématique (на французском языке). IV . п. 229.

[Peirce_1852-5] Пирс, Бенджамин (1852). Кривые, функции и силы . Я (новое изд.). Бостон, США. п. 203.

[Pringsheim-Molk_1907-6] Pringsheim, Альфред ; Молк, Жюль (1907). Энциклопедия чистых математических наук и аппликаций (на французском языке). Я . п. 195. Часть I.

[8] Кучма, Марек (1968). Функциональные уравнения с одной переменной . Monografie Matematyczne. Варшава: PWN - Польское научное издательство.

[9] Kuczma, М., Choczewski Б. и Ger, Р. (1990). Итерационные функциональные уравнения . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-35561-3.

[10] Карлесон, L .; Гамелин, TDW (1993). Сложная динамика . Universitext: трактаты по математике. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97942-5.

[11] Истратеску Василе (1981). Теория неподвижной точки, введение , Д. Рейдел, Голландия. ISBN 90-277-1224-7 .

[12] "Нахождение такого f, что f (f (x)) = g (x) для данного g" . MathOverflow .

[13] Aldrovandi, R .; Фрейтас, LP (1998). «Непрерывная итерация динамических карт». J. Math. Phys . 39 (10): 5324. arXiv : Physics / 9712026 . Bibcode : 1998JMP .... 39.5324A . DOI : 10.1063 / 1.532574 . ЛВП : 11449/65519 . S2CID 119675869 .

[14] Берколайко, G .; Рабинович, С .; Хавлин, С. (1998). "Анализ карлемановского представления аналитических рекурсий". J. Math. Анальный. Appl . 224 : 81–90. DOI : 10,1006 / jmaa.1998.5986 .

[15] "Tetration.org" .

[16] Кимура, Тосихуса (1971). "О Итерации аналитических функций", Funkcialaj Ekvacioj 14 , 197-238.

[17] Кертрайт, TL ; Захос, СК (2009). «Профили эволюции и функциональные уравнения». Журнал Physics A . 42 (48): 485208. arXiv : 0909.2424 . Bibcode : 2009JPhA ... 42V5208C . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 42/48/485208 . S2CID 115173476 .

[18] Для явного примера, пример 2 выше составляет просто $f n (x) = Ψ -1 ((ln 2) n Ψ (x))$ для любого n , не обязательно целого числа, где Ψ - решение соответствующего уравнения Шредера , $Ψ (\sqrt 2 x) = ln 2 Ψ (x)$ . Это решение также является бесконечнымпределом m для $(f m (x) - 2) / (ln 2) m$ .

[19] Кертрайт, Т.Л. Поверхности эволюции и функциональные методы Шредера.

[schr-20] Шредер, Эрнст (1870). "Ueber iterirte Functionen". Математика. Энн . 3 (2): 296–322. DOI : 10.1007 / BF01443992 . S2CID 116998358 .

[21] Брэнд, Луи, «Последовательность, определяемая уравнением разности», American Mathematical Monthly 62 , сентябрь 1955 г., стр. 489–492. онлайн

[22] Кацура, S .; Фукуда, В. (1985). «Точно решаемые модели, демонстрирующие хаотическое поведение». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 130 (3): 597. Bibcode : 1985PhyA..130..597K . DOI : 10.1016 / 0378-4371 (85) 90048-2 .

[23] Berkson, E .; Порта, Х. (1978). «Полугруппы аналитических функций и операторы композиции» . Мичиганский математический журнал . 25 : 101–115. DOI : 10.1307 / MMJ / 1029002009 . Кертрайт, TL; Захос, СК (2010). «Хаотические отображения, гамильтоновы потоки и голографические методы». Журнал физики A: математический и теоретический . 43 (44): 445101. arXiv : 1002.0104 . Bibcode : 2010JPhA ... 43R5101C . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 43/44/445101 . S2CID 115176169 .

[acz-24] Aczel, J. (2006), Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям (Dover Книги по математике, 2006), гл. 6, ISBN 978-0486445236 .

[1]